湖南省长沙市第一中学2023届高三上学期入学摸底考试数学试卷（含解析）

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一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若复数z满足，其中是虚数单位，则的值为（ ）
A B. 2C. D. 3
3. 已知双曲线C：（，）的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）
A B. 0C. D. 1
5. 每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1，这些人的近视率约为50%.现从每天操作电子产品不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知点A为圆台O1O2下底面圆O2的圆周上一点，S为上底面圆O1的圆周上一点，且SO1=1，O1O2=，O2A=2，记直线SA与直线O1O2所成角为，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数，若方程在（0，）的解为，（），则（ ）
A. B. C. D.
8. 2022年北京冬奥会成功举办，更加激发全国人民对冰雪运动的爱好，某地为响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场.该滑雪场中某滑道的示意图如图所示，点A，B分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20.两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分.综合滑行的安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面所成的夹角约为44°.若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则A，B两点在水平方向的距离约为（ ）
A. 23B. 25C. 27D. 29
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内､中､外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率（0.9372，0.01392）.则下列结论正确的是（ ）
（参考数据：若（），则，，.）
A.
B.
C
D. 假设生产状态正常，记Y表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则
10. 已知，是圆O：上两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若点O到直线AB的距离为，则
C. 若，则的最大值为
D. 若，则的最大值为4
11. 已知定义在R上的偶函数，其导函数为，当时，.则（ ）
A. 函数的图象关于y轴对称
B. 函数在区间上单调递减
C. 不等式的解集为
D. 不等式的解集为
12. 已知椭圆C：（）的离心率为，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足.动点Q满足，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 动点Q的轨迹方程为
C. 线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为
D. 线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数f(x)满足：f(x＋y)＝f(x)f(y)，且当x＞y时，f(x)＞f(y)，请你写出符合上述条件的一个函数f(x)＝_______．
14. 已知在中，点满足，点在线段(不含端点，)上移动，若，则______.
15. 在四棱锥P−ABCD中，已知底面ABCD是边长为的正方形，其顶点P到底面ABCD的距离为3，该四棱锥的外接球O的半径为5，若球心O在四棱锥P−ABCD内，则顶点P的轨迹长度为___________.
16. 若直线l：为曲线与曲线的公切线（其中为自然对数的底数， ），则实数b=___________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知.
（1）求内角B的大小；
（2）已知 的面积为，，请判定的形状，并说明理由.
18. 为落实教育部的双减政策，义务教育阶段充分开展课后特色服务.某校初中部的篮球特色课深受学生喜爱，该校期末将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在M处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮.甲､乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M处和N处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如下图表：
若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.
（1）已知该校有300名学生的投篮水平与甲同学相当，求这300名学生通过测试人数的数学期望；
（2）在甲､乙两位同学均通过测试条件下，求甲得分比乙得分高的概率.
19. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，O，M，N分别为线段BC，AA1，BB1的中点，P为线段AC1上的动点，AO=BC，AB=3，AC=4，AA1=8.
（1）求点C到平面C1MN的距离；
（2）试确定动点P的位置，使线段MP与平面BB1C1C所成角的正弦值最大.
20. 已知数列的前n项和为，且满足（），.
（1）求数列的通项公式；
（2）当时，数列满足，求证：；
（3）若对任意正整数n都有成立，求正实数取值范围.
21. 已知抛物线C：（），直线交抛物线C于A，B两点，且三角形OAB的面积为（O为坐标原点）.
（1）求实数p的值；
（2）过点D（2，0）作直线L交抛物线C于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P'.证明：直线P'Q经过定点，并求出定点坐标.
22. 已知函数（e是自然对数的底数）.
（1）若（）是函数的两个零点，证明：；
（2）当时，若对于，曲线C：与曲线都有唯一的公共点，求实数m的取值范围.2023届新高三入学摸底考试
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】D
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】AD
【11题答案】
【答案】ABC
【12题答案】
【答案】ABD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
【13题答案】
【答案】（答案不唯一）
【14题答案】
【答案】3
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】或##或
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
【17题答案】
【答案】（1）
（2）为直角三角形，理由见解析
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
【20题答案】
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）.
【21题答案】
【答案】（1）；
（2）证明见解析，定点.
【22题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）