太原市第五中学校2025届九年级上学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份太原市第五中学校2025届九年级上学期开学考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．分式有意义的条件是( )
A.B.C.D.
2．随着人们健康生活理念的提高,环保意识也不断增强,以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志,其中是中心对称图形的是( )
A.B.
C.D.
3．运用提公因式法将多项式“”分解因式,应提取的公因式是( )
A.B.C.D.
4．一元二次方程的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
5．如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且,添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.B.C.D.
6．如图,在中,,,,将沿着射线的方向平移得到,连接,若,则的周长为( )
A.20B.24C.36D.
7．如图,一次函数的图象分别与x轴,y轴交于点,,则关于x的不等式的解集为( )
A.B.C.D.
8．天龙山公路,高低落差较大,全长,被誉为“云端上的公路”.爱旅游的马老师自驾游览天龙山公路,已知返程时的平均速度比去时慢,结果返程比去时多用了,求马老师去时的平均速度.设马老师去时的平均速度为,则下列方程正确的是( )
A.B.
C.D.
9．如图,在平面直角坐标系中,的顶点都在格点(每个小正方形的边长均为1个单位长度,每个小正方形的顶点称为格点)上,点A,B,C的坐标分别为,,,将绕坐标平面内某点旋转一定的角度,得到,点A,B,C的对应点分别为,,,若点的坐标为,则旋转中心的坐标为( )
A.B.C.D.
10．如图,在四边形中,,E、F、G分别是,,的中点,若,,则等于( )
A.B.C.D.
二、填空题
11．将分式化成最简分式的结果为______.
12．平面直角坐标系中,线段的两个端点的坐标依次为,,将线段平移后,点A的对应点的坐标为,则点B的对应点的坐为______.
13．如图所示，第四套人民币中菊花1角硬币.则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为______.
14．读书已经成为很多人的一种生活方式,城市书院是读书的重要场所之一.据统计,某书院对外开放的第一个月进书院600人次,进书院人次逐月增加,到第三个月末累计进书院2850人次,若进书院人次的月平均增长率为x,则可列方程为______.
15．如图,在四边形中,、为对角线,,,,,则线段的长为______.
三、解答题
16．因式分解：
(1)；
(2).
17．用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)；
(2).
18．下面是小明同学的一篇回顾与反思,请认真阅读并完成相应的任务.
异分母的分式加减法回顾与反思
【回顾】
今天我们学习了异分母的分式加减法,在课堂小结环节我的总结如下：
下面是我在课堂上化简分式的过程：
解：原式第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
【反思】
总之,在学习中我们要善于思考与反思,总结与归纳,在总结中收获经验,为今后的学习奠定坚实的基础.
任务：
(1)在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是______；
A.函数思想B.数形结合思想C.转化思想D.统计思想
(2)以上化简过程中,第______步是分式的通分,通分的依据是______；
(3)我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯,由于小明的马虎,解题过程出现了错误,从第______步开始出现错误,化简的正确结果应该是______.
19．如图,在平行四边形中,点G,H分别是,的中点,点E、F在对角线上,且.
求证：四边形是平行四边形.
20．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具.某中学为了落实双减政策,丰富学生的课后服务活动,开设了书法社团,计划为学生购买A,B两种型号的“文房四宝”共40套,已知某文化用品店每套A型号的“文房四宝”的标价比每套B型号的“文房四宝”的标价高,若按标价购买这两种型号的“文房四宝”共需花费4300元,其中购买B型号“文房四宝”花费3000元.
(1)求每套B型号的“文房四宝”的标价；
(2)若学校打算继续在该文化用品店以标价购买第二批“文房四宝”,且A,B两种型号的购买总数量仍为40套,如果要求本次的购买总费用不超过4200元,那么本次最少应购买B型号“文房四宝”多少套？
21．“山西是时间的朋友,这片土地处处散发着时光的奇迹……”董宇辉在直播电商平台的山西专场中现场讲解山西的美食产品,深度介绍山西的文化古迹,传播三晋文化,其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征,引得广大网友争相购买品尝.某商家抓住商机,以70元/盒的进价购入了一批礼盒装的保健醋口服液,在销售过程中发现,当售价为110元盒时,一天可售出20盒,且该礼盒的单价每降低1元,其销量可增加2盒.
(1)若该礼盒的售价为x元/盒,则其日销量可表示为______盒；
(2)在(1)的条件下,若商家销售该礼盒每天想要获利1200元,则为尽快减少库存,该礼盒的售价应定为多少？
22．阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式.有些多项式不是完全平方式,我们可以通过添加项,凑成完全平方式,再减去这个添加项,使整个式子的值不变,这样也可以将多项式进行分解,并解决一些最值问题.
例如：(1)分解因式：
(2)求代数式的最小值.
∴当时,代数式有最小值
结合以上材料解决下面的问题：
(1)若二次三项式恰好是完全平方式,k的值是；
(2)分解因式：；
(3)当x为何值时,有最小值?最小值是多少?
23．综合与实践
问题情境：活动课上,同学们以三角形为背景探究图形变化中的数学问题,如图1,中,,,将从图1的位置开始绕点C顺时针旋转得到(点A,B的对应点分别为点,),旋转角为.
操作思考：
(1)如图2,“明辨”小组画出了恰好经过点B时的图形,求此时旋转角的度数；
(2)如图3,“善思”小组画出了点落在延长线上时的图形,此时点也恰好在的延长线上.过点B作的平行线交于点P,连接.猜想线段与的数量关系,并说明理由：
拓展探究：
(3)如图4,“博学”小组在图2的基础上,将沿直线平移,点B,C,的对应点分别为D,E,F.若,当是以为顶角的等腰三角形时,请直接写出平移的距离.
参考答案
1．答案：D
解析：∵分式有意义,
∴,
∴.
故选D.
2．答案：B
解析：A、不是中心对称图形,不符合题意；
B、是中心对称图形,符合题意；
C、不是中心对称图形,不符合题意；
D、不是中心对称图形,不符合题意；
故选B.
3．答案：B
解析：多项式的公因式为,
故选：B.
4．答案：D
解析：,
,
一元二次方程没有实数根,
故选：D.
5．答案：D
解析：A、∵、,∴四边形ABCD是平行四边形；
B、∵、,∴四边形ABCD是平行四边形；
C、∵,∴,.在和中,,∴,∴,∴四边形ABCD是平行四边形；
D、由、,则四边形ABCD可能是平行四边形,也可能是等腰梯形.
故选：D.
6．答案：B
解析：由题意,得,
.
由平移性质,可知,,
,且,
为等边三角形,
的周长.
故选：B.
7．答案：A
解析：一次函数的图象分别与x轴,y轴交于点,,
关于x的不等式的解集为.
故选：A.
8．答案：D
解析：设马老师去时的平均速度为,则返程时的平均速度为,根据题意得：
,
故选：D.
9．答案：B
解析：如图所示,
∴旋转中心的坐标为.
故选：B.
10．答案：D
解析：如图,延长交于点M,
∵,E、F、G分别是,,的中点,,,
∴,,,,,
∴,,,
∴,
解得.
故选D.
11．答案：
解析：,
故答案为：.
12．答案：
解析：∵,点A的对应点的坐标为,
∴平移方法为横坐标加1,纵坐标减3,
∵,
∴,,
∴点的坐标为,
故答案为：.
13．答案：/40度
解析：正九边形的一个外角的度数为，
故答案为：.
14．答案：
解析：设进书院人次的月平均增长率为x,则第二个月进书院人次为,三个月的进书院人次为,由题意得：
.
故答案为：.
15．答案：
解析：如图,过A作于点E,过D作交延长线于点F,作于点G,
∴,
∴四边形是矩形,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
在中,由勾股定理得：,
∴,
∴,
在中,,
∴,
由勾股定理得：,
∴,
则：,
故答案为：.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)
；
(2)
.
17．答案：(1),
(2),
解析：(1)移项,得,
配方,得,
,
两边开平方,得,
所以,,；
(2)原方程可变形为：,
,
,
或,
所以,,.
18．答案：(1)C
(2)三；分式的基本性质
(3)四；
解析：(1)在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是转化思想,故C正确；
故选：C.
(2)以上化简过程中,第三步是分式的通分,通分的依据是分式的基本性质.
故答案为：三；分式的基本性质；
(3)从第四步开始出现错误,
.
因此正确结果为：.
故答案为：四；.
19．答案：证明见解析
解析：证明：四边形是平行四边形,
,,
,
点G,H分别是,的中点,
,
在和中,
,
,
,,
,
,
又,
四边形是平行四边形.
20．答案：(1)每套B型号的“文房四宝”的标价为100元
(2)本次最少应购买B型号“文房四宝”套
解析：(1)设每套B型号的“文房四宝”的标价为x元,则每套A型号的“文房四宝”的标价为元.
根据题意得：
,
解得：.
经检验：是分式方程的解,且符合题意.
答：每套B型号的“文房四宝”的标价为100元.
(2)由(1)得：每套A型号的“文房四宝”的标价为元.
设本次最少应购买B型号“文房四宝”m套,
则,
解得：,
∵m为整数,
∴m的最大值为,
∴本次最少应购买B型号“文房四宝”套；
21．答案：(1)
(2)90元/盒
解析：(1)该礼盒的售价为x元/盒,则其日销量可表示为：
盒；
(2)根据题意,得：,
整理,得：,
解得：,,
要尽快减少库存,
取,
答：该礼盒的售价应定为90元/盒.
22．答案：(1)6或
(2)
(3)时,最小值
解析：(1)恰好是完全平方式,
,
即k的值是6或；
(2)
,
,
；
(3)
,
,
∴当时,代数式有最小值.
23．答案：(1)
(2),见解析
(3)或
解析：(1)如图2,绕点C顺时针旋转得到,
,
,,
,
是等边三角形,
,即；
(2)猜想：,
理由：由旋转可得：,,
,
,
∴
,
,
；
(3)当沿射线平移时,
如图4,作交的延长线于G,连接,,
∵,,
∴,,
∵,且是等边三角形,
∴,
∴,,
∴,
在中,,
∵沿射线的方向平移得到,
∴,
设,交于点J,
∵,
∴,
∴,
∵以A,,D为顶点的三角形是以为顶角的等腰三角形,
∴,
在中,,
∴,
即平移的距离为；
当沿射线平移时,如图5,
同理可求出平移的距离为.
综上可知,平移的距离或.