广西七市联考2025届高三上学期10月摸底测试数学试题（Word版附解析）

这是一份广西七市联考2025届高三上学期10月摸底测试数学试题（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了曲线在点处的切线斜率为，若向量，，且，，三点共线，则，在四棱锥中，“”是“平面”的等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上，
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
小本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则
A.B.C.D.
2.曲线在点处的切线斜率为
A.9B.5C.-8D.10
3.若向量，，且，，三点共线，则
A.B.C.D.
4.在四棱锥中，“”是“平面”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.
A.1B.iC.-1D.-i
6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则
A.3B.C.4D.5
7.定义在上的坷函数在上单调递增，且，则不等式的解集为
A.B.
C.D.
S.若数列、满足，，，则数列的前50项和为
A.2500B.2525C.2550D.3000
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.广西壮族自治区有7个市区的面积大于1.3万平有千米，这7个市区为南宁市（22100平方千米）、柳州市（18596平方千米），桂林市（27800平方千米），百色市（36300平方千米），河池市（33500平方千米）。来宾市（13411平方千米）。崇左市（17332平方千米），这7个市区的面积构成一组数据，则
A.这组数据的极差为22889平方千米B.这组数据的中位数对应的市区为桂林市
C.这组数据的第40百分位数对应的市区为柳州市D.这组数据中，大于1.8万平方千米的频率为
10.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在正方体中，，则
A.在四面体中，点的曲率为
B.在四面体中，点的曲率大于
C.四面体外接球的表面积为
D.四面体内切球半径的倒数为
11.已知函数，则
A.的艰大值为
B.的最小正周期为
C.曲线关于直线轴对称
D.当时，函数有9个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.________________.
13.的展开式中，各项系数之和为________________，项的系数为________________.
14.两条都与轴平行的直线之间的距离为6，它们与抛物线和圆分别交于点，和，，则的最大值为________________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在中，，，分别是内角，，的对边，且，.
（1）求；
（2）求的最小低.
16.（15分）
在六面体中，平面，，且底面为菱形.
（1）证明：平面.
（2）若，，.求平面与平面所成二面角的正弦值.
7.（15分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在最大值，且最大值小于0，求的取值范围。
18.（17分）
甲、乙两个口袋都装有3个小球（1个黑球和2个白球）.现从甲、乙口袋中各取1个小球交换放入另外一个口袋（即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋），交换小球次后，甲口袋中恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为。
（1）求，；
（2）求，；
（3）求数列的通项公式，并证明.
19.（17分）
若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，则称这样的椭圆为“质朴椭圆”.
（1）证明：椭圆为“质朴椭圆”.
（2）是否存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
（3）设斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，且与交于，两点，，试问是否为“质朴椭圆”，说明你的理由.
2025届普通高中毕业班摸底测试
数学试卷参考答案
1.D 【解析】本题考查集合的交集与并集，考查数学运算的核心素养.
依题意可得是的一个真子集，则，。
2.A 【解析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养.
，当时，.
3.B 【解析】本题考查平面向量的共线，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
由，，三点共线，得，得，解得.
4.C 【解析】本题考查空间中直线、平面的平行关系与充分必要条件的判断，考查逻辑推理的核心素养与空间想象能力.
由，平面，平面，得平面.由平面，平面，平面平面，得.故“”是“平面”的充要条件.
5.B 【解析】本题考查复数的运算与三角恒等变换，考查数学运算的核心素养.
.
6.C 【解析】本题考查双曲线的定义的运用，考查直观想象的核心素养.
因为为右支上一点，所以.因为为坐标原点，为线段的中点，所以，，则.
7.D 【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性与不等式的综合，考查数学抽象、逻辑推理的核心素养与分类讨论的数学思想.
依题意可得，在上单调递增，且，由，得或则.
8.C 【解析】本题考查等差数列，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
因为，，所以，，
所以，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以数列的前50项和为.
9.ACD 【解析】本题考查统计，考查应用意识与数据处理能力.
这组数据（单位：平方千米）按照从小到大的顺序排列为13411，17332，18596，22100，27800，33500，36300，所以这组数据的极差为平方千米，A正确.这组数据的中位数22100平方千米，中位数对应的市区为南宁市，B错误.因为，所以这组数据的第40百分位数为18596平方千米，第40百分位数对应的市区为柳州市，C正确.这组数据中，大于1.8万平方千米的有5个，所以大于1.8万平方千米的频率为，D正确.
10.ABD 【解析】本题考查立体几何初步与新定义的综合，考查逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.
在正方体中，易证为正三角形，，.
在四面体中，点的曲率为，A正确.
在正方体中，，，，在四面体中，点的曲率为，B正确.
四面体外接球的半径即为正方体外接球的半径，四面体外接球的表面积为，C错误.
四面体的体积，四面体的表面积，四面体内切球的半径，D正确.
11.BC 【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查逻辑推理与直观想象的核心素养.
，当时，取得最大值，且最大值为，A错误.因为的最小正周期均为，所以的最小正周期为，B正确.因为，所以曲线关于直线轴对称，C正确.令，得，则，结合函数）的图象（图略），可知方程在上有8个不同的实根，D错误.
12.-1 【解析】本题考查对数的运算，考查数学运算的核心素养.
13.0；-5 【解析】本题考查二项式定理，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
令，得，含的项为.
14. 【解析】本题考查抛物线、圆与导数的应用，考查数学建模与直观想象的核心素养.
设直线的方程为，则直线的方程为，
则.
令，则.
设，则.令，得；令，得.所以，则.
15.解：（1）因为，所以，……………………4分
因为，所以.……………………6分
（2）因为，所以，……………………8分
所以.……………………9分
由，得，则，……………………11分
当且仅当时，等号成立.……………………12分
所以c的最小值为-1.……………………13分
16.（1）证明：因为四边形ABCD为菱形，所以.……………………2分
又平面ABCD，所以.……………………4分
因为，所以平面.……………………6分
（2）解：由题意得，.以菱形的中心为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，.
……………………8分
所以，.……………………9分
设平面的法向量为，则，，
即……………………10分
令，得.……………………11分
易知平面的一个法向量为，……………………12分
则，……………………14分
所以平面与平面所成二面角的正弦值为.……………………15分
17.解：（1）显然，的定义域为，……………………1分
.……………………2分
当时，在上单调递增.……………………4分
当时，令，得，令，得，……………………6分
所以在上单调递增，在上单调递减.……………………8分
（2）由（1）知，当且仅当时，存在最大值，……………………9分
且最大值为.……………………11分
设，则，所以为增函数，……………………13分
又，……………………14分
所以由，得，则的取值范围为.……………………15分
18.解：（1）第1次换球后甲口袋中有2个黑球，即从甲口袋取出的为白球且从乙口袋取出的为黑球，则.……………………1分
第1次换球后甲口袋中有1个黑球，即从甲、乙口袋取出的同为白球或同为黑球，得.……………………3分
（2）若第2次换球后甲口袋中有2个黑球，则当第1次换球后甲口袋中有1个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球，当第1次换球后甲口袋中有2个黑球时，第2次甲、乙口袋同取白球，所以.……………………5分
若第2次换球后甲口袋中有1个黑球，则当第1次换球后甲口袋中有0个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球，当第1次换球后甲口袋中有1个黑球时，第2次甲、乙口袋同取白球或同取黑球，当第1次换球后甲口袋中有2个黑球时，第2次甲口袋取黑球且乙口袋取白球，
所以.……………………8分
（3）第次换球后，甲口袋中的黑球个数为1的情形有：
（1）若第次换球后甲口袋中有2个黑球，则第次甲口袋取黑球且乙口袋取白球；
（2）若第次换球后甲口袋中有1个黑球，则第次甲、乙口袋同取黑球或同取白球；
（3）若第次换球后甲口袋中有0个黑球，则第次甲口袋取白球且乙口袋取黑球.
所以.……………………10分
设，
则，则，得.……………………12分
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，……………………13分
所以，即.……………………14分
所以……………………15分
.……………………17分
19.（1）证明：由得，所以，，………………1分
则，，所以，……………………2分
所以椭圆的焦距为3，是质数，离心率的倒数为5，也是质数，所以椭圆为“质朴椭圆”.……………………3分
（2）解：椭圆的焦距为，离心率.……………………4分
若存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”，则，均为质数，因为，……………………5分
所以，即，……………………6分
此时，这些数都不是质数，所以不存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”.……………………8分
（3）解：设的右焦点为，联立
得.……………………9分
设，，则，……………………11分
，……………………14分
因为，所以，解得，……………………15分
则的焦距为，离心率为，其倒数为3，且2与3均为质数，
所以为“质朴椭圆”.……………………17分