湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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时限：120分钟 满分：150分 命题人：游林 审题人：钟涛
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数，则“”是“是增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 函数图像的一条对称轴为，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ）
A. 5B. C. D.
5. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的图象的对称轴可以为（ ）．
A. B.
C. D.
6 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数的图象关于直线轴对称，且在上没有最小值，则的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
8. 定义在 上奇函数，且对任意实数x都有，．若，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列等式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 已知抛物线，过焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C. 或
D. 线段中点横坐标为
11. 已知是曲线上的一点，则下列选项中正确的是（ ）
A. 曲线的图象关于原点对称
B. 对任意，直线与曲线有唯一交点
C. 对任意，恒有
D. 曲线在的部分与轴围成图形的面积小于
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若，且，则__________.
13. 海上某货轮在处看灯塔，在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮北偏西，距离为海里C处，货轮由处向正北航行到处时看灯塔在东偏南，则灯塔与处之间的距离为______海里．
14. 若存在实数m，使得对于任意的，不等式恒成立，则取得最大值时，__________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数,.
（1）求函数的单调减区间;
（2）求函数在上的最大值与最小值.
16. 已知，函数在点处的切线过点.
（1）求实数b的值；
（2）证明：在上单调递增；
（3）若对恒成立，求实数a的取值范围．
17. 在中，设内角A，B，C所对的边分别为．
（1），，是否存在正整数，使得，且为钝角三角形？若存在，求出；若不存在，说明理由．
（2）若为的中点，E，F分别在线段上，且，，求面积的最小值及此时对应的的值．
18. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；
（3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值．
19. 正整数集，其中.将集合拆分成个三元子集，这个集合两两没有公共元素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合是“三元可拆集”.
（1）若，判断集合是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由；
（2）若，证明：集合不是“三元可拆集”；
（3）若，是否存在使得集合是“三元可拆集”，若存在，请求出的最大值并给出一种拆法；若不存在，请说明理由.