湖北省十堰市六校2024-2025学年高二上学期九月月考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省十堰市六校2024-2025学年高二上学期九月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．给出下列命题：
①若空间向量,满足,则与的夹角为钝角;
②空间任意两个单位向量必相等;
③对于非零向量,若,则;
④若为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底．
其中说法正确的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
2．袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,设事件A=“第一次摸到白球”,事件“第二次摸到白球”,事件“第一次摸到黑球”,则下列说法中正确的是( )
A.A与B是互斥事件B.A与B不是相互独立事件
C.B与C是对立事件D.A与C是相互独立事件
3．“”是“直线和直线互相垂直”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．在空间四边形OABC中,若E,F分别是AB,BC的中点,H是EF上的点,且,记,则等于( )
A.B.C.D.
5．在空间直角坐标系中,已知点,,,则点C到直线AB的距离为( )
A.B.2C.D.3
6．已知动点Q在所在平面内运动,若对于空间中不在平面ABC上的任意一点P,都有,则实数m的值为( )
A.0B.2C.D.
7．已知正方体中,E是的中点,则直线AE与平面所成角的余弦值是( )
A.B.C.D.
8．直线与直线在同一平面直角坐标系内的图象只可能是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知空间向量,,则下列选项中正确的是( )
A.当时,B.当时,
C.当时,D.当时,
10．下列描述正确的是( )
A.若事件A,B相互独立,,,则
B.若三个事件A,B,C两两独立,则满足
C.若,,则事件A,B相互独立与A,B互斥一定不能同时成立
D.必然事件和不可能事件与任意事件相互独立
11．下列说法正确的是( )
A.直线恒过点
B.经过点,且在x,y轴上截距相等的直线方程为
C.已知,点P在x轴上,则的最小值是5
D.若直线l过点,且与x,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则面积的最小值为12
三、填空题
12．已知,,,夹角为,则________.
13．已知甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为0.7,0.5,0.4,若甲、乙、丙各投篮一次（三人投篮互不影响）,则至多有一人命中的概率为________.
14．已知点,,直线l是过点且与线段AB相交且斜率存在,则l的斜率k的取值范围是________
四、解答题
15．（1）已知,,求AB边的垂直平分线的方程.
（2）求过点且在两坐标轴上的截距是互为相反数的直线l的方程.
16．在试验“袋中有白球3个（编号为1,2,3）、黑球2个（编号为1,2）,这5个球除颜色外完全相同,从中不放回地依次摸取2个,每次摸1个,观察摸出球的情况”中,摸到白球的结果分别记为,,,摸到黑球的结果分别记为,.求:
（1）取到的两个球都是白球的概率;
（2）取到的两个球颜色相同的概率;
（3）取到的两个球至少有一个是白球的概率.
17．如图,四边形ABCD是正方形,平面ABCD,,,F,G,H分别为BP,BE,PC的中点.
（1）求证:平面PDE;
（2）求平面FGH与平面PBC夹角的大小;
（3）求点E到平面PBC的距离.
18．在全球抗击新冠肺炎疫情期间,我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品,保障抗疫一线医疗物资供应,在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时,狠抓质量管理,不定时抽查口罩质量,该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个,将其质量指标值分成以下六组:,,,…,,得到如下频率分布直方图.
（1）求出直方图中m的值;
（2）利用样本估计总体的思想,估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（中位数精确到0.01）;
（3）现规定:质量指标值小于70的口罩为二等品,质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩,并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析,试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.
参考答案
1．答案：B
解析：对于①,当与的夹角为,满足,所以①错误;
对于②,因为向量既有大小又有方向,两向量相等要满足方向相同,长度相等,任意两个单位向量,只能确定长度相等,所以②错误;
对于③,由,得到,所以或与垂直,所以③错误;
对于④,因为为空间向量一个基底,所以不共面,故也不共面,所以构成空间的另一个基底,所以④正确.
故选：B.
2．答案：B
解析：根据题意可知,事件A事件B以同时发生,不是互斥事件,故A错;
不放回摸球,第一次摸球对第二次摸球有影响,所以事件A和事件B不相互独立,故B正确;
事件B的对立事件为“第二次摸到黑球”,故C错;
事件A与事件C对立事件,故D错.
故选:B.
3．答案：B
解析：直线和直线的充要条件为即,
可以推出,但推不出,
故“”是“直线和直线互相垂直”的必要而不充分条件,
故选:B.
4．答案：A
解析：连接OE,OF,因为,E,F分别是AB,BC的中点,
所以
,
故.
故选:A
5．答案：A
解析：根据题意,,
则,
设向量是直线AB的单位方向向量,,
,
则点C到直线AB的距离为.
故选:A.
6．答案：B
解析：因为,动点Q在所在平面内运动,所以,解得.
故选:B.
7．答案：A
解析：如图,以D为原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,
则,,,,
,,,
设平面的法向量为,则
可取.
设直线AE与平面所成角的,则,
于是直线与平面所成角的余弦值为.
故选:A.
8．答案：D
解析：对B，斜率为正，在y轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B错.
当时，和斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足.
故选：D
9．答案：ACD
解析：对A,,存在实数,使得,则,即,
解得,,故A正确;
对B,,,即,解得,故B错误;
对C,当时,,,
,故C正确;
对D,当时,,,
,故D正确.
故选:ACD.
10．答案：ACD
解析：A选项:由,,则,,又事件A,B相互独立,则,A选项正确;
B选项:若三个事件A,B,C两两独立,由独立事件的乘法公式,,,无法确定,B选项错误;
C选项:,,若事件A,B相互独立则,若事件A,B互斥,则,C选项正确;
D选项:设任意事件A发生的概率为P,必然事件事件B发生的概率为1,不可能事件C发生的概率为0,则,,D选项正确;
故选:ACD.
11．答案：ACD
解析：对于A,整理,得,
令,解得所以直线l恒过点,故正确.
对于B,可知所求直线的斜率存在且不为0,设为k,则它的方程为.
令,得,即该直线在y轴上的截距为;
令,得,即该直线在x轴上的截距为.
因为该直线在x,y轴上的截距相等,所以,解得,
所以所求直线的方程为或,B错误.
对于C,点B关于x轴的对称点为,连接交x轴于点,点P是x轴上任意一点,连接,AP,BP,,
于是,
当且仅当点P与重合时,等号成立,
因此,C正确.
对于D,直线l与x,y轴的正半轴分别交于A,B两点,可知直线l的斜率为负数,
设直线,
令,得,令,得,可知,,
可得,
当且仅当,即时,等号成立,
所以面积的最小值为12,D正确.
故选:ACD.
12．答案：
解析：由,,得,,
由,夹角为,得,解得,
所以.
故答案为:
13．答案：0.45/
解析：甲、乙、丙各投篮一次（三人投篮互不影响）,
则没有人命中的概率为,
恰有一人命中的概率为,
所以至多有一人命中的概率为.
故答案为:0.45
14．答案：
解析：因为,,,
所以,.
直线l过点且与线段AB相交,如下图所示:
或,
直线l的斜率k的取值范围是:.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）或
解析：（1）因为,
则中点坐标为
根据垂直直线的斜率关系可得
所以由点斜式可得
化简得
（2）当截距为0时,设直线方程为
代入可得
则
此时
当截距不为0时,设直线方程为
代入可得
解得,即
化简可得
综上可知,直线方程为或
16．答案：（1）;
（2）;
（3）.
解析：（1）由前面的分析可知试验的样本空间
,
共有20个样本点,且每个样本点出现的可能性相同,可用古典概型来计算概率.
设事件A表示“取到的两个球都是白球”,则,
共含有6个样本点,所以,即取到的两个球都是白球的概率为;
（2）设事件B表示“取到的两个球颜色相同”,则,
共含有8个样本点,所以,即取到的两个球颜色相同的概率为;
（3）设事件C表示“取到的两个球至少有一个是白球”,
则,
共含有18个样本点,所以,即取到的两个球至少有一个是白球的概率为.
17．答案：（1）证明见解析
（2）;
（3）
解析：（1）由题意F,G分别为BP,BE的中点,
所以FG是的中位线,
即,
又平面PDE,平面PDE,
所以平面PDE;
（2）由于四边形ABCD是正方形,平面ABCD,
所以DA,DC,DP两两垂直,
以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
如图所示:
又,F,G,H分别为BP,BE,PC的中点,
则,,,,
所以,,;
,,,,
设平面PBC的一个法向量,
则,
解得,令,得;
即,
设平面FGH的一个法向量为,
则,
解得,,令,
即;
设平面FGH与平面PBC夹角的大小为,
所以,
又,所以;
即平面FGH与平面PBC夹角的大小为;
（3）由（2）平面PBC的一个法向量为;
又,
所以点B到与平面PBC的距离距为:
.
18．答案：（1）
（2）平均数为71,中位数为73.33
（3）
解析：（1）由,
得.
（2）平均数为.
设中位数为,
质量指标值位于之间的频率为0.4,位于之间的频率为0.7,
所以,,
且,
解得.
故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71,中位数为73.33.
（3）由频率分布直方图可知,质量指标小于70的频率为0.4,大于70的频率为0.6,
所以100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个.
又抽样比为,
由分层抽样可知,所抽取的5个口罩中一等品有个、二等品有个.
记这3个一等品为a,b,c,2个二等品为d,e,
则从5个口罩中抽取2个,所以可能的样本点的有:,,,,,,,,,,共10个等可能的样本点,
其中恰有1个口罩为一等品包含的样本点有:,,,,,,共6种.
根据古典概型可知,这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为.