湖南省涟源市部分学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)

这是一份湖南省涟源市部分学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A.零向量没有方向
B.空间向量不可以平行移动
C.如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D.同向且等长的有向线段表示同一向量
2．设复数,则( )
A.B.C.1D.
3．已知,,,则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
4．两平面,的法向量分别为,,若,则的值是( )
A.-3B.6C.-6D.-12
5．学校开展学生对食堂满意度的调查活动,已知该校高一年级有学生550人,高二年级有学生500人,高三年级有学生450人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人调查,则抽取的高二年级学生人数为( )
A.18B.20C.22D.24
6．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A.B.C.D.
7．已知空间中两条不同的直线m,n,其方向向量分别为,,则“,”是“直线m,n相交”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
8．已知二面角中,平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,则二面角的平面角满足( )
A.余弦值为B.正弦值为
C.大小为D.大小为
二、多项选择题
9．下列命题是真命题的有( )
A.A,B,M,N是空间四点,若,,不能构成空间的一个基底,那么A,B,M,N共面
B.直线l的方向向量为,直线m的方向向量为,则l与m垂直
C.直线l的方向向量为,平面的法向量为,则
D.平面经过三点,,,,是平面的法向量,则
10．在空间直角坐标系Oxyz中,,,,则( )
A.
B.
C.异面直线OB与AC所成角的余弦值为
D.点O到直线BC的距离是
11．如图,正方体的棱长为2,E为的中点,P为棱BC上的动点（包含端点）,则下列结论正确的是( )
A.存在点P,使
B.存在点P,使
C.四面体的体积为定值
D.二面角的余弦值的取值范围是
三、填空题
12．已知向量,,分别是直线,的方向向量,若,则____________.
13．已知,,那么向量____________.
14．若,,为空间两两夹角都是的三个单位向量,则___________.
四、解答题
15．已知向量,.
(1)求,,.
(2)求向量与夹角的余弦值.
16．已知正方体棱长为2,若F为的中点,则.
(1)求直线与直线的夹角的余弦值
(2)求证：平面平面
17．已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,且.
(1)求B.
(2)若,的面积为,求的周长.
18．在四棱锥中,底面ABCD,且,四边形ABCD是直角梯形,且,,,,M为PC中点,E在线段BC上,且.
（1）求证:平面PAB;
（2）求直线PB与平面PDE所成角的正弦值;
（3）求点E到PD的距离.
19．如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点D，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：对于A：零向量的方向是任意的，A错误；
对于B：空间向量是自由向量可以平移，B错误；
对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，
所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确.
故选：D.
2．答案：D
解析：因为复数,
所以.
故选：D.
3．答案：C
解析：设,即,则,此方程组无解,故,不平行,故A错误;
设,即,则,此方程组无解,故,不平行,故B错误;
,则,故C正确;
,则,不垂直,故D错误.
故选：C.
4．答案：B
解析：因为两平面,的法向量分别为,,且,
所以,所以,
故选：B.
5．答案：B
解析：根据分层抽样的方法,应抽取高二年级学生人数为人.
故选：B.
6．答案：A
解析：，
，
，
，
故选；A.
7．答案：B
解析:由,可知,与不共线,所以两条不同的直线m,n不平行,可能相交,也可能异面,所以“,”不是“直线m,n相交”的充分条件;
由两条不同的直线m,n相交可知,与不共线,所以,,所以“,”是“直线m,n相交”的必要条件,
综上所述:“,”是“直线m,n相交”的必要不充分条件.
故选:B.
8．答案：B
解析：设所求二面角的平面角的大小为,
则,
所以或,故CD错误,
又因为,故A错误,B正确.
故选：B.
9．答案：ABD
解析：对于A,若不能构成空间的一个基底,则,,共面,可得A,B,M,N共面,A正确;
对于B,,故,可得l与m垂直,B正确;
对于C,,故,可得l在内或,C错误;
对于D,,易知,故,故,D正确.
故选：ABD.
10．答案：AC
解析：对于A,,,,
依题意,,,,故A正确;
对于B,,,故B错误;
对于C,,,因为,
则异面直线OB与AC所成角的余弦值为,故C正确;
对于D,因为,,在上的投影为,
所以点O到直线BC的距离是,故D错误.
故选：AC.
11．答案：AB
解析：建立如图所示空间直角坐标系,
设,则,,,,,则,,,
当时,即P点与C点重合时,,故A正确.
由知,解得,此时P点与B点重合,
故B正确.
为定值,故C错误.
又,,设平面的法向量,
由,令则,, ,
又平面的法向量,
,
又,,故D错误.
故选：AB.
12．答案：18
解析：,
,
所以存在实数,使得,
则,解得,,.
.
故答案为：18.
13．答案：
解析：因为,,所以,
故答案为：.
14．答案：
解析：,,为空间两两夹角都是的三个单位向量,
,
.
故答案为：.
15．答案：(1),,
(2)
解析：(1) ,,
,,.
(2)设与的夹角为,则,
,,,,
,
向量与夹角的余弦值为.
16．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)在正方体中,,
所以直线与直线的夹角,即直线与直线的夹角,即为,
在中,,,
,则,
所以直线与直线的夹角的余弦值为.
(2)如图,在正方体中,取的中点O,连接,,,,
易得,,
所以,,
又平面,平面,且平面平面,
所以即为平面与平面所成角,
因为,O是的中点,则,
在中,,
同理,在中,,
又平面,所以在中,,
则,所以,
所以平面平面.
17．答案：(1)
(2)6
解析：(1)因为,,（R为外接圆的半径）,
又因为,
所以,即,
所以,
由余弦定理得,
因为,所以.
(2)因为,
所以,
因为,
所以,
所以,
所以的周长为6.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）如图,取BC中点F,连接MF,DF
因为F为BC中点,,,,所以,
所以四边形ABFD为平行四边形,所以,
又平面PAB,平面PAB,所以平面PAB,
因为F为BC中点,M为PC中点,则,
又平面PAB,平面PAB,所以平面PAB,
因为,MF,平面MDF,所以平面平面PAB,
又平面MDF,故平面PAB.
（2）根据题意,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,
由条件可得,,,,,,
则,,,
设平面PDE的法向量为,
则,解得,
取,则,,所以平面PDE的一个法向量为,
设直线PB与平面PDE所成角为,
则.
所以直线PB与平面PDE所成角的正弦值为.
（3）由（2）可知,,,
所以点E到PD的距离为.
19．答案：(1)证明见解析；
(2)存在；D是上靠近C的三等分点
解析：（1）过点A作于点E，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面.
（2）假设在线段上（不含端点），存在点D，使得二面角的余弦值为，
以B为原点，分别以、为x轴，y轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
即取，，，
所以为平面的一个法向量，
因为D在线段上（不含端点），所以可设，，
所以，
设平面的一个法向量为，
即，
取，，，
所以为平面的一个法向量，
，又，
由已知可得
解得或（舍去），
所以，存在点D，使得二面角的余弦值为，
此时D是上靠近C的三等分点.