江苏省常州市2024-2025学年高二上学期学情调研测试（一）数学试卷(含答案)

这是一份江苏省常州市2024-2025学年高二上学期学情调研测试（一）数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．双曲线（，）的左、右焦点分别为，.过作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为( )
A.B.C.D.
2．若将一个椭圆绕其中心旋转90°,所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是( )
A.B.C.D.
3．已知双曲线的离心率为,其中一条渐近线与圆交于A,B两点,则( )
A.B.C.D.
4．已知椭圆，，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则( )
A.B.C.D.
5．对于一段曲线C,若存在M点,使得对于任意的,都存在,使得,则称曲线C为“自相关曲线”.现有如下两个命题:①任何椭圆都是“自相关曲线”;②存在双曲线是“自相关曲线”,则下列正确的是( )
A.①成立②不成立B.①不成立②成立C.①成立②成立D.①不成立②不成立
6．已知点,直线,动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P,则称该直线为“最远距离直线”,则下列结论中错误的是( )
A.点P的轨迹方程是
B.直线是“最远距离直线”
C.平面上有一点,则的最小值为5
D.点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（即没有交点）
7．已知曲线是双纽线,则下列结论正确的是( )
A.曲线C的图象不关于原点对称
B.曲线C经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C.若直线与曲线C只有一个交点,则实数k的取值范围为
D.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3
二、多项选择题
8．在平面上,定点、之间的距离.曲线C是到定点、距离之积等于的点的轨迹.以点、所在直线为轴,线段的中垂线为轴,建立直角坐标系.已知点是曲线C上一点,下列说法中正确的有( )
A.曲线C是中心对称图形
B.曲线C上有两个点到点、距离相等
C.曲线C上的点的纵坐标的取值范围是
D.曲线C上的点到原点距离的最大值为
9．到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知两定点,,动点满足,设P的轨迹为曲线C,则下列命题错误的是( )
A.曲线C过原点B.P的横坐标最大值是2
C.P的纵坐标最大值是D.
10．某学习小组用函数图象:,和抛物线部分图象围成了一个封闭的“心形线”,过焦点F的直线l交（包含边界点）于A,B两点,P是或上的动点,下列说法正确的是( )
A.抛物线的方程为
B.的最小值为4
C.的最大值为
D.若P在上,则的最小值为
11．曲线被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）.给出下列四个结论,正确的有( )
A.曲线C关于直线交于不同于原点O的,两点,则
B.存在一个以原点为中心、边长为1的正方形,使得曲线C在此正方形区域内（含边界）;
C.存在一个以原点为中心、半径为1的圆,使得曲线C在此圆面内（含边界）;
D.曲线C上存在一个点M,使得点M到两坐标轴的距离之积大于.
三、填空题
12．已知圆的面积为,则________.
13．已知直线与交于A,B两点,写出满足“面积为”的m的一个值________.
14．在空间直角坐标系下,由方程所表示的曲面叫做椭球面（或称椭圆面）.如果用坐标平面,,分别截椭球面,所得截面都是椭圆（如图所示）,这三个截面的方程分别为,,上述三个椭圆叫做椭球面的主截线（或主椭圆）.已知椭球面的轴与坐标轴重合,且过椭圆与点,则这个椭球面的方程为________.
四、解答题
15．设抛物线,直线与C交于A,B两点,且.
（1）求p;
（2）设C的焦点为F,M,N为C上两点,,求面积的最小值.
16．已知椭圆的左右顶点分别为,,右焦点为F,已知.
（1）求椭圆的方程和离心率;
（2）点P在椭圆上（异于椭圆的顶点）,直线交y轴于点Q,若三角形的面积是三角形面积的二倍,求直线的方程.
17．已知抛物线,在上有一点A位于第一象限,设A的纵坐标为.
（1）若A到抛物线准线的距离为,求a的值;
（2）当时,若x轴上存在一点B,使AB的中点在抛物线上,求到直线AB的距离;
（3）直线,抛物线上有一异于点A的动点P,P在直线l上的投影为点H,直线AP与直线l的交点为Q.若在P的位置变化过程中,恒成立,求a的取值范围.
18．在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点的距离,记动点P的轨迹为W.
（1）求W的方程;
（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于.
19．在平面内,若直线将多边形分为两部分,多边形在l两侧的顶点到直线l的距离之和相等,则称为多边形的一条“等线”,已知O为坐标原点,双曲线的左、右焦点分别为,,E的离心率为2,点为右支上一动点,直线m与曲线E相切于点P,且与E的渐近线交于A,B两点,当轴时,直线为的等线.
（1）求E的方程;
（2）若是四边形的等线,求四边形的面积;
（3）设,点G的轨迹为曲线,证明:在点G处的切线n为的等线
参考答案
1．答案：D
解析：不妨取渐近线，此时直线的方程为，与联立并解得即.因为直线与渐近线垂直，所以的长度即为点到直线（即）的距离，由点到直线的距离公式得，所以.因为，，且直线的斜率为，所以，化简得，又，，所以，整理得，即，解得.所以双曲线的方程为，故选D.
2．答案：A
解析：由“对偶椭圆”定义得:短半轴长b与半焦距c相等的椭圆是“对偶椭圆”,
对于A,,即,A是“对偶椭圆”;
对于B,,即,B不是“对偶椭圆”;
对于C,,即,C不是“对偶椭圆”;
对于D,,即,D不是“对偶椭圆”.
故选:A
3．答案：D
解析：圆的圆心,半径,
由双曲线的离心率为,得,解得,
于是双曲线的渐近线方程为,即,
当渐近线为时,点到此直线距离,即直线与已知圆相离,不符合要求,
当渐近线为时,点到此直线距离,则直线与已知圆相交,
所以弦长.
故选:D
4．答案：B
解析：由题意椭圆，，为两个焦点，可得，，，
则①，即，
由余弦定理得，
，故，②
联立①②，解得：，，
而，所以，
即，
故选：B
5．答案：A
解析：由于椭圆是封闭的,则总可以找到满足题意的M点,使得成立,
不妨设椭圆方程为,取点,
由椭圆性质可知,椭圆上的任意点P,总有,
若,则,
由,得,
整理得,
所以在椭圆上必存在点Q,使得成立,①成立;
在双曲线中,假定存在M点,显然的最大值趋于正无穷大,的最小值是定值,
即的最小值是定值,设,则,
由,显然,不妨令,取,则,
与矛盾,②不成立.
故选:A
6．答案：D
解析：设,因为动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半,
所以,整理得,A说法正确;
联立可得,解得,
所以存在点,直线是“最远距离直线”,B说法正确;
过P作PB垂直于直线,垂足为B,
由题意得,则,
由图可知的最小值即为点A到直线的距离5,C说法正确;
由得,圆C圆心为,半径为1,
易得点P的轨迹与圆C交于点,D说法错误;
故选:D
7．答案：D
解析：对于A,结合曲线,将代入,
方程不变,即曲线C的图象关于原点对称,A错误;
对于B,令,则,解得,
令,则,解得,
令,则,解得,
故曲线C经过的整点只能是,,,B错误;
对于C,直线与曲线必有公共点,
因此若直线与曲线C只有一个交点,则只有一个解,
即只有一个解为,即时,无解,
故,即实数的取值范围为,C错误,
对于D,由,可得,时取等号,
则曲线C上任意一点到坐标原点O的距离为,即都不超过3,D正确,
故选:D
8．答案：ACD
解析：对A:由题意可得,,设点是曲线C上任意一点,
则有,
显然,,
即点关于原点对称点在曲线C上,
因此曲线C是中心对称图形,故A正确;
对B:曲线C上点P满足,则点P在y轴上,
由得,解得,
因此曲线C上只有一个点到点、距离相等,故B错误;
对C:当时,,
即,当且仅当,
由直线三角形中线性质可得,
亦即,时取等号,此时,
而点在曲线C上,即成立,因此,
曲线C上的点的纵坐标的取值范围是,故C正确;
对D:因为,
则,
当时,由余弦定理得,
于是得,
当时,或,有或,
因此曲线C上的点到原点距离的最大值为,故D正确.
故选:ACD.
9．答案：BC
解析：由题意知动点满足,,,
故,
即,
即,则,
对于A,当时,,即曲线C过原点,A正确;
对于B,由,得,
则,解得,即P的横坐标最大值是,B错误;
对于C,因为,
当且仅当时取等号,即P的纵坐标最大值是1,C错误;
对于D,若,即,
令,则,即,
设,,
即在上单调递增,故,即成立,
故成立,D正确,
故选:BC
10．答案：ACD
解析：可变形为,
表示以为圆心,2为半径的圆的上半部分;
可变形为,
表示以为圆心,2为半径的圆的上半部分.
对于A选项,抛物线过点,解得,
,故A选项正确;
对于B选项,抛物线的准线为,
过点B作,垂足为,
则,则,
故B选项不正确;
对于C选项,不妨设,显然离l最远的点在上,
且,
联立,消去y整理得,
,
则,,
则,
由对称性只考虑情况,B在E点时,,所以,
所以
,
设,易得在上单调递增,
所以的最大值为,故C选项正确;
对于D选项,设AB的中点为M,
联立,消去y整理得,
则,,
,,
,
所以,,
,
最小,即最大,也即最小,
又AB的中点M位于圆心的左侧,
故当P在位置时,最小,最小,
所以
,
故D选项正确.
故选:ACD.
11．答案：AC
解析：因为由可得,所以曲线关于原点对称,
又直线过原点,所以与两点关于原点对称,
所以,所以A正确;
由,所以,
即:①,当取等号,此时,点在曲线上,
而,所以不可能在一个以原点为中心、边长为1的正方形内,所以B错误,
点可以在一个以原点为中心、半径为1的圆上,故C正确,
由①式知,所以D错误.
故答案为:AC.
12．答案：
解析：圆化为标准方程为:,
圆的面积为,圆的半径为,
,解得.
故答案为:.
13．答案：2（2,,,中任意一个皆可以）
解析：设点C到直线AB的距离为d,由弦长公式得,
所以,解得:或,
由,所以或,解得:或.
故答案为:2（2,,,中任意一个皆可以）.
14．答案：
解析：设椭球面的方程为:,
椭球面过点,,解得:,
椭球面的方程为:.
故答案为:.
15．答案：（1）2
（2）
解析：（1）设,,
由,可得,
所以,,
所以,
即,因为,解得;
（2）由（1）得抛物线,
因为,显然直线的斜率不可能为零,
设直线,,,
由,可得,所以,,
,
因为,所以,
即,
亦即,
将,代入得,
,,
所以,且,解得或,
设点F到直线MN的距离为d,则,
,
所以的面积,
而或,
所以当时,的面积.
16．答案：（1）椭圆的方程为,离心率为.
（2）.
解析：（1）如图,
由题意得,解得,所以,
所以椭圆的方程为,离心率为.
（2）由题意得,直线斜率存在,由椭圆的方程为可得,
设直线的方程为,
联立方程组,消去y整理得:,
由韦达定理得,所以,
所以,.
所以,,,
所以,
所以,即,
解得,所以直线的方程为.
17．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）抛物线的准线为,由于A到抛物线准线的距离为3,
则点A的横坐标为2,则,解得;
（2）当时,点A的横坐标为,则,
设,则AB的中点为,
由题意可得,解得,
所以,则,
由点斜式可得,直线AB的方程为,即,
所以原点O到直线AB的距离为;
（3）如图,
设,,,则,
故直线AP的方程为,令,可得,
即,
则,依题意,恒成立,
又,则最小值为,
即,即,
则,解得,
又当时,,当且仅当时等号成立,
而,即当时,也符合题意.故实数a的取值范围为.
18．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）设,则,两边同平方化简得,
故.
（2）法一:设矩形的三个顶点,,在W上,且,易知矩形四条边所在直线的斜率均存在,且不为0,
则,,令,
同理令,且,则,
设矩形周长为C,由对称性不妨设,,
则,易知
则令,
令,解得,
当时,,此时单调递减,
当,,此时单调递增,
则,
故,即.
当时,,,且,即时等号成立,矛盾,故,
得证.
法二:不妨设A,B,D在W上,且,
依题意可设,易知直线BA,DA的斜率均存在且不为0,
则设BA,DA的斜率分别为和,由对称性,不妨设,
直线AB的方程为,
则联立得,
,则
则,
同理,
令,则,设,
则,令,解得,
当时,,此时单调递减,
当,,此时单调递增,
则,
,
但,此处取等条件为,与最终取等时不一致,故.
法三:为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线,
矩形变换为矩形,则问题等价于矩形的周长大于.
设,,,根据对称性不妨设.
则,,由于,则.
由于,,且介于,之间,
则.令,
,,则,,
从而
故
①当时,
②当时,由于,从而,
从而又,
故,由此
,
当且仅当时等号成立,故,故矩形周长大于.
.
19．答案：（1）
（2）12
（3）证明见解析
解析：（1）由题意知,,,显然点P在直线的上方,
因为直线为的等线,所以,,,
解得,,所以E的方程为
（2）设,切线,代入得:
故,
该式可以看作关于k的一元二次方程,
所以,即m方程为
当m的斜率不存在时,也成立
渐近线方程为,不妨设A在B上方,
联立得,故,
所以P是线段AB的中点,因为,到过O的直线距离相等,
则过O点的等线必定满足:A,B到该等线距离相等,
且分居两侧,所以该等线必过点P,即OP的方程为,
由,解得,故.
所以,
所以,
所以,所以
（3）
设,由,所以,
故曲线的方程为
由（*）知切线为n,也为,即,即
易知A与在n的右侧,在n的左侧,分别记,,A到n的距离为,,,
由（2）知,,
所以
由得
因为,
所以直线n为的等线.