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江苏省高邮市七校2025届高三上学期9月联考数学试卷(含答案)
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这是一份江苏省高邮市七校2025届高三上学期9月联考数学试卷(含答案),共16页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题
1.如图,已知矩形U表示全集,A、B是U的两个子集,则阴影部分可表示为( )
A.B.C.D.
2.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足,,则此三角形面积的最大值为( )
A.B.C.D.
3.已知点A是抛物线上一点,若A到抛物线焦点的距离为5,且A到x轴的距离为4,则( )
A.1或2B.2或4C.2或8D.4或8
4.圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,母线长为4.已知P为该圆台某条母线的中点,若一质点从点P出发,绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P,则该质点运动的最短路径长为( )
A.B.6C.D.
5.将数字1,2,3,4,5,6,7,8,9随机填入的正方形格子中,则每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为( )
A.B.C.D.
6.定义:已知数列的首项,前n项和为.设与k是常数,若对一切正整数n,均有成立,则称此数列为“”数列.若数列是“”数列,则数列的通项公式( )
A.B.C.D.
7.在的展开式中,含的项的系数是7,则( )
A.1B.2C.3D.4
8.已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间单调递减,若,且满足,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9.欧拉公式(i为虚数单位,)是由数学家欧拉创立的,该公式建立了三角函数与指数函数的关联,被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式,下列选项正确的是( )
A.的虚部为B.C.D.的共轭复数为
10.对于随机事件A,B,若,,,则( )
A.B.C.D.
11.如图,正方体的棱长为1,动点P在对角线上,过P作垂直于的平面,记平面与正方体的截面多边形(含三角形)的周长为L,面积为S,,,下面关于函数和的描述正确的是( )
A.最大值为;
B.在时取得极大值;
C.在上单调递增,在上单调递减;
D.在上单调递增,在上单调递减
三、填空题
12.《易经》是中华民族智慧的结晶,易有太极,太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦,易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH,其中,O为正八边形的中心,则________.
13.已知数列满足,,,且,则________.
14.已知函数,若存在实数,,且,使得,则的最大值为________.
四、解答题
15.已知锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若.
(1)证明:;
(2)若,求的取值范围.
16.已知数列的前n项和为,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
17.如图,四边形ABCD为菱形,平面ABCD.
(1)证明:平面平面PBD;
(2)若,二面角的大小为120°,求PC与BD所成角的余弦值.
18.已知椭圆的两个焦点分别为,,离心率为,点P为C上一点,周长为,其中为坐标原点.
(1)求C的方程;
(2)直线与C交于A,B两点,
(i)求面积的最大值;
(ii)设,试证明点Q在定直线上,并求出定直线方程.
19.已知函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)若函数存在正零点,
(i)求a的取值范围;
(ii)记为的极值点,证明:.
参考答案
1.答案:D
解析:在阴影部分区域内任取一个元素x,
则且,即且,
所以,阴影部分可表示为.
故选:D.
2.答案:B
解析:由题意可知,三角形的周长为12,则,
,
因为,所以,当且仅当时等号成立,
所以ab的最大值为16,
所以三角形面积的最大值.
故选:B
3.答案:C
解析:由题意得,,
其中,故,解得或8,
故选:C
4.答案:A
解析:P为圆台母线AB的中点,,分别为上下底面的圆心,把圆台扩成圆锥,如图所示,
则,,,
由,有,,,
圆锥底面半径,底面圆的周长为,母线长,
所以侧面展开图的扇形的圆心角为,即,如图所示,
质点从点P出发,绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P,则运动的最短路径为展开图弦,
,,有.
故选:A
5.答案:A
解析:符合题意的填写方法有如下8种:
而9个数填入9个格子有种方法
所以所求概率为,
故选:A.
6.答案:B
解析:因为数列是“”数列,则,,
所以,而,
,,,
,
,
,,,,
,,
,
.
故选:B
7.答案:D
解析:由题意可知展开式中含的项:
,
故选:D.
8.答案:D
解析:依题意,是偶函数,且在区间单调递减,
由得,
所以,所以或,
所以或,
所以a的取值范围是.
故选:D
9.答案:ABD
解析:对于A中,由,其虚部为,所以A正确;
对于B中,由,所以B正确;
对于C中,由,则,所以C错误;
对于D中,由,故的共轭复数为,所以D正确.
故选:ABD.
10.答案:BCD
解析:对A:因为,故A错误;
对B:由,故B正确;
对C:因为,故C正确;
对D:,
所以:.
所以.故D正确.
故选:BCD.
11.答案:AD
解析:当时,截面为等边三角形,如图:
因为,所以,
所以:,,.
此时,在上单调递增,且,.
当时截面为六边形,如图:
设,则
所以六边形的周长为:为定值;
做平面于,平面于.
设平面与平面所成的角为,则易求.
所以,
所以,
在上递增,在上递减,
所以截面面积的最大值为,此时,即.
所以在上递增,在上递减.时,最大,为.
当时,易得:
,
此时,在上单调递减,,.
综上可知:AD是正确的,BC错误.
故选:AD
12.答案:/
解析:在正八边形ABCDEFGH中,连接HC,则,
而,即,于是,在等腰梯形ABCH中,
,所以.
故答案为:
13.答案:1
解析:当得,又,,得,解得.
则,
所以.
故答案为:1.
14.答案:
解析:根据题意作出函数的图象,如图所示,
令,解得或,
令,解得或或,
由题意可知:与有三个交点,则,
此时,且,
令,可得,
则,
令,则,
可知在内单调递增,则的最大值为,
所以的最大值为.
故答案为:.
15.答案:(1)证明见解析
(2)
解析:(1)因为,由正弦定理得,
所以,
所以,
而,,则或,
即或(舍去),故.
(2)因为是锐角三角形,所以,解得,
所以的取值范围是,
由正弦定理可得:,则,
所以,所以,
因为,所以,
所以,所以,
所以,
因为,所以,
所以的取值范围是.
16.答案:(1),
(2),.
解析:(1)由,则当时
两式相减得,所以.
将代入得,,
所以对于,故是首项为2,公比为2的等比数列,
所以.
(2).
,
因为当时,当时,
所以当时,,
当时,.
故.
17.答案:(1)证明见详解.
(2).
解析:(1)平面ABCD且平面ABCD
,
在菱形ABCD中,,且,PB,平面PBD,
平面PBD
又平面PAC
平面平面PBD.
(2)平面ABCD且平面ABCD,平面ABCD
,,即二面角是,
,
取AC与BD交点为O,设,
则,
,,
以O为坐标原点,OB为x轴,OC为y轴,如图建立空间直角坐标系,
则,,,
,
.
所以BD,PC所成角的余弦值为.
18.答案:(1)
(2)(i);
(ii)证明见解析,.
解析:(1)设焦距为2c,依题意,解得
又,所以,
所以C的方程为.
(2)(i)设,,
因为,所以,
,解得,
所以,,
点O到直线的距离,
的面积
当且仅当,即时,面积的最大值为.
(ii)设,由,有,
即
因为,所以,
故,于是有,
所以点Q在定直线.
19.答案:(1)单调递减区间是,无单调递增区间
(2)(i);
(ii)证明见解析
解析:(1)由已知可得的定义域为,
且,
因此当时,,从而,
所以的单减区间是,无单增区间;
(2)(ⅰ)由(1)知,,
令,,
当时,,单调递减.
①当时,可知,在内单调递减,
又,故当时,,所以不存在正零点;
②当时,,,,
在单调递减,故当时,,函数不存在正零点;
③当时,,此时,,
所以存在满足,
所以在内单调递增,在内单调递减.
令,则当时,,
故在内单调递增,在内单调递减,
从而当时,,即,
所以,
又因为,所以,
因此,此时存在正零点;
综上,实数a的取值范围为;
(ⅱ)由题意,,即,
从而,即,
由(ⅰ)知当时,,即,有,
又,故,
两边取对数,得,
于是,整理得.
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