江苏省高邮市七校2025届高三上学期9月联考数学试卷(含答案)

这是一份江苏省高邮市七校2025届高三上学期9月联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．如图,已知矩形U表示全集,A、B是U的两个子集,则阴影部分可表示为( )
A.B.C.D.
2．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足,,则此三角形面积的最大值为( )
A.B.C.D.
3．已知点A是抛物线上一点,若A到抛物线焦点的距离为5,且A到x轴的距离为4,则( )
A.1或2B.2或4C.2或8D.4或8
4．圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,母线长为4.已知P为该圆台某条母线的中点,若一质点从点P出发,绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P,则该质点运动的最短路径长为( )
A.B.6C.D.
5．将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9随机填入的正方形格子中，则每一横行､每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为( )
A.B.C.D.
6．定义:已知数列的首项,前n项和为.设与k是常数,若对一切正整数n,均有成立,则称此数列为“”数列.若数列是“”数列,则数列的通项公式( )
A.B.C.D.
7．在的展开式中,含的项的系数是7,则( )
A.1B.2C.3D.4
8．已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间单调递减,若,且满足,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．欧拉公式（i为虚数单位,）是由数学家欧拉创立的,该公式建立了三角函数与指数函数的关联,被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式,下列选项正确的是( )
A.的虚部为B.C.D.的共轭复数为
10．对于随机事件A,B,若,,,则( )
A.B.C.D.
11．如图，正方体的棱长为1，动点P在对角线上，过P作垂直于的平面，记平面与正方体的截面多边形（含三角形）的周长为L，面积为S，，，下面关于函数和的描述正确的是( )
A.最大值为；
B.在时取得极大值；
C.在上单调递增，在上单调递减；
D.在上单调递增，在上单调递减
三、填空题
12．《易经》是中华民族智慧的结晶,易有太极,太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦,易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH,其中,O为正八边形的中心,则________.
13．已知数列满足,,,且,则________.
14．已知函数,若存在实数,,且,使得,则的最大值为________.
四、解答题
15．已知锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若.
(1)证明：;
(2)若,求的取值范围.
16．已知数列的前n项和为,且,.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
17．如图,四边形ABCD为菱形,平面ABCD.
（1）证明:平面平面PBD;
（2）若,二面角的大小为120°,求PC与BD所成角的余弦值.
18．已知椭圆的两个焦点分别为,,离心率为,点P为C上一点,周长为,其中为坐标原点.
（1）求C的方程;
（2）直线与C交于A,B两点,
（i）求面积的最大值;
（ii）设,试证明点Q在定直线上,并求出定直线方程.
19．已知函数.
（1）当时,求的单调区间;
（2）若函数存在正零点,
（i）求a的取值范围;
（ii）记为的极值点,证明:.
参考答案
1．答案：D
解析：在阴影部分区域内任取一个元素x,
则且,即且,
所以,阴影部分可表示为.
故选:D.
2．答案：B
解析：由题意可知,三角形的周长为12,则,
,
因为,所以,当且仅当时等号成立,
所以ab的最大值为16,
所以三角形面积的最大值.
故选:B
3．答案：C
解析：由题意得,,
其中,故,解得或8,
故选:C
4．答案：A
解析：P为圆台母线AB的中点,,分别为上下底面的圆心,把圆台扩成圆锥,如图所示,
则,,,
由,有,,,
圆锥底面半径,底面圆的周长为,母线长,
所以侧面展开图的扇形的圆心角为,即,如图所示,
质点从点P出发,绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P,则运动的最短路径为展开图弦,
,,有.
故选:A
5．答案：A
解析：符合题意的填写方法有如下8种：
而9个数填入9个格子有种方法
所以所求概率为，
故选：A．
6．答案：B
解析：因为数列是“”数列,则,,
所以,而,
,,,
,
,
,,,,
,,
,
.
故选:B
7．答案：D
解析：由题意可知展开式中含的项:
,
故选:D.
8．答案：D
解析：依题意,是偶函数,且在区间单调递减,
由得,
所以,所以或,
所以或,
所以a的取值范围是.
故选:D
9．答案：ABD
解析：对于A中,由,其虚部为,所以A正确;
对于B中,由,所以B正确;
对于C中,由,则,所以C错误;
对于D中,由,故的共轭复数为,所以D正确.
故选:ABD.
10．答案：BCD
解析：对A：因为,故A错误;
对B：由,故B正确;
对C：因为,故C正确;
对D：,
所以：.
所以.故D正确.
故选：BCD.
11．答案：AD
解析：当时，截面为等边三角形，如图：
因为，所以，
所以：，，.
此时，在上单调递增，且，.
当时截面为六边形，如图：
设，则
所以六边形的周长为：为定值；
做平面于，平面于.
设平面与平面所成的角为，则易求.
所以，
所以，
在上递增，在上递减，
所以截面面积的最大值为，此时，即.
所以在上递增，在上递减.时，最大，为.
当时，易得：
，
此时，在上单调递减，，.
综上可知：AD是正确的，BC错误.
故选：AD
12．答案：/
解析：在正八边形ABCDEFGH中,连接HC,则,
而,即,于是,在等腰梯形ABCH中,
,所以.
故答案为:
13．答案：1
解析：当得,又,,得,解得.
则,
所以.
故答案为:1.
14．答案：
解析：根据题意作出函数的图象,如图所示,
令,解得或,
令,解得或或,
由题意可知:与有三个交点,则,
此时,且,
令,可得,
则,
令,则,
可知在内单调递增,则的最大值为,
所以的最大值为.
故答案为:.
15．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为,由正弦定理得,
所以,
所以,
而,,则或,
即或（舍去）,故.
(2)因为是锐角三角形,所以,解得,
所以的取值范围是,
由正弦定理可得：,则,
所以,所以,
因为,所以,
所以,所以,
所以,
因为,所以,
所以的取值范围是.
16．答案：（1）,
（2）,.
解析：（1）由,则当时
两式相减得,所以.
将代入得,,
所以对于,故是首项为2,公比为2的等比数列,
所以.
（2）.
,
因为当时,当时,
所以当时,,
当时,.
故.
17．答案：（1）证明见详解.
（2）.
解析：（1）平面ABCD且平面ABCD
,
在菱形ABCD中,,且,PB,平面PBD,
平面PBD
又平面PAC
平面平面PBD.
（2）平面ABCD且平面ABCD,平面ABCD
,,即二面角是,
,
取AC与BD交点为O,设,
则,
,,
以O为坐标原点,OB为x轴,OC为y轴,如图建立空间直角坐标系,
则,,,
,
.
所以BD,PC所成角的余弦值为.
18．答案：（1）
（2）（i）;
（ii）证明见解析,.
解析：（1）设焦距为2c,依题意,解得
又,所以,
所以C的方程为.
（2）（i）设,,
因为,所以,
,解得,
所以,,
点O到直线的距离,
的面积
当且仅当,即时,面积的最大值为.
（ii）设,由,有,
即
因为,所以,
故,于是有,
所以点Q在定直线.
19．答案：（1）单调递减区间是,无单调递增区间
（2）（i）;
（ii）证明见解析
解析：（1）由已知可得的定义域为,
且,
因此当时,,从而,
所以的单减区间是,无单增区间;
（2）（ⅰ）由（1）知,,
令,,
当时,,单调递减.
①当时,可知,在内单调递减,
又,故当时,,所以不存在正零点;
②当时,,,,
在单调递减,故当时,,函数不存在正零点;
③当时,,此时,,
所以存在满足,
所以在内单调递增,在内单调递减.
令,则当时,,
故在内单调递增,在内单调递减,
从而当时,,即,
所以,
又因为,所以,
因此,此时存在正零点;
综上,实数a的取值范围为;
（ⅱ）由题意,,即,
从而,即,
由（ⅰ）知当时,,即,有,
又,故,
两边取对数,得,
于是,整理得.