乾县第二中学2024-2025学年高二上学期10月阶段检测数学试卷(含答案)

这是一份乾县第二中学2024-2025学年高二上学期10月阶段检测数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知全集，，，则( )
A.B.C.D.
2．已知，，则( )
A.B.C.D.
3．若椭圆满足，则该椭圆的离心率( )
A.B.C.D.
4．若椭圆的右焦点坐标为，则的值为( )
A.1B.1或3C.9D.1或9
5．平面向量，，则( )
A.B.C.与的夹角为D.与的夹角为
6．已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点P的轨迹方程为( )
A.B.
C.D.
7．集合，集合，从A，B中各任意取一个数相加为a，则直线与直线平行的概率为( )
A.B.C.D.
8．如图，在正方体中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
9．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥，该三棱锥为鳖臑，，为半圆柱的圆心，半径为2，，，动点Q在内运动（含边界），且满足，则点Q的轨迹长度为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
10．给出四个条件：
①，②，③，④，其中能成为的充分条件的有( )
A.①B.②C.③D.④
11．若数据，，和数据，，的平均数、方差、极差均相等，则( )
A.数据，，，，，与数据，，的平均数相等
B.数据，，，，，与数据，，的方差相等
C.数据，，，，，与数据，，的极差相等
D.数据，，，，，与数据，，的中位数相等
12．如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P为底面正方形内（含边界）的动点，则( )
A.三棱锥的体积为定值B.直线平面
C.当时，D.直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题
13．如图，已知圆，A，B是圆O上两个动点，点，则矩形的顶点C的轨迹方程是___________.
14．已知点，，P是直线上一点，则的最小值为__________.
15．若向量，，且，则t的值为__________.
四、解答题
16．在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点B的坐标为.
（1）求直线的方程；
（2）求直线的方程及点C的坐标.
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）若，求B；
（2）若，，求的面积.
18．已知抛物线，过点的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M.
（1）设直线，的斜率分别为，，证明：；
（2）设线段的中点为N，求的取值范围.
19．图1是棱长为2的正方体，E，F，，分别是，，，的中点，截去三棱柱和三棱柱得到如图2的四棱柱，G，H分别是，的中点，过点B，G，H的平面交于点M.
（1）求线段的长；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
20．已知函数，
（1）求函数的定义域；
（2）设，若函数在有且仅有一个零点，求实数a的取值范围；
（3）设，是否存在正实数m，使得函数在内的最小值为4?若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：因为全集，，所以，
又因为，.
故选：D.
2．答案：A
解析：由诱导公式得，又由，可得.
故选：A.
3．答案：B
解析：椭圆满足，
则该椭圆的离心率.
故选：B.
4．答案：C
解析：根据右焦点坐标为，可得，且焦点在x轴上，
故，
故选：C
5．答案：D
解析：向量，,
夹角的余弦为0,
故选：B
6．答案：B
解析：设，，由中点坐标公式得，，
所以，，故，
因为A在圆上运动，
所以，
化简得，故B正确.
故选：B
7．答案：B
解析：从A，B中各任意取一个数相加，有种情况，
当直线，则，则，
当时，从A，B中取一个数相加为的有，，2种情况，
当时，从A，B中取一个数相加为的有，，2种情况，
所以满足条件的有4种情况，
所以满足条件的概率.
故选：B
8．答案：B
解析：设正方体的棱长为1，以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，.
设平面AMN的法向量为，
由于，，则
即
令，解得，，于是，
同理可求得平面BMN的一个法向量为，所以，
设平面MNA与平面MNB的夹角为，则.故所求两平面夹角的余弦值为.故选B.
9．答案：A
解析：因为三棱锥为鳖臑，平面，
在中，，，，，
过B做垂足为T，则，
即，所以，
因为，，，
。，
在中，，，，
所以，则，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以中，，，，
过A作，，
即，可得，
则过T作，因为T是中点，所以，，
所以动点Q在内（含边界）的轨迹为以T为圆心以为半径的半圆，
则点Q的轨迹长度为.
故选：A.
10．答案：AD
解析：①由可知,,故,故①是;
②由可知,,当时,有;当时,有,故②不是;
③由,则,推不出,故③不是;
④由,由函数在区间上单调递减,可得,故④是.
故选：AD
11．答案：ABC
解析：设数据，，的平均数为，数据，，的平均数也为.
那么数据，，，，，的平均数为，
所以数据，，，，，与数据，，的平均数相等，A选项正确.
设数据，，的方差为，数据，，的方差也为.对于数据，，，，，，
其方差计算为
，
所以数据，，，，，与数据，，的方差相等，B选项正确.
设数据，，的极差为R，数据，，的极差也为R.
对于数据，，，，，，其极差是这六个数中的最大值减去最小值，
由于前面两组数据的极差相等，所以组合后数据的极差依然是R，
所以数据，，，，，与数据，，的极差相等，C选项正确.
设数据，，按从小到大排列为，中位数为.
设数据，，按从小到大排列为，中位数为.
对于数据，，，，，按从小到大排列后，中位数不一定是，
所以数据，，，，，与数据，，的中位数不一定相等，D选项错误.
故选：ABC
12．答案：AD
解析：
对于A，如图1，因，故A正确；
对于B，如图2建立空间直角坐标系，则，，，，，
于是，，，，
设平面的法向量为，则，故可取，
由知与不垂直，
故直线与平面不平行，即B错误；
对于C，由上图建系，则，，
因P为底面正方形内（含边界）的动点，不妨设，则，，
由题意，，即，于是，
此时，故与不垂直，即C错误；
对于D，由图知平面的法向量可取为，因，
设直线与平面所成角，
则，故D正确.
故选：AD.
13．答案：
解析：设点，如图连接，交于M，
由矩形可知M为的中点，，
连接，，在直角中，，则
即，整理得，
所以顶点C的轨迹方程是
故答案为：
14．答案：5
解析：设M点关于直线的对称点，
则，解得，，
故，故，
故最小值为：5
15．答案：1
解析：因为向量,，
所以,
,
又，
所以，
解得.
故答案为:1.
16．答案：（1）；
（2），
解析：（1）由于所在直线的方程为，故的斜率为，
与互相垂直，直线的斜率为，
结合，可得的点斜式方程：，
化简整理，得，即为所求的直线方程.
（2）由和联解，得
由此可得直线方程为：，即，
，关于角A平分线x轴对称，
直线的方程为：，
直线方程为，
将、方程联解，得，，
因此，可得C点的坐标为.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，所以由正弦定理得，
，
又代入上式得，
所以，
由，则B为锐角，且，
所以.
（2）由（1）知，，
因为，，所以，则，，
故，或（舍去）
所以，又，，
由正弦定理得，
则，则，
由余弦定理得，则，
化简得，解得，
所以.
故的面积为.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）由题意知，直线l的斜率存在，
设点，，直线l的方程为，
由得，
，，.
由，得切点，，
则切线的方程为，代入，得，
所以，解得，
同理，得切线的斜率，
所以.
（2）由（1）可得，
故，.
由（1）得，
可化为，①
同理得，②
由①②，得，，即，
则.
，
所以.
由，，得，故，
即的取值范围为.
19．答案：（1）；
（2）
解析：（1）方法一：在图1中延长与相交于K，延长与相交于，延长与相交于I，连接交于M，如图所示，由，
得，求得，.
方法二：在图1中过点G作的平行线交于T点，连接交于点M，
如图所示，易知，.
（2）在图2中，以A为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，平面即平面，则，，，，，
设面的法向量，
有，令，则，，，
，，，，
设面的法向量为，
有，令，则，，，
.
则面与面的夹角的余弦值是.
20．答案：（1）；
（2）；
（3）存在，使得函数在内的最小值为4
解析：（1）函数的定义域是
（2）在区间上单调递增，且值域为，令，得
故函数在有且仅有一个零点时
实数a的取值范围是
（3）设，则时，
①当时，
在处取得最小值，由得(舍去)；
②当时，
在处取得最小值，由得(舍去)；
③当时，
在处取得最小值，由得(符合题意)；
综上可知，存在，使得函数在内的最小值为4.