长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数,则( )
A.B.C.3D.5
2．无论为何值,直线过定点( )
A.B.C.D.
3．在平行四边形中,,,,则点D的坐标为( )
A.B.C.D.
4．已知,则( )
A.B.C.D.
5．直线关于对称的直线方程为( )
A.B.
C.D.
6．已知椭圆的离心率为,则( )
A.B.或C.8或2D.8
7．已知实数x,y满足,则的范围是( )
A.B.C.D.
8．已知平面上一点,若直线l上存在点P使,则称该直线为点的“相关直线”,下列直线中不是点的“相关直线”的是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知直线,圆,O为坐标原点,下列说法正确的是( )
A.若圆C关于直线l对称,则
B.点O到直线l的距离的最大值为
C.存在两个不同的实数,使得直线l与圆C相切
D.存在两个不同的实数,使得圆C上恰有三个点到直线l的距离为
10．已知圆与圆的一个交点为M,动点M的轨迹是曲线C,则下列说法正确的是( )
A.曲线C的方程为
B.曲线C的方程为
C.过点且垂直于x轴的直线与曲线C相交所得弦长为
D.曲线C上的点到直线的距离的最大值为
11．在边长为2的正方体中,M为边的中点,下列结论正确的有( )
A.与所成角的余弦值为
B.过A,M,三点的正方体的截面面积为3
C.当P在线段上运动时,的最小值为3
D.若Q为正方体表面上的一个动点,E,F分别为的三等分点,则的最小值为
三、填空题
12．通过科学研究发现：地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震,2019年乙地发生里氏7级地震,若甲、乙两地地震释放的能量分别为,,则__________.
13．直线的倾斜角的取值范围是__________
14．如图,设,分别是椭圆的左、右焦点,点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点,延长与椭圆交于点Q,若,则直线的斜率为__________.
四、解答题
15．已知两圆和.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)当时,两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
16．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求的值；
(2)若,,求的面积.
17．如图,在四棱锥中,平面,,四边形满足,,,点M为的中点,点E为棱上的动点.
(1)求证：平面；
(2)是否存在点E,使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在,求出线段的长度；若不存在,说明理由.
18．某校高一年级设有羽毛球训练课,期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核,满分100分.参加考核的学生有40人,考核得分的频率分布直方图如图所示.
(1)由频率分布直方图,求出图中t的值,并估计考核得分的第60百分位数；
(2)为了提升同学们的羽毛球技能,校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配）,从得分在内的学生中抽取5人,再从中挑出两人进行试课,求两人得分分别来自和的概率；
(3)若一个总体划分为两层,通过按样本量比例分配分层随机抽样,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m,,；n,,.记总的样本平均数为,样本方差为,证明：
19．已知动直线l与椭圆交于,两点,且的面积,其中O为坐标原点.
(1)证明：和均为定值；
(2)设线段的中点为M,求的最大值；
(3)椭圆C上是否存在三点D,E,G,,使得？若存在,判断的形状；若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：,
.
故选：B.
2．答案：A
解析：由得：,
由得
直线恒过定点.
故选：A.
3．答案：A
解析：设,
则,,
得.
故选：A.
4．答案：A
解析：,
又,
所以.
故选：A.
5．答案：C
解析：取直线关于对称的直线上任意一点,
易知点P关于直线对称的点的坐标为,
由点Q在直线上可知,即.
故选：C.
6．答案：C
解析：椭圆的离心率为,
可得或,解得或.
故选：C.
7．答案：A
解析：表示函数图象上的点与的连线的斜率,
结合图象可知,斜率分别在与（相切时）处取最大值和最小值,
所以的范围是.
故选：A.
8．答案：D
解析：根据题意,当点M到直线l的距离时,该直线上存在点P使得,
此时直线l为点的“相关直线”,
对于A,,即,点M到直线l的距离,该直线是点的“相关直线”；
对于B,,点M到直线l的距离,该直线是点的“相关直线”；
对于C,,点M到直线l的距离,该直线是点的“相关直线”；
对于D,,点M到直线l的距离,该直线不是点的“相关直线”.
故选：D.
9．答案：ABD
解析：直线过定点,
圆,圆心,半径,
对选项A：直线过圆心,则,解得,故选项A正确；
对选项B：点O到直线l的距离的最大值为,故选项B正确；
对选项C：直线l与圆C相切,则圆心到直线的距离,
解得,故选项C错误；
对选项D：当圆C上恰有三个点到直线l的距离为时,圆心C到直线l的距离,
解得,故选项D正确.
故选:ABD.
10．答案：BCD
解析：对A选项与B选项,由题意知圆与圆交于点M,
则,,所以,
所以点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆,且,,即,,
所以,所以曲线C的方程为,故A选项错误,B选项正确；
对C选项,通径的长度为,故C选项正确；
对D选项,设与直线平行的直线l为,,
将与联立得,
令,解得,此时直线l与椭圆相切,
当时,切点到直线的距离最大,
直线l的方程为,此时两平行线的距离为,
故曲线C上的点到直线的距离的最大值为,故D选项正确.
故选：BCD.
11．答案：AC
解析：以为坐标原点,,,所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
,,
,
与所成角的余弦值为,故A正确；
取的中点N,连接,,,
则,
故梯形为过点A,M,的该正方体的截面,
,,,
梯形的高为,
梯形的面积为,故B错误；
由对称性可知,,故,
又由于,B,C,四点共面,故,当P为与的交点时等号成立,故C正确,
设点F关于平面的对称点为,连接,当与平面的交点为Q时,
最小,
过点E作的平行线,过点F作的平行线,两者交于点G,此时,,,故D错误.
故选：AC.
12．答案：1000
解析：由题知,.
13．答案：
解析：设直线的倾斜角为,
当时,直线为,；
当时,,当且仅当时取等号, ；
当时,,
当且仅当时取等号, ,
综上可得.
14．答案：
解析：连接,,由点P在以为直径的圆上,故.
又P,Q在椭圆上,故有,.
设,则,,,.
在中,由勾股定理得,
解得,于是,,故.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：,
,
则圆心分别为,,半径分别为和,
当两圆外切时,满足,解得.
(2)当时,有,
则,所以两圆相交,
则两圆的公共弦所在直线的方程为：,
即,
圆心到直线的距离,
所以公共弦长.
16．答案：(1)2
(2)
解析：(1)由正弦定理得,
所以,
所以,
化简得,
又,所以,因此.
(2)由,得,由余弦定理及,
又,得,解得,从而.
又因为,且,所以.
因此.
17．答案：(1)见解析
(2)或
解析：(1)因为平面,,平面,
所以,,又,所以,,两两垂直.
以为坐标原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,
建立空间直角坐标系,如下图所示,
则,,,,
因为点M为中点,所以,,
又,,
所以,
所以,,为共面向量,
则在平面内存在直线l与平面外的直线平行,所以平面.
(2)设,,,,
依题意可知,平面的法向量为,
设平面的法向量为,
则令,则.
因为平面与平面所成角的余弦值为,
所以,即,
解得或,所以存在点使得平面与平面所成角的余弦值为,或.
18．答案：(1)85
(2)
(3)
解析：(1)由题意得：,解得,
设第60百分位数为x,则,
解得,即第60百分位数为85.
(2)由题意知,抽出的5位同学中,得分在的有人,
设为A,B,在的有人,设为a,b,c.
则样本空间为,.
设事件“两人分别来自和”,
则,,
因此,
所以两人得分分别来自和的概率为.
(3)由题得：①；
②略
19．答案：(1)（ⅰ）,（ⅱ）见解析
(2)（ⅰ）（ⅱ）
(3)见解析
解析：(1)（ⅰ）当直线l的斜率不存在时,P,Q两点关于x轴对称,所以,,
因为在椭圆上,所以,①
又因为,所以,②
由①②得,,此时,.
（ⅱ）当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,
由题意知,将其代入得,
其中,即,（*）
又,,
所以,
因为点O到直线l的距离为,
所以,
又,整理得,且符合（*）式,
此时,,
综上所述,,,结论成立.
(2)解法一：（ⅰ）当直线l的斜率不存在时,由(1)知,,
因此,.
（ⅱ）当直线l的斜率存在时,由(1)知：,
,
,
,
所以,
所以,当且仅当,即时,等号成立.
综上可得,的最大值为.
解法二：,
所以,,即,
当且仅当时等号成立.因此的最大值为.
(3)椭圆上不存在三点D,E,G,使得.
证明：假设存在,,满足,
由(1)得,,,,,,
解得,,
因此u,,只能从中选取,v,,只能从中选取,
因此D,E,G只能在这四点中选取三个不同点,
而这三点的两两连线中必有一条过原点,与矛盾.
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D,E,G.