重庆市两江中学校2025届高三上学期九月月考模拟二数学试卷(含答案)

这是一份重庆市两江中学校2025届高三上学期九月月考模拟二数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则的子集的个数( )
A.2B.4C.5D.7
2．复数（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．的展开式中,的系数为( )
A.-6B.7C.8D.12
4．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,且的面积,若的平分线交于点D,则( )
A.B.C.D.
5．李明开发的小程序经过t天后,用户人数,其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户,则用户超过50000名至少经过的天数为( )
（取）
A.31B.32C.33D.34
6．已知函数,若函数恰好有5个不同的零点,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．椭圆的左右焦点分别为,,过点的直线l交椭圆C于A,B两点,已知,,则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
8．已知是定义在R上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是( )
①函数的图象关于直线对称
②函数的图象关于点中心对称
③函数的周期为4
④
A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.函数（且）的图象恒过定点
B.若命题“”为真命题，则实数a的取值范围是
C.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象
D.的零点所在的一个区间为
10．已知,,且,则( )
A.的最小值是B.最小值为
C.的最大值是D.的最小值是
11．如图,直角梯形中,,,,E为中点,以为折痕把折起,使点A到达点P的位置,且．则下列说法正确的有( )
A.平面
B.四棱锥外接球的体积为
C.二面角的大小为
D.与平面所成角的正切值为
三、填空题
12．已知向量,,且,则向是在向量上的投影向量坐标是_______.
13．在中,,点D在线段上,且,则的面积为___________．
四、双空题
14．定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆是“西瓜椭圆”,则_________.若“西瓜椭圆”的右焦点为F,直线与椭圆E交于A,B两点,以线段为直径的圆过点F,则__________．
五、解答题
15．已知函数的最小正周期为.
（1）求在上的单调递增区间；
（2）在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，求的取值范围.
16．石墨烯有超级好的保温功能,从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法,使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A材料、B材料可供选择,研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了5次再结晶试验,得到如下等高堆积条形图.
(1)由等高堆积条形图提供的信息,填写列联表,并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关;
(2)以实验结果成功的频率为概率,用A材料制作保温产品2件,仅从石墨烯结晶成功与否的角度考虑,求产品制作成功件数的分布列与期望.
附：,其中.
17．如图1，在平行四边形中，，，E为的中点，将沿折起，连结，，且，如图2.
（1）求证：图2中的平面平面；
（2）在图2中，若点F在棱上，直线与平面所成的角的正弦值为，求点F到平面的距离.
18．已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为,,过点的直线l与双曲线C的右支交于M,N两点．
(1)求双曲线的方程;
(2)记直线的斜率分别为,证明：是定值;
(3)设G为直线和的交点,记,的面积分别为,,求的最小值．
19．已知函数,直线l为曲线在点处的切线．
(1)当时,求出直线l的方程;
(2)若,求的最小值;
(3)若直线l与曲线相交于点,且,求实数t的取值范围．
参考答案
1．答案：B
解析：或,又,所以,则其子集有4个.
2．答案：A
解析：,
所以复数在复平面内对应的点所在的象限为第一象限.
故选：A.
3．答案：B
解析：由二项式的展开式,
可得展开式中的系数为.
故选：B.
4．答案：A
解析：由可知,,所以,所以.
在中,由等面积法得,
即,
即,解得,故A正确.
故选：A.
5．答案：D
解析：经过t天后,用户人数,
又小程序发布经过10天后有2000名用户,,
即,可得, ①
当用户超过50000名时,
即,可得,②
联立①和②可得,即,故,
用户超过50000名至少经过的天数为34天.
故选：D.
6．答案：A
解析：画出函数的大致图象,如下图所示：
函数恰好有5个不同的零点,
方程有5个根,
设,则方程化为,易知此方程有两个不等的实根,,
结合的图象可知,,,令,
则由二次函数的根的分布情况得：,解得：.
故选：A.
7．答案：A
解析：设,
因为,
所以,所以,
因为,所以,所以,
设中点为H,则,,,
代入数据并整理得：,
等式两边同除以得：,解得：或(舍).
故选：A.
8．答案：C
解析：因为为偶函数，所以，所以，，
所以函数关于直线对称，不能确定是否关于直线对称，①错误；
因为为奇函数，所以，所以，所以，
所以函数关于点中心对称，故②正确，
由①可知，，由②可知，，故有，令，则有，
所以，解得，
所以函数的周期为4，故③正确；
，故④正确.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：对于A，令，解得，，
所以恒过定点，故选项A正确；
对于B，因为，，为真命题，则，解得，故B错误；
对于C，函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，故C正确；
对于D，因为，在上均单调递增，
则在上单调递增，
又，，则根据零点存在性定理知其零点所在的一个区间为，故D正确.
故选：ACD
10．答案：BC
解析：对于A, ,,且, ,即时,等号成立,
即的最大值是,故A不正确;
对于B,, ,,
所以,故B正确;
对于C, ,,且, ,即
当且仅当时,等号成立,故C正确;
对于D, ,
即,时,等号成立,
所以的最小值是,故D错误．
故选：BC．
11．答案：ABC
解析：对于选项A：因为E为中点,由题意可得：,,
所以四边形为平行四边形,
且,则四边形矩形,所以,
因为,,,
可知,即,
且,,平面,
所以平面,故A正确;
对于选项B：因为,,则,即,
又因为平面,平面,所以,
且,,平面,可得平面;
可知矩形的外接圆半径,
则四棱锥的外接球半径,
所以四棱锥外接球的体积,故B正确;
对于选项C：因为平面,平面,则;
又因为,可知二面角的平面角为,
因为,,则,
所以二面角的大小为,故C正确;
对于选项D：因为平面,所以即为直线与平面所成角,
又因为,,,
可得,
所以直线与平面所成角的正切值为,故D错误.
故选：ABC.
12．答案：
解析：由题意知,因为,可得,解得,
所以在上的投影向量为.
13．答案：
解析：设,则,
在中,由余弦定理可得,
在中,由余弦定理可得,
又因为,所以,
所以,解得,
又,所以是直角三角形且,
所以.
故答案为：.
14．答案：①36②
解析：椭圆是"西瓜椭圆",
离心率,解得,设,,
联立消去y并整理得,
,,
,即,
,
,易知,
以线段AB为直径的圆经过点F,
,,
,,又,
代入上式并化简得,解得.
故答案为：36,.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）
.
因为，所以，
故.
由，，
解得，，
当时，，又，
所以在上的单调递增区间为.
（2）由，
得，
所以.
因为，所以，
又，所以，
又三角形为锐角三角形，则，则，所以，
又，，
则，
所以的取值范围为.
16．答案：(1)列联表见解析,没有90%的把握认为,试验的结果与材料有关
(2)分布列见解析,数学期望为
解析：(1)
提出假设：实验的结果与材料无关,
,
所以没有90%的把握认为,试验的结果与材料有关;
(2)设产品制作成功件数为X,由题意可知X服从二项分布,
成功的概率为,即,
则X的可能取值为0,1,2,
,
,
,
的分布列为：
.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接，
由题意，，，
则为等边三角形，
由余弦定理得，所以，
则，，
所以，，
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）如图，以点E为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，
故，，，
，
因为z轴垂直平面，故可取平面的一条法向量为，
所以，
化简得，解得或（舍去），
所以，
设平面的法向量为，
则有，可取，
所以点F到平面的距离为.
18．答案：(1)
(2)3
解析：(1)由双曲线的焦距为,得,解得,
所以双曲线C的方程为.
(2)依题意,设直线l的方程为,,,
由消去x并整理得,
由直线l与双曲线的右支交于M,N两点,得可得,
解得,
则,,即,而,,
所以
为定值.
(3)由(2)知,直线,直线,
则点G的横坐标为,
于是
,当且仅当时取等号,
所以的最小值为3.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1),则斜率,
又,则线在点处的切线l的方程为;
(2),,
则,令得,
则当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,
所以的最小值为;
(3)由,得,则,
可得曲线在处的切线方程为,
即．
令,显然,,
令,则,得,
在上单调递减,在上单调递增．
若,时,,,
则在上单调递增,且,在上无零点,舍去;
若,,时,,
则在上单调递增,在上单调递减,而时,,
在上存在零点．
故t的取值范围是．
A材料
B材料
合计
实验成功
实验失败
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A材料
B材料
合计
实验成功
4
3
7
实验失败
1
2
3
合计
5
5
10
X
0
1
2
P