长沙市望城区第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份长沙市望城区第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知直线与垂直，垂足为，则的值为( )
A.24B.20C.0D.
2．函数，若存在，使得对任意，都有，则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
3．如图，过双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T，延长交双曲线右支于P点，若M为线段的中点，O为坐标原点，则( )
A.1B.C.D.2
4．一块电路板的线路之间有100个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊接点脱落造成的，要想借助万用表，利用二分法的思想检测出哪处焊接点脱落，最多需要检测( )
A.4次B.6次C.7次D.50次
5．下列说法错误的是( )
A.B.所有的单位向量的模均相等
C.零向量与任何向量共线D.相等向量必为共线向量
6．若，，则( )
A.，B.，C.，D.，
7．空间直角坐标系中，已知点、，则线段的中点坐标为( )
A.B.C.D.
8．已知直线l过点，，则直线l的倾斜角为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知在三棱锥中，，，平面平面.若点M为的中点，点N为三棱锥表面上一动点，则下列说法正确的是( )
A.三棱锥的外接球的表面积为
B.直线与所成的角
C.若，则点N的轨迹长度为
D.若点N在棱上，则的最小值为2
10．已知，，，则( )
A.B.
C.为钝角D.在方向上的投影向量为
11．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是( )
A.直线平面
B.三棱锥的体积为定值
C.异面直线与所成角的取值范围是
D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题
12．某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为________.
13．与直线平行，且在y轴上的截距为1的直线方程是________.
四、双空题
14．在中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，，则________；________.
五、解答题
15．（1）已知直线与直线平行，求m的值；
（2）已知直线与直线互相垂直，求a的值.
16．已知直线及圆.
(1)若直线l与圆C相切，求a的值；
(2)若直线l与圆C相交于A，B两点，且弦的长为，求a的值.
17．如图，在三棱锥中，E、F分别为、的中点，求证：
(1)平面；
(2)若点D为棱上一点，是确定点D的位置，使得平面平面，并说明理由.
18．如图，在圆台中，，分别为上、下底面直径，且，，为异于，的一条母线.
(1)若M为的中点，证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值.
19．在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆C与直线相切于原点O.
(1)求圆C的方程.
(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使点Q到定点的距离等于线段的长?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：因为直线：与直线：互相垂直，
则，解得，
又因两直线垂足为，则，解得，
将代入直线，则，
解之得，
所以.
故选：B.
2．答案：B
解析：由，又，
因为任意，都有，
所以是函数的最小值，也是极小值，
故有两实根，即有两实根，则，
记二次函数的零点为，，
且，则在上单调递增，在上单调递减，
当时，，因为是最小值，
所以，即，
解得，故，
故选：B.
3．答案：A
解析：由双曲线，可得，，则，且，
设是双曲线C的右焦点，连接，
因为M，O分别为，的中点，，
在直角中，可得，
又由双曲线的定义，可得，
所以.
故选：A.
4．答案：C
解析：第一次，可去掉50个结果，从剩余的50个中继续二分法；
第二次，可去掉25个结果，从剩余的25个中继续二分法；
第三次，可去掉12或13个结果，考虑至多的情况，所以去掉12个结果，从剩余的13个中继续二分法；
第四次，可去掉6或7个结果，考虑至多的情况，所以去掉6个结果，从剩余的7个中继续二分法；
第五次，可去掉3或4个结果，考虑至多的情况，所以去掉3个结果，从剩余的4个中继续二分法；
第六次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法；
第七次，可去掉1个结果，得到最终结果.
所以最多需要检测7次.
故选：C
5．答案：A
解析：对A：因为，故A错；
对B：因为所有的单位向量的模均为1，故B正确；
对C：规定：零向量与任何向量共线，故C正确；
对D：因为相等向量方向相同，所以相等向量必共线，故D正确.
故选：A
6．答案：D
解析：因为，所以
因为，所以
故选:D
7．答案：A
解析：点、，
由中点坐标公式得中得为：，即.
故选A.
8．答案：C
解析：由题可得：，所以直线l的倾斜角为：；
故选：C
9．答案：ABC
解析：因为，，所以，
对于A，如图（1），设的外心为，的外心为，
连接，.由已知，得.
取的中点H，则，，则，.
因为平面平面ABC，平面平面，平面，平面ABC，所以平面，平面PAC.
过点作平面ABC的垂线，过点作平面PAC的垂线，两垂线的交点O为三棱锥的外接球的球心，且，
其半径，
所以，故A正确.
对于B，如图（2），取的中点D，连接，，则，，，
则（或其补角）即为直线与所成的角.
因为平面平面，和都是以为顶角的等腰三角形，
所以，
所以.
因为，
所以.
因为，所以直线与所成的角，故B正确.
对于C，如图（2），过点M作于点E.在平面内，过点E作，交于点F，连接.
若，则点N的轨迹长度为，故C正确.
对于D，如图（3），把侧面与底面展开到同一个平面，连接，交于点N.
由两点之间线段最短，得，所以的最小值为，
故D错误.
故选：ABC.
10．答案：BCD
解析：对于A，，故A错误；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，因为，
所以，所以为钝角，故C正确；
对于D，在方向上的投影向量为，故D正确.
故选：BCD.
11．答案：ABD
解析：
对于A，连接，，，，
平面，，同理，，，直线平面，故A正确；
对于B，，平面，平面，平面，
点P在线段上运动，点P到平面的距离为定值，又的面积为定值，利用等体积法知三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于C，，异面直线与所成的角即为与所成的角，
当点P位于C点时，与所成的角为，
当点P位于的中点时，平面，，，此时，与所成的角为，
异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；
对于D，以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，
则，，，，，，
设平面的法向量，则，即，
令，得，所以，直线与平面所成角的正弦值为：
，
当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为，故D正确.
故选：ABD
12．答案：
解析：
可设圆锥底面半径为r，则圆锥底面圆周长为，因为圆锥侧面展开图为半圆面，由知，，由几何关系可知圆锥的高，故圆锥体积为
故答案为：
13．答案：
解析：根据题意，设所求的直线方程为，
令，得，
因为所求直线在y轴上截距是1，
所以，即，
所以所求的直线方程为.
故答案为：.
14．答案：；
解析：由题得，，
所以，，.
因为，所以，，
，
所以.
故答案为(1)；(2)
15．答案：（1）；
（2）或.
解析：（1）由题意，直线与直线平行，
可得，解得，
当时，，，显然与不重合，此时，
所以.
（2）由题意，直线与直线垂直
可得，解得或，
即当直线时，或
16．答案：(1)或；
(2)
解析：（1）圆心，半径为，
由题意得：，解得或.
（2）如图：
设点C到直线l的距离为d，利用勾股定理得：，
同时利用圆心到直线的距离：，解得.
17．答案：(1)证明见解析；
(2)点D为棱的中点时，平面平面；理由见解析.
解析：（1）证明：因为在中，E、F分别为、的中点，
则有，
又平面，平面，
所以平面.
（2）当点D为棱的中点时，平面平面，理由如下：
由（1）知，平面，
同理：平面，
又平面，平面，，
所以平面平面.
18．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）如图，连接.
因为在圆台中，上、下底面直径分别为，，且，
所以，，为圆台母线且交于一点P，所以A，，，C四点共面.
在圆台中，平面平面，
由平面平面，平面平面，得.
又，，所以，
所以，即为中点.
在中，又M为的中点，所以.
因为平面，平面，
所以平面；
（2）以O为坐标原点，，分别为y，z轴，过O且垂直于平面的直线为x轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以.
则，，.
因为，所以.
所以，所以.
设平面的法向量为，
所以，所以，
令，则，，所以，又，
设平面的法向量为，
所以，所以，
令，则，，所以，
所以.
设二面角的大小为，则，
所以.
所以二面角的正弦值为.
.
19．答案：(1)
(2)存在点，使Q到定点的距离等于线段的长.
解析：（1）设圆C的圆心为，则圆C的方程为：.
直线与圆C相切于原点O，点O在圆C上，且垂直于直线，
于是有，解得：或.
由于在第二象限，故，，故.
圆C的方程为：.
（2）存在，这是因为：
设存在符合条件的点，则：，
解得：或（舍去），
圆C存在点，使Q到定点的距离等于线段的长.