西安市第八十五中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)

这是一份西安市第八十五中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知复数（i为虚数单位），则实数a的值为( )
A.B.1C.2D.3
3．设点，，直线l过点且与线段相交，则l的斜率k的取值范围是( )
A.或B.或C.D.
4．如图，在中，,P是上的一点，若，则实数m的值为( )
A.B.C.D.
5．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为( )
A.0B.2C.D.
6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定为( )
A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.锐角三角形
7．已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为( )
A.B.1C.2D.3
8．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点C到平面的距离为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是( )
A.与是共线向量B.与同向的单位向量是
C.和夹角的余弦值是D.平面的一个法向量是
10．下面四个结论正确的是( )
A.已知向量，，则在上的投影向量为
B.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C.已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D.若，则是锐角.
11．如图，在三棱柱中，，是等边三角形﹐点O为该三棱柱外接球的球心，则下列命题正确的有( )
A.平面
B.异面直线与所成角的大小是
C.球O的表面积是
D.点O到平面的距离是
三、填空题
12．已知，，则在上的投影向量为________.
13．已知向量，，若，则________.
14．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则________.
四、解答题
15．如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，.
(1)试用向量，，表示向量；
(2)若，，求的值.
16．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求角B的大小；
(2)若，，求的面积.
17．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，,，，平面平面，，.
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在棱上是否存在点M，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
18．在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且.
(1)求角B的大小；
(2)若，，，求的值；
(3)设D是边上一点，为角平分线且，求的值.
19．如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：由，则，
所以，
又，
所以.
故选：C
2．答案：D
解析：，，
故选:D.
3．答案：B
解析：如图，直线的斜率为；直线的斜率为；
当直线l与线段相交时，则l的斜率k的取值范围是或.
故选：B.
4．答案：D
解析：因为，，
所以.
因为B、P、N三点共线，所以，解得.
故选：D.
5．答案：B
解析：平面，若则.
.又动点Q在所在平面内运动，
所以，解得.
故选：B
6．答案：A
解析：，
由余弦定理可得，则，
则，所以为直角三角形.
故选：A.
7．答案：B
解析：解法一：分别取，的中点D,，则,，
可知,，
设正三棱台的为h，
则，解得，
如图，分别过,作底面垂线，垂足为M,N，设，
则，，
可得，
结合等腰梯形可得,
即，解得，
所以与平面所成角的正切值为；
解法二：将正三棱台补成正三棱锥，
则与平面所成角即为与平面所成角，
因为，则，
可知，则，
设正三棱锥的高为d，则，解得，
取底面的中心为O，则底面，且，
所以与平面所成角的正切值.
故选：B.
8．答案：C
解析：以D为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，.
设为平面的法向量，，
由，得，
令，，
所以.
又，
点C到平面的距离.
故选：C.
9．答案：BD
解析：对于A，，，因为，所以与不是共线向量，故A错误；
对于B，，与同向的单位向量是，故B正确；
对于C，，，，所以和夹角的余弦值是，故C错误；
对于D，，，设为平面的一个法向量，
则，，令，可得，
所以平面的一个法向量是，故D正确.
故选：BD.
10．答案：ABC
解析：选项A：因为，，所以在上的投影向量为，故选项A正确；
选项B：因为，则P，A，B，C四点共面，故选项B正确；
选项C：是空间的一组基底，将向量看作立方体三条相邻的棱，且，所以两向量之间不共线，所以也是空间的一组基底，故选项C正确；.
选项D：当时，，，但是向量同向，，是零不是锐角，故选项D错误；
故选：ABC
11．答案：ACD
解析：对于A：如图，因为球O是三棱柱的外接球，设的外心为，连接，则面，因为，所以平面，故选项A正确；
对于B：因为，所以是异面直线与所成的角.
因为，所以，，
所以，所以，故选项B不正确；
对于C：设的外心为，连接，，，由题意可得，，
则球O的半径，
从而球O的表面积是，故选项C正确；
对于D：设外接圆的半径为r，由题意可得，
则，由正弦定理可得
，所以，
则点O到平面的距离，故选项D正确；
故选：ACD
12．答案：
解析：因为，，且
所以在上的投影向量为.
故答案为：.
13．答案：2
解析：因为，所以，即，
所以，解得.
故答案为：2
14．答案：/0.75
解析：由正弦定理可得，
故，
故，
整理得到，
而，故，所以，
故，解得或，
若，则，故B,C同为钝角，这与矛盾，
故.
故答案为：.
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因为，所以，
所以，
因为点E为的中点，所以.
（2）因为，，
所以
.
16．答案：(1)；
(2).
解析：（1）在中，，
由正弦定理得，.
又，，
，，，
，.
（2）在中，，，，
由正弦定理得，，
由余弦定理得，解得（负值舍去），
的面积为.
17．答案：(1)证明见详解；
(2)；
(3)不存在，理由见详解
解析：（1）因为平面平面，平面平面，
且，平面，可得平面，
因为平面，所以.
（2）取中点O，连接，，
因为，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
可得平面，
由平面，可得,，
因为,,，则,，
可知四边形是平行四边形，则，
如图，以O为坐标原点，,,为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，.
可得，，，
设平面APB的法向量为，则，
令，则，可得；
设平面的法向量为，则，
令，则，，可得；
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）设，，
且，则，
若平面，则，可得，方程无解，
所以不存在点M，使得平面.
18．答案：(1)；
(2)；
(3)
解析：（1）由题意及正弦定理可得：，
可得，即，
在中，，所以，
因为，所以；
（2）因为，，，
由余弦定理得，
所以，即，
所以，，由正弦定理可得：，
可得，
因为，则，则，
可得，
且，
所以
；
（3）因为，是角平分线，即，
因为，
所以，由正弦定理可知，
所以，所以，
整理可得，即，
又因为，且，
即，解得.
19．答案：(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)存在，.
解析：（1）连接与，两线交于点O，连接，
在中M，O分别为，的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）因为底面，平面，所以.
又M为棱的中点，，所以.
因为，平面，
所以平面，平面，所以.
因为，所以.又，
在和中，，
所以，即，
所以，又，平面，
所以平面.
（3）当点N为的中点，即时，平面平面.
证明如下：设的中点为D，连接，，
因为D，M分别为，的中点，
所以且，又N为的中点，
所以且，
所以四边形为平行四边形，故，
由（2）知：平面，所以平面，又平面，
所以平面平面.