邹城市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份邹城市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列可使,,构成空间的一个基底的条件是( )
A.,,两两垂直B.
C.D.
2．在长方体中,下列向量与是相等向量的是( )
A.B.C.D.
3．在三棱锥中,E是棱的中点,且,则( )
A.B.
C.D.
4．已知空间向量,,且,则( )
A.10B.6C.4D.-4
5．现有7张分别标有1,2,3,4,5,6,7的卡片,甲一次性从中随机抽取5张卡片,抽到的卡片数字之和为a,剩下的2张卡片数字之和为b,则的概率为( )
A.B.C.D.
6．在空间直角坐标系中，已知，，则A到的距离为( )
A.3B.C.D.
7．如图所示,在二面角的棱上有两点A,B,线段,分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱,若,则线段的长为( )
A.B.1C.8D.
8．在棱长为1的正四面体中,点M满足,点N满足,当线段、的长度均最短时,( )
A.B.C.D.
9．抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子,记录骰子朝上面的点数,若用x表示红色骰子的点数,用y表示绿色骰子的点数,用表示一次试验结果,设事件;事件F:至少有一颗点数为5;事件;事件.则下列说法正确的是( )
A.事件E与事件F为互斥事件B.事件F与事件G为互斥事件
C.事件E与事件G相互独立D.事件G与事件H相互独立
10．已知正四面体的棱长为6,P是四面体外接球的球面上任意一点,则的取值范围为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
11．从装有3只红球,3只白球的袋中任意取出3只球,则下列每对事件,是互斥事件,但不是对立事件的是( )
A.“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”
B.“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”
C.“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”
D.“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”
12．给出下列命题,其中正确的是( )
A.对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若,则P,A,B,C四点共面
B.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则这两个向量共线
C.若直线l的方向向量为,平面的法向量为,则直线
D.已知向量,,则在上的投影向量为
13．已知事件A,B,且,,则下列结论正确的是( )
A.如果,那么,
B.如果A与B互斥,那么,
C.如果A与B相互独立,那么,
D.如果A与B相互独立,那么,
14．如图,平面,正方形边长为1,E是CD的中点,F是AD上一点,当时,则( )
A.
B.
C.若,则异面直线PE与BC所成角的余弦值为
D.若,则直线PE与平面所成角为
15．如图,在正方体中,E、F分别是、的中点,G为线段BC上的动点(含端点),则下列结论中正确的是( )
A.存在点G使得直线平面EFG
B.存在点G使得直线AB与EG所成角为
C.G为BC的中点时和G、C重合时的三棱锥的外接球体积相等
D.当G与B重合时三棱锥的外接球体积最大
三、填空题
16．掷一枚质地均匀的骰子一次,则掷得奇数点的概率是___________.
17．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮,有人送来1524石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为____________石．
18．已知三棱锥,点G满足：,过点G作平面,与直线,,分别相交于D,E,F三点,且,,,则___________.
19．某校进行定点投篮训练,甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮,投中的概率分别,,p,已知每个人投篮互不影响,若这三个同学各投篮一次,至少有一人投中的概率为,则______________.
20．某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷.将一块边长为的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）.该四棱锥底面ABCD是正方形，从顶点P向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为_________.
四、解答题
21．在如图所示的多面体中,平面,平面,,,G为中点,F是的中点.
(1)证明：平面
(2)求点G到平面的距离.
22．为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表：
(1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；
(2)一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大.
23．如图,已知垂直于梯形所在的平面,矩形的对角线交于点F,G为的中点,,.
(1)求证：平面;
(2)求平面与平面夹角余弦值;
(3)在线段上是否存在一点H,使得与平面所成角的大小为?若存在,求出的长;若不存在,说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：由空间任意三个不共面的向量都可以组成空间的一个基底可得A正确;
若,则与共线,此时与必然共面,所以无法构成空间基底,B错误;
与都表示共面,C,D错误．
故选：A
2．答案：B
解析：如图所示的长方体中,
A：向量与方向相反,所以这两个向量不相等,因此本选项不正确;
B：向量与大小相等,方向相同,所以这两个向量相等,因此本选项正确;
C：向量与方向相反,所以这两个向量不相等,因此本选项不正确;
D：显然向量与向量方向相反,所以这两个向量不相等,因此本选项不正确,
故选：B.
3．答案：D
解析：因为E是棱的中点,,
所以
.
故选：D.
4．答案：C
解析：因为,所以,
即,,则.
故选：C.
5．答案：D
解析：因为,所以,
故,而,所以,解得,
所以求的概率即可,从7张卡片抽2张,
基本事件有,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,
共有21个基本事件,且设的概率为P,
符合题意的事件有,,,,,
,,,共9种,所以,故D正确.
故选：D.
6．答案：D
解析：因为，，，
所以，，，，
所以，
所以，
所以A到的距离为.
故选：D.
7．答案：D
解析：如图,过A作,过D作,,连接,
因为线段,分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱,
所以,,
所以四边形为矩形,
因为,,,平面,
所以平面,
因为平面,
所以,
因为二面角为,
所以,
因为,
所以,
所以为等边三角形,
所以,
在中,,
故选：D.
8．答案：A
解析：如图所示,因为,,
可得平面,直线,
当,最短时,平面,且,
所以M为的中心,N为的中点,如图所示,
又由正四面体的棱长为1,所以,,
所以,
因为平面,所以,
所以中,,
所以
故选：A.
9．答案：D
解析：由题意可知;
;
;
;
对于A,因为,所以事件E与事件F不是互斥事件,故错误;
对于B,因为,所以事件G与事件F不是互斥事件,故错误;
对于C,因为,,,所以事件E与事件G不相互独立,故错误;
对于D,因为,
,,,
所以事件E与事件G相互独立,故正确.
故选:D.
10．答案：B
解析：如图,设E,F分别为正四面体棱,中点,
作平面,垂足为,
所以,由正四面体的性质知B,E,三点共线,且,且其外接球的球心在上,记为O,
因为正四面体的棱长为6,
所以,,
设四面体外接球的半径为R,即,
所以,,即,解得,
所以,,
因为P是四面体外接球的球面上任意一点,
所以,
因为,
,
所以
,
因为,
所以
故选：B.
11．答案：AB
解析：从袋中任意取出3个球,可能的情况有：“3个红球”“2个红球、1个白球”“1个红球、2个白球”“3个白球”.
对于A：“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”不可能同事发生,是互斥事件,
但有可能两个都不发生,故不是对立事件,故A正确;
对于B：“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”不可能同事发生,是互斥事件,
但有可能同时不发生,故不是对立事件,故B正确;
对于C：“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”不可能同事发生,是互斥事件,
其中必有一事件发生,故是对立事件,故C错误;
对于D：“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”可能同事发生,
故不是互斥事件,不可能是对立事件,故D错误.
故选：AB.
12．答案：BD
解析：对于A：因为,所以P,A,B,C四点不共面,错误;
对于B：根据空间向量基底的概念,可知正确;
对于C：由已知可得,所以或,故错误;
对于D：因为,,
所以在上的投影向量为,故正确.
故选：BD.
13．答案：BC
解析：对于A,如果,那么,,故A错误;
对于B,如果A与B互斥,那么,,故B正确;
对于C,如果A与B相互独立,
那么,,故C正确;
对于D,如果A与B相互独立,那么,故D错误.故选BC.
14．答案：BC
解析：连接,如图,
因为平面,平面,则,而,,,平面,
于是平面,又平面,因此,
在正方形中,,,
则,,A错误,B正确;
取中点G,连接,,则,为异面直线PE与BC所成的角或其补角,
而平面,平面,有,又,
,,平面,则有平面,平面,于是,
,,,因此,C正确;
由平面知,是直线PE与平面所成的角,,
显然,D错误.
故选：BC.
15．答案：BCD
解析：设棱长为,如图,以底面中心,为坐标原点,建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
,,．
,,
A选项;显然,,故,
若平面EFG,EG在面EFG内,则,
而,A错误．
B选项;当G为BC中点时,,
故,
故直线AB与EG所成角为,结论成立,B正确．
对于C、D选项;球心O必在过EF中点,且与平面垂直的直线上,
设,G在BC上运动时,,
,
故,,
由可得,,
故当时,取得最小值,为,当时,取得最大值,最大值为0,
故,,
,
时,取最大值,即外接球半径最大,此时,即G与B重合,故D正确;
当G为BC中点时,,;当G与C重合时,,．
故外接球是同一个外接球,C正确．
故选：BCD.
16．答案：
解析：掷一枚骰子一次,出现6个不同的结果,而掷得奇数点的结果有3个,
所以掷得奇数点的概率为.
故答案为：.
17．答案：168石
解析：由题意,得这批米内夹谷约为石．
18．答案：4
解析：由可得,
即可得,所以,
又,,,所以,,,
即,
又G,D,E,F四点共面,由空间向量共面定理可得,
故答案为：4.
19．答案：
解析：由题意可知,解得.
故答案为：.
20．答案：
解析：设AC与BD的交点为点O，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
由题意可知，，，，，故，，，，.
设平面PBC的法向量为，又，，则有即
令，可得平面PBC的一个法向量为.设与平面PBC的法向量n的夹角为，则，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.
21．答案：(1)见解析(2)
解析：(1)以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
点F是线段的中点,
点F的坐标为,
,
又平面,
平面的一个法向量为．
,
又平面,
平面．
(2)由已知得G点坐标为,
,
设平面的一个法向量为,
由,得,
令,则,
设与平面所成的角为,
则,
点G到平面的距离.
22．答案：(1)游戏一获胜的概率为，游戏二获胜的概率为；
(2)m的所有可能取值为5，6，7.
解析：（1）设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则，
因为，所以，.所以游戏一获胜的概率为.
游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间，
则，因为，
所以，所以，所以游戏二获胜的概率为.
（2）设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”，
则，且，，互斥，A，B，C相互独立，
所以
又，且，，互斥，
所以
若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则，
所以，即.
进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表：
当时，，舍去
当时，，满足题意，
因此m的所有可能取值为5，6，7.
23．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：(1)连接,因为四边形为矩形,所以F为的中点,
在中,F,G分别为,的中点,所以,
又因为平面,平面,所以平面.
(2)因为平面,,平面,所以,,
又,所以,
以,,为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,,,,,,
则,,
设平面的一个法向量为,则,
令,得,,所以平面的一个法向量为,
易知平面（即平面）的一个法向量为,
所以,
所以平面与平面所成角的余弦值为.
(3)由(2)得,,
假设存在点H,设,
则,
由(2)知,平面的一个法向量为,
因为与平面所成角的大小为,
所以,
所以,即,所以,则.
游戏一
游戏二
游戏三
箱子中球的
颜色和数量
大小质地完全相同的红球3个，白球2个
（红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”）
取球规则
取出一个球
有放回地依次取出两个球
不放回地依次取出两个球
获胜规则
取到白球获胜
取到两个白球获胜
编号之和为m获胜
第二次第一次
1
2
3
4
5
1
×
2
×
3
×
4
×
5
×