四川省新津中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份四川省新津中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝.明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为( )
A.150B.110C.70D.20
2．已知点P是点在坐标平面内的射影，则( )
A.B.C.2D.
3．三棱锥中,点面,且,则实数( )
A.B.C.1D.
4．已知点，空间内一平面过原点O，且垂直于向量，则点M到平面的距离为( )
A.B.C.D.
5．如图，在三棱锥中，设,,，若，，则( )
A.B.C.D.
6．如图，已知二面角的大小为，，，，，且，，则( )
A.B.6C.D.7
7．如图，在正方体中，E为棱上的一个动点，F为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
8．给出下列命题，其中不正确的命题是( )
A.向量，，共面，即它们所在的直线共面
B.若是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底
C.已知向量，，若，则为钝角.
D.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面所成的角为50°
9．在平行六面体中，，，则( )
A.E为棱的中点B.F为棱上更靠近C的三等分点
C.D.平面
10．已知空间中三点，，，则下列结论错误的是( )
A.与是共线向量B.与同向的单位向量是
C.与夹角的余弦值是D.平面的一个法向量是
11．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是( )
A.直线平面
B.三棱锥的体积为定值
C.异面直线与所成角的取值范围是
D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题
12．总体由编号为1，2，⋯，99，100的100个个体组成，现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1~100范围内的整数随机数的开始部分数据，如下表，则选出来的第5个个体的编号为______.
8,44,2,17,8,31,57,4,55,6
88,8,31,47,7,21,76,33,50,63
13．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为_________.
14．如图，某正方体的顶点A在平面内，三条棱，，都在平面的同侧.若顶点B，C，D到平面的距离分别为，，2，则该正方体的表面积为______.
四、解答题
15．已知，，，，，
（1）若、共线，求实数k；
（2）若向量与所成角为锐角，求实数k的范围.
16．如图所示，平行六面体中，，，，.
（1）用向量，，表示向量，并求；
（2）求.
17．在正四棱柱中，，点E在线段上，且，点F为中点.
（1）求点到直线的距离；
（2）求证：面.
18．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，，且E,F分别为,的中点.
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值.
19．在中，，，，D，E分别是，上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，M是的中点，如图所示.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小；
（3）在线段上是否存在点N，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：由于分层抽样比为，则200个人中，中卷录取人数为.
故选：D.
2．答案：B
解析：因为点P是点在坐标平面内的射影，则，则，
因此，
故选：B.
3．答案：D
解析：由题意三棱锥中,点面,且,
所以,解得.
故选：D.
4．答案：A
解析：由题意可得：，平面的法向量为，
所以点M到平面的距离为.
故选：A.
5．答案：C
解析：连接,，
.
故选：C
6．答案：A
解析：因为二面角的大小为，，，，，，
所以与的夹角为，又因为，
所以
，
所以，即.
故选：A.
7．答案：A
解析：
设平面与底面所成的二面角的平面角为，由图可得不为钝角.
以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，故，
又底面的一个法向量为，
所以，因为，
则，
当时，，
当时，，当，，
则，，则，
则当，时，分母取到最小值，此时，
当，时，则，此时，
综上，
故选：A.
8．答案：ACD
解析：对于A，向量，，可以通过平移后共面，但是它们的所在直线不一定是共面直线，故A不正确；
对于B，假设不是空间向量的一个基底，
所以，
因为是空间向量的一个基底，
所以可得，显然该方程组没有实数解，因此假设不成立，
所以也是空间的一个基底，故B正确；
对于C，当时，向量，，
，
此时所成角为，则不为钝角，故C不正确；
对于D，因为直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于，
所以直线l与平面所成的角等于，故D不正确.
故选：ACD.
9．答案：ABD
解析：因为，
所以，则E为棱的中点，A正确.
因为，所以，则F为棱上更靠近C的三等分点，B正确.
因为E为棱的中点，F为棱上更靠近C的三等分点，易得，C错误.
因为平面平面,平面，所以平面，D正确.
故选：ABD.
10．答案：AC
解析：对于A：,，
,与不是共线向量，故A错误；
对于B：，则与同向的单位向量是，故B正确；
对于C：,，
∴，故C错误；
对于D：,，
设平面的法向量为，
则，取，得，故D正确.
故选：AC.
11．答案：ABD
解析：在选项A中，，，，
且平面，
平面，平面，
，
同理，，
，且平面，
直线平面，故A正确；
在选项B中，
，平面，平面，
平面，
点P在线段上运动，
P到平面的距离为定值，又的面积是定值，
三棱锥的体积为定值，故B正确；
在选项C中，
，
异面直线与所成角为直线与直线的夹角.
易知为等边三角形，
当P为的中点时，；
当P与点或C重合时，直线与直线的夹角为.
故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；
在选项D中，
以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为1，
则，，，，
所以，.
由A选项正确：可知是平面的一个法向量，
直线与平面所成角的正弦值为：，
当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.
故选：ABD
12．答案：31
解析：根据随机数表的选取的规则是选出的样本编号为1~100范围内的整数，
且与前面重复的数据不再出现，所以前5个个体编号为：8,44,2,17,31，
所以选出来的第5个个体的编号为31.
故答案为：31.
13．答案：
解析：两边平方化简得：，①
因为，所以，
又，代入①得：，解得：，
所以在上的投影向量坐标为
.
故答案为：
14．答案：54
解析：设正方体的棱长为a，取空间的一个基底，设是平面的一个方向向上的单位法向量.
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使得.
由题意，,,在方向上的投影向量的长度分别为，，2.
于，即，即，即.
同理，，，
从而，由，得，
其中
，
即，解得，所以正方体的表面积.
故答案为：54
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，，，，，
则，可得，，解得，
所以，，所以，，
因为，所以，解得.
（2）由（1）知，，，
因为向量与所成角为锐角，
所以，解得，
又当时，，
所以实数k的范围为.
16．答案：（1），；
（2）
解析：（1），
则
，
所以.
（2）由空间向量的运算法则，可得，
因为，且，，
所以
，
，
则.
17．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）
如图,以D为原点，以,,分别为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系，
正四棱柱,,,F为中点,
，，，，，
则点到直线的距离为：.
（2）由（1）可得，，，
则，，，
由可得，
又由可得，
又，
故面.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）法一：取中点M，连接,，
E为的中点，,，
又,，,，
四边形为平行四边形，，
平面,平面，
平面.
法二：取中点N，连接,，
E为的中点，，
平面,平面，平面，
又,，,，
四边形为平行四边形，，
平面,平面，平面
又，平面，平面平面，
又平面，平面.
（2）因为平面平面，平面平面,平面，，
平面，
取中点G，连接，则,平面，
所以是直线与平面所成的角，即，
又，，
又，，，
又，则，
以G为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，如图，
，，，
，，
设平面的一个法向量，，
则，取，则，
易得平面一个法向量可取，
设平面与平面所成的夹角为，
，
故平面与平面所成的夹角的余弦为.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）；
（3）存在，或
解析：（1）因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又，平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在面内，所以平面；
（2）由（1），以为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系.
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
不妨令，则，，.
设与平面所成角的大小为，
则有，
设为与平面所成角，故，
即与平面所成角的大小为；
（3）假设在线段上存在点N，使平面与平面成角余弦值为.
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
若平面与平面成角余弦值为.
则满足，
化简得，解得或，即或，
故在线段上存在这样的点N，使平面与平面成角余弦值为.此时的长度为或.