云南省富宁县第一中学2024-2025学年高二上学期期中数学模拟测试卷

这是一份云南省富宁县第一中学2024-2025学年高二上学期期中数学模拟测试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.过点(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为( )
A. x-2y-7=0B. 2x+y-5=0C. x+2y-5=0D. 2x+y-1=0
2.曲线方程 x2+(y+4)2+ x2+(y-4)2=10的化简结果为( )
A. x225+y216=1B. y225+x216=1C. x225+y29=1D. y225+x29=1
3.已知向量a=(1,2)，b=(-2,-4)，|c|= 5，若(a+b)·c=52，则a与c的夹角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
4.圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是 ( )
A. x+y+3=0B. 2x-y-5=0C. 3x-y-9=0D. 4x-3y+7=0
5.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，若△PF1F2的周长为54，且椭圆C的短轴长为18，则椭圆C的离心率为( )
A. 34B. 45C. 23D. 2 25
6.若圆x2+y2+ax+by+c=0与圆x2+y2=1关于直线y=2x-1对称，则a+b=( )
A. -45B. -125C. 45D. 125
7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为π6的直线交C于第一象限内一点A.若线段AF1的中点在y轴上，△AF1F2的面积为2 3，则C的方程为( )
A. x23+y2=1B. x23+y22=1C. x29+y23=1D. x29+y26=1
8.实数a，b满足a>0，b>0且a+b=3，则1a+1+4b+2的最小值是( )
A. 1B. 53C. 43D. 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若方程x23-t+y2t-1=1所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是( )
A. 曲线C可能是圆
B. 若1C. 若C为椭圆，且焦点在x轴上，则2D. 若C为椭圆，且焦点在y轴上，则210.下列说法中，正确的有( )
A. 过点P(1,2)且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0
B. 圆x2+y2=4与圆x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是外切
C. 直线x- 3y+1=0的倾斜角为60°
D. 过点(5,4)且倾斜角为90°的直线方程为x-5=0
11.已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，且短轴长为2，离心率为 63，过焦点F1作y轴的垂线，交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆方程为y23+x2=1B. 椭圆方程为x23+y2=1
C. PQ=2 33D. ΔPF2Q的周长为4 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆的中心在坐标原点O，对称轴是坐标轴，焦点在x轴上，焦距为2 6，且经过点( 3, 2)，该椭圆的标准方程是______．
13.若函数y=2sin x+ acs x的最大值为3，则a的值为
14.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为35，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为45，则该圆锥的侧面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，设AB=a,AD=b,AA1=c．
(1)求AE的长；
(2)求异面直线AE和BC夹角的余弦值．
16.(本小题15分)▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cs A(bcs C+ccs B)= 3a．
(1)求角A；
(2)若a=1，▵ABC的周长为5+1，求▵ABC的面积．
17.(本小题15分)已知圆C1:x2+y2+2x=0，圆C2:x2+y2-2x-2y-2=0．
(1)求圆C1和圆C2的公共弦长;
(2)过点C1的直线l交圆C2于A，B，且AB=14，求直线l的方程．
17.(本小题17分)如图，四边形ABCD是矩形，AD=2，DC=1，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC，EC=1.点F在线段BE上，且DE/​/平面ACF
(Ⅰ)求证：平面AEC⊥平面ABE；
(Ⅱ)求BFBE的值；
(Ⅲ)求二面角A-FC-B的余弦值．
19.(本小题17分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为 63，直线y=12与椭圆C交于A，B两点，且AF1⊥BF1．
(1)求椭圆C的方程．
(2)不经过点F1和F2的直线l:y=kx+mk<0,m>0被圆x2+y2=4截得的弦长与椭圆C的长轴长相等，且直线l与椭圆C交于D，E两点，试判断△F2DE的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查直线垂直的条件求解直线方程，属于基础题．
根据题意，易得直线x-2y+3=0的斜率为12 ，可得所求直线的斜率为-2，又知其过点(-1,3)，由点斜式得所求直线方程．
【解答】
解：根据题意，易得直线x-2y+3=0的斜率为12，
由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为-2，
又知其过点(-1,3)，
由点斜式得所求直线方程为y-3=-2(x+1)，
即2x+y-1=0．
故选：D．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查曲线与方程，考查椭圆的定义，比较基础．
方程 x2+(y+4)2+ x2+(y-4)2=10表示(x,y)与(0,4)，(0,-4)两点的距离和为10，大于两点的距离，所以点的轨迹是以(0,4)，(0,-4)为焦点的椭圆，且a=5，c=4，可得结论．
【解答】
解：方程 x2+(y+4)2+ x2+(y-4)2=10表示(x,y)与(0,4)，(0,-4)两点的距离和为10，大于两点的距离，
所以点的轨迹是以(0,4)，(0,-4)为焦点的椭圆，且a=5，c=4，所以b=3，
所以椭圆方程为y225+x29=1．
故选：D．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的运用以及两个向量的夹角，属于基础题．
先设a与c的夹角为θ，根据题意，易得b=-2a，将其代入(a+b)⋅c=52中易得a⋅c=-52，进而由数量积的运算，可得csθ的值，由θ的范围，可得答案．
【解答】
解：设a与c的夹角为θ，
∵a=(1,2),b=(-2,-4)，则b=-2a，
(a+b)⋅c=-a⋅c=52，
即a⋅c=-52，∴csθ=-52 5× 5=-12，
又0°≤θ≤180°，则θ=120°，
故选C．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查两圆相交弦的有关综合问题，解题关键是由平面几何知识知AB的垂直平分线就是连心线，属于基础题．
由题可知，两圆的圆心分别为(2,-3)，(3,0)，由平面几何知识知AB的垂直平分线就是连心线，所以连心线的斜率为0-(-3)3-2=3，利用点斜式即可得到答案．
【解答】
解：整理两圆的方程可得(x-2)2+(y+3)2=13，(x-3)2+y2=9，
∴两圆的圆心分别为(2,-3)，(3,0)，
由平面几何知识知AB的垂直平分线就是圆心连线，
∴连心线的斜率为0-(-3)3-2=3，
∴直线方程为y=3(x-3)，整理得3x-y-9=0，
故选C．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查椭圆的性质及几何意义 ，属于中档题．
因为△PF1F2的周长为54，可得a+c=27，由C的短轴长为18，得到b=9，进而由b2=a2-c2求出a=15，c=12.即可求解．
【解答】
解：椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，设C的焦距为2c．
因为△PF1F2的周长为54，所以2a+2c=54，则a+c=27．
因为C的短轴长为18，所以b=9．
因为b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=81，
所以a-c=3，则a=15，c=12．
故C的离心率为ca=1215=45．
故本题选B．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题着重考查了圆的方程、直线的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
根据题意，圆x2+y2+ax+by+c=0的圆心C与(0,0)关于直线y=2x-1对称，且半径为1.求出C的坐标，由轴对称的性质建立关于a、b的方程组，解出a、b，可得a+b的值．
【解答】
解：∵圆x2+y2=1的圆心为原点，半径为1．
∴与圆x2+y2=1关于直线y=2x-1对称的圆，设其圆心为C，
则C与(0,0)关于直线y=2x-1对称，且半径为1，
∵C(-12a,-12b)，
∴-12b-12a=-12-12b2=2×-12a2-1，解得a=-85，b=45．
由此可得a+b=-85+45=-45．
故选A．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义与方程，椭圆的几何性质，考查计算能力，属中档题．
利用△AF1F2的面积为2 3，求出|AF2|=2，得a=3，可得c= 3，进而可得出椭圆的方程．
【解答】
解：如图，
∵O为线段F1F2的中点，B为线段AF1的中点，
∴OB//AF2，又OB⊥x轴，∴AF2⊥x轴，
设|AF2|=t，则|AF1|=2t，|F1F2|= 3t，
∵△AF1F2的面积为2 3，
∴12× 3t×t=2 3，解得t=2，
∴2a=|AF1|+|AF2|=3t=6，a=3，
2c=|F1F2|= 3t=2 3，c= 3，
∴C的方程为x29+y26=1．
故选D．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
由已知a+b=3，可得1a+1+42+b=1a+1+42+b×a+1+2+b×16，利用基本不等式求最值即可．
【解答】
解：∵a+b=3，
∴1a+1+42+b
=1a+1+42+b×a+1+2+b×16
=16(5+2+ba+1+4a+12+b)
≥165+2 2+ba+1·4a+12+b=96=32，
当且仅当2+b=2a+1，即b=2，a=1时，等号成立．
故选：D．
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了椭圆，双曲线，圆的标准方程，属于基础题．
根据方程x23-t+y2t-1=1，利用椭圆、双曲线、圆的定义，即可得出结论．
【解答】
解：方程x23-t+y2t-1=1所表示的曲线为C．
A.t=2时，方程为x2+y2=1，表示圆，所以A正确；
B.1C.若C为椭圆，且焦点在x轴上，则3-t>t-1>0，1D.若C为椭圆，且焦点在y轴上，则t-1>3-t>0，即2故选AD．
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查直线方程以及圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．
根据直线方程的几种形式结合圆与圆的位置关系，逐项判断即可．
【解答】
解：对A:过点 P(1,2)且在 x， y轴截距相等的直线方程，
要分直线过原点和不过原点两种情况讨论，
当直线过原点时，直线方程为2x-y=0;
当直线不过原点时，直线方程为 x+y-3=0，所以A错误．
对B：圆x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径为2，
圆x2+y2-8x-6y+16=0的圆心为(4,3)，半径为3，
圆心距为 4-02+3-02=5=2+3，所以两圆外切，故B正确．
对C:直线 x- 3y+1=0的斜率为 33，设倾斜角为 α，
则 tanα= 33,α∈[0°,180°)，所以 α=30°，所以C错误．
对D：过点 (5,4)并且倾斜角为 90​∘，斜率不存在，
所以直线方程为 x=5,即 x-5=0，所以D正确．
故选BD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的性质及几何意义，属于基础题．
根据短轴长和离心率即可求出椭圆方程，再逐一分析各选项即可．
【解答】
解：由题意得，b=1，e= 1-b2a2= 1-1a2= 63，
a2=3，焦点F1，F2在y轴上，
∴椭圆C的方程为y23+x2=1，A正确，B错误，
|PQ|=2b2a=2 3=2 33，所以C正确，
由椭圆的定义可知△PF2Q的周长为4a=4 3，所以D正确，
故选ACD．
12.【答案】x29+y23=1
【解析】解：设椭圆方程为：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由题意可得：
3a2+2b2=1a2=b2+6，解得：a2=9b2=3，即椭圆的方程为：x29+y23=1．
故答案为：x29+y23=1．
由题意得到关于a，b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程．
本题主要考查椭圆方程的求解，待定系数法的应用等知识，属于基础题．
13.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查了三角函数的辅助角公式，三角函数的最值问题，属于基础题．
由已知得到y= 4+asinx+θ，当且仅当sinx+θ=1,ymax= 4+a，得到 4+a=3，即可求出a的值．
【解答】
解：y=2sinx+ acsx= 4+asinx+θ，其中tanθ= a2，
当且仅当sinx+θ=1,ymax= 4+a，
故 4+a=3，
即a=5．
故答案为5．
14.【答案】 2π
【解析】解：因为圆锥的母线SA，SB所成角的余弦值为35，所以sin∠ASB= 1-(35)2=45，
所以△SAB的面积为12×SA2×45=45，解得SA= 2，
又因为圆锥的母线SA与圆锥底面所成角为45°，所以底面圆半径为OA=SAcs45°=1，
所以该圆锥的侧面积为S侧=π×1× 2= 2π.
故答案为： 2π.
根据△SAB的面积求出母线长SA，再母线与圆锥底面所成角求出底面圆半径，即可求出该圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，也考查了数学运算核心素养，是基础题．
15.【答案】解：(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，
因为AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，
AE=AB+BC+CE=AB+BC+12CC1，
所以AE2=AB2+BC2+14CC12+2AB⋅BC+AB⋅CC1+BC⋅CC1，
由题意AB2=25，BC2=AD2=9，CC12=AA12=4，
AB⋅BC=|AB|⋅|BC|cs(180°-90°)=0，AB⋅CC1=|AB|⋅|CC1|cs60°=5×4×12=10，
BC⋅CC1=|BC|⋅|CC1|cs60°=3×4×12=6，
所以AE2=25+9+14×16+0+10+6=54，
所以AE=|AE|=3 6；
(2)AE⋅BC=(AB+BC+CE)⋅BC=AB⋅BC+BC2+12BC⋅CC1=0+9+12×6=12，
|AE|=3 6，|BC|=3，
所以cs=AEBC|AE|⋅|BC|=123 6×3=29 6．
设异面直线AE和BC夹角为θ，则θ∈(0,π2]，
所以csθ=|cs|=29 6．
所以异面直线AE和BC夹角的余弦值为29 6．
【解析】(1)在平行六面体中，由棱长及夹角，由和向量运算可得AE=AB+BC+CE=AB+BC+12CC1，平方可得AE2=AB2+BC2+14CC12+2AB⋅BC+AB⋅CC1+BC⋅CC1，求出数量积，可得AE的大小；
(2)由(1)可得cs的值，进而求出异面直线AE和BC夹角的余弦值．
本题考查向量的运算性质的应用及异面直线所成的角的余弦值的求法，属于中档题．
16.【答案】解：(1)由2csA(bcsC+ccsB)= 3a⇒2csA(sinBcsC+sinCcsB)= 3sinA⇒2csAsinA= 3sinA，
∵A∈(0,π)，∴sin A≠0，∴csA= 32，A=π6．
(2)由题意知，a=1 ，a+b+c= 5+1，∴b+c= 5，
由余弦定理，得b2+c2-2bccsπ6=b2+c2- 3bc=(b+c)2-(2+ 3)bc=1，
∴bc=42+ 3=4(2- 3)，
∴S△ABC=12bcsinA=2- 3．
【解析】本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
(1)由正弦定理解得csA= 32即可求解;
(2)根据余弦定理求得bc即可．
17.【答案】解 (1)两圆相减可得2x+y+1=0，圆C1的圆心为(-1,0)，半径为1，
则圆心到直线的距离d=1 5，
所以圆C1和圆C2的公共弦长=2 1-15=4 55；
(2)圆C2的圆心为(1,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为 4-( 142)2= 22，
由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y= k(x+1)即kx-y+k=0，
所以|2k-1| k2+1= 22，所以k=1或17，
所以直线l的方程为x-y+1=0或x-7y+1=0．

【解析】本题主要考查直线与圆和圆与圆的位置关系，考查直线交圆的弦长和两圆公共弦，考查了运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】(Ⅰ)证明：因为平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE=BC，AB⊥BC，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面BEC，同理，CD⊥平面BEC，
如图，以E为原点，EC，EB方向为x，y轴方向，过E垂直于平面BEC的垂线方向为z轴方向建立空间直角坐标系，
在直角△BEC中，可得BE= 3，
故C(1,0,0)，B(0, 3,0)，A(0, 3,1)，D(1,0,1)，
设F(0,b,0)，EA=(0, 3,1)，EC=(1,0,0)，
设平面AEC的法向量为n1=(x1,y1,z1)，
由n1⋅EA=0n1⋅EC=0， 3y1+z1=0x1=0,
可取n1=(0,-1, 3)，
取平面ABE的法向量为n2=(1,0,0)，故n1⋅n2=0，
所以平面AEC⊥平面ABE；
(Ⅱ)解：CF=(-1,b,0)，AC=(1,- 3,-1)，
设平面ACF的法向量为m1=(x2,y2,z2)，
由m1⋅CF=0m1⋅AC=0，-x2+by2=0x2- 3y2-z2=0,
可取m1=(-b,-1, 3-b)，
由ED=(1,0,1)，且DE/​/平面ACF，
故DE⋅m1=0，可得b= 32，所以BFBE=12；
(Ⅲ)解：取平面BFC的法向量为m2=(0,0,1)，
由(Ⅱ)知，可取m1=(- 32,-1, 32)，
cs=m1⋅m2|m1||m2|= 32 52= 3010，
由图知，该二面角是锐角，
所以二面角A-FC-B的余弦值为 3010．
【解析】本题考查利用空间向量求二面角、判定线面平行及面面垂直，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力．
(Ⅰ)以E为原点，EC，EB方向为x，y轴方向，过E垂直于平面BEC的垂线方向为z轴方向建立空间直角坐标系，求出平面AEC的法向量，取平面ABE的法向量，利用数量积运算证明两法向量垂直即可；
(Ⅱ)求出平面ACF的法向量m1，由DE/​/平面ACF，得DE⋅m1=0，从而可得b值，故而得答案；
(Ⅲ)转化为求两平面法向量夹角的余弦值，平面BFC的法向量易求，由(Ⅱ)可得平面AFC的法向量，注意该二面角为锐角；
19.【答案】(1)因为e= 63，所以c2a2=1-b2a2=23，则b2a2=13,
所以椭圆C的方程可化为x2+3y2=3b2，
由x2+3y2=3b2y=12得x=± 3b2-34,
不妨令A 3b2-34,12,B- 3b2-34,12,
易知F1-c,0,F2c,0,
则F1A=( 3b2-34+c,12),
F1B=(- 3b2-34+c,12),
因为AF1⊥BF1，所以F1A⋅F1B=0，
即c2-3b2+34+14=0，
又a2=c2+b2,a2=3b2，
解得b2=1,a2=3,
所以椭圆C的方程为x23+y2=1.
(2)由(1)知椭圆C的长轴长为2 3，F2( 2,0)，
因为直线l:y=kx+mk<0,m>0被圆x2+y2=4截得的弦长与椭圆C的长轴长相等，
所以圆x2+y2=4的圆心O(O为坐标原点)到直线l的距离d= 22- 32=1，
所以m 1+k2=1，即m2=1+k2.
设Dx1,y1,Ex2,y2，联立方程，得x23+y2=1y=kx+m,
整理得3k2+1x2+6kmx+3m2-1=0,
Δ=36k2m2-12(3k2+1)(m2-1)
=12(3k2-m2+1)=24k2>0,
x1x2=3m2-13k2+1,x1+x2=-6km3k2+1,
所以|DE|= 1+k2|x1-x2|
= 1+k2· (x1+x2)2-4x1x2
=2 3 k2+13k2+1 3k2+1-m2，
又m2=1+k2，所以DE=-2 6mk3k2+1,
又|DF2|= (x1- 2)2+y12= (x1- 2)2+1-x123
=| 63x1- 3|= 3- 63x1，
|EF2|= (x2- 2)2+y22= (x2- 2)2+1-x223
=| 63x2- 3|= 3- 63x2.
所以|DF2|+|EF2|=2 3- 63(x1+x2)
=2 3+2 6mk3k2+1，
所以△F2DE的周长是
|DE|+|DF2|+|EF2|
=2 3+2 6mk3k2+1-2 6mk3k2+1=2 3．
所以△F2DE的周长为定值，为2 3．
【解析】本题考查椭圆标准方程的求解、直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系、圆锥曲线中的定值问题，属于较难题．
(1)根据离心率为 63，得到b2a2=13,由此椭圆C的方程可化为x2+3y2=3b2，将直线y=12与椭圆方程联立，用b表示出A，B两点的坐标，再根据AF1⊥BF1，得到b的方程，解得b的值，即可得到椭圆的方程；
(2)根据直线l:y=kx+mk<0,m>0被圆x2+y2=4截得的弦长与椭圆C的长轴长相等，得到m2=1+k2.再设出Dx1,y1,Ex2,y2，联立直线方程与椭圆的方程，通过韦达定理以及弦长公式计算得到DE=-2 6mk3k2+1,求得|DF2|+|EF2|=2 3+2 6mk3k2+1，由此可以得到△F2DE的周长为定值．