中考数学：答题技巧与模板构建 专题12 尺规作图题型总结（学案解析版）

这是一份中考数学：答题技巧与模板构建 专题12 尺规作图题型总结（学案解析版），共54页。学案主要包含了考题常以选择等内容，欢迎下载使用。
题型解读｜模型构建｜通关试练
本专题主要对初中阶段的一般考查学生对基本作图的掌握情况和实践操作能力，并且在作图的基础上进一步推理计算（或证明）．尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图． 尺规作图是中考必考知识点之一，复习该版块时要动手多画图，熟能生巧！本专题主要总结了五个常考的基本作图题型，（1）作相等角；（2）作角平分线；（3）作线段垂直平分线；（4）作垂直（过一点作垂线或圆切线）；（5）用无刻度的直尺作图．
模型01 作相等角
①以∠α的顶点O为圆心，以任意长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q；
②作射线O'A'；
③以O'为圆心，OP长为半径作弧，交O'A'于点M；
④以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交③中所作的弧于点N；
⑤过点N作射线O'B'，∠A'O'B'即为所求作的角．
原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应角相等
延伸：
作平行线
模型02 作角平分线
①以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；
③过点O作射线OP，OP即为∠AOB的平分线．
原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应角相等
延伸：
② 到两边的距离相等的点
②作三角形的内切圆
模型03 作线段垂直平分线
①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点M和点N；
②过点M，N作直线MN，直线MN即为线段AB的垂直平分线．
原理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
延伸：
①到两点的距离相等的点
②作三角形的外接圆
③ 找对称轴（旋转中心）
④ 找圆的圆心
模型04 作垂直（过一点作垂线或圆切线）

（点P在直线上）
①以点P为圆心，任意长为半径向点P两侧作弧，分别交直线l于A，B两点；
②分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M；
③过点M，P作直线MP，则直线MP即为所求垂线．
原理：等腰三角形的“三线合一”，两点确定一条直线
延伸：确定点到直线的距离（内切圆半径）
（点P在直线外）
①以点P为圆心，大于P到直线l的距离为
半径作弧，分别交直线l于A，B两点；
②分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧交于点N；
③过点P，N作直线PN，则直线PN即为所求垂线．
原理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
模型05 仅用无刻度直尺作图
无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键．
模型01 作相等角
考｜向｜预｜测
做相等角该题型近年主要以解答题形式出现，一般为解答题型的其中一问，难度系数较小，在各类考试中基本为送分题型．解这类问题的关键是根据题意熟练应用尺规作图，一般考试中涉及的做相等角包含角相等或者作平行线，需要我们很好的理解题意，根据题意画图，保留清晰的作图痕迹．
答｜题｜技｜巧
例1．（2023·吉林四平·三模）
1．如图，用尺规作图完成下列作图步骤：
①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交射线、于点C、D；
②以点B为圆心，以长为半径画，交射线于点，点F与点C在的异侧）；
③以点E为圆心，以长为半径画，交于点N，作射线即可得到，连接、．
则下列说法中错误的是（ ）
A．B．
C．， D．的依据是
例2．（2023·陕西）
2．尺规作图（不写作法，只保留作图痕迹）
如图，已知点在的边上，过点作直线，使得．
模型02 作角平分线
考｜向｜预｜测
作角平分线该题型主要以选择、填空形式出现，在解答题中主要考查角平分线的性质，根据性质作对应图形，难度系数不大，在各类考试中得分率较高．掌握角平分线的性质是考试的重点，在应用题型中，根据题意会进行尺规作图画角平分线，有时依据题意画平行线时也是画角平分线．
答｜题｜技｜巧
例1．（2024·山东泰安·一模）
3．如图，在中，，．小明按以下操作进行尺规作图：以为圆心，任意长为半径画弧，交、于点、点，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、点，作直线交于，交于，连接．可以求得 度．
例2．（2023·福建）
4．如图，，平分，且交于点C．
(1)作的角平分线交于点F（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）；
(2)根据（1）中作图，连接，若，，求四边形的面积．
模型03 作线段垂直平分线
考｜向｜预｜测
作线段垂直平分线该题型近年在尺规作图题型中主要考①到两点的距离相等的点；②作三角形的外接圆；③找对称轴（旋转中心）；④找圆的圆心等几个方面．让学生真正理解线段垂直平分线的性质是本节内容的重心，尺规作线段垂直平分线是中考的必考内容之一、考题常以选择、填空等形式出现，该题型主要难点在熟练应用线段垂直平分线的性质，会画线段的垂直平分线，难度系数不是很大，属于容易得分项．
答｜题｜技｜巧
例1．（2024·山东泰安·一模）
5．如图，在中，，．小明按以下操作进行尺规作图：以为圆心，任意长为半径画弧，交、于点、点，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、点，作直线交于，交于，连接．可以求得 度．
例2．（2024·广东东莞·一模）
6．如图， 在四边形中，是对角线.
(1)尺规作图，作的垂直平分线交于点E，交于点F，交于点O（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）；
(2)若， 求证：.
模型04 作垂线（过一点作垂线或圆的切线）
考｜向｜预｜测
作垂线（过一点作垂线或圆的切线）该题型主要包括①过直线上一点作垂线；②过直线外一点作垂线；③过圆上一点作切线；④作高等．几种题型的核心点均是作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，结合线段垂直平分线的性质进行解题．
答｜题｜技｜巧
例1．（2023·江苏）
7．在矩形纸片中，，，现将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点
(1)尺规作图，画出折痕；
(2)判断四边形是什么特殊四边形？并证明；
(3)求折痕的长度？
模型05 仅用无刻度直尺作图
考｜向｜预｜测
仅用无刻度直尺作图该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在应用题型中或者与几何相结合的题型中，具有一定的综合性和难度．无刻度直尺作图，掌握全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等知识点是解题的关键．
答｜题｜技｜巧
例1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）
8．实践操作：如图，是正方形网格，每个小正方形的边长都为1．
(1)请在图中画出等腰，使得点在格点上，，且；
(2)仅用无刻度直尺作出的中位线，使得点分别在上，并保留作图痕迹．
例2．（2024·天津河东·一模）
9．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点，均在格点上．
（Ⅰ）线段的长等于 ；
（Ⅱ）若点在圆上，与相交于点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使为等边三角形，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
（2023·广西）
10．如图，在中，，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心的长为半径画弧，两弧交于点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
（2023·广西）
11．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ）
A．25B．22C．19D．18
（2023·四川）
12．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明 （写出全等的简写）．
（2023·山东）
13．如图，在中，．按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点D和E，，，则的长为 ．
（2023·广东）
14．如图，点A是边OM上一点，点P是边上一点．

(1)尺规作图：在射线的上方，作（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若且与交于点B，试判断与的数量关系，并说明理由．
（2023·山西）
15．如图，已知，
(1)请以点B为顶点，射线为一边，在边的下方利用尺规作，使得（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)直接写出直线与直线的位置关系．
（2023·福建）
16．如图，已知在中，点D在边上，且．
(1)用尺规作图法，作的平分线，交于点P；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)在（1）的条件下，连接、求证：．
（2023·湖南）
17．如图，的斜边，．
(1)用尺规作图作线段的垂直平分线l，分别交于点D，E（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；
(2)求的长．
（2023·江苏）
18．如图，已知在中，，以A为圆心，的长为半径作圆，是的切线与的延长线交于点E．

(1)请用无刻度的直尺和圆规过点A作的垂线交的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接．
①试判断直线与的位置关系，并说明理由；
②若，的半径为3，求的长．
（2023·安徽）
19．如图，在中，，D是上一点（D与C不重合）．
(1)尺规作图：过点D作的垂线交于点E．作的平分线交于点F，交于点H（保留作图痕迹，不用写作法）．
(2)求证：．
（2023·湖北）
20．如图，在平面直角坐标系中，，，，三角形中任意一点经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形．
(1)画出平移后的三角形；
(2)线段在平移的过程中扫过的面积为________；
(3)连接，仅用无刻度直尺在线段上画点D使；
(4)若，点E在直线上，则的最小值为________．
（2023·江西）
21．如图，在中，，点D是边的中点，交于点E，请仅用无刻度直尺，分别按下列要求作图．
(1)在图①中，过点C作边上的高线；
(2)在图②中，过点E作的平行线．
（2024·贵州黔南·一模）
22．如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，以的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
（2024·天津·一模）
23．如图，在中，，分别以A，为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别交，于点，，连接，则下列结论一定正确的是（ ）

A．B．C．D．
24．如图，在中，以点A为圆心AB长为半径作弧交于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ．

25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求与的值；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作直线，使，且与反比例函数图象在第一象限内交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）
(3)求点的坐标．
（2024·湖北黄石·一模）
26．如图，平分，且交于点C．
(1)作的平分线交于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）中作图，连接，求证：四边形是菱形．
（2024·湖南长沙·一模）
27．阅读材料，完成下面问题：
如图，点A是直线外一点，利用直尺和圆规按如下步骤作图．

(1)利用，可得到平分，请根据作图过程，直接写出这两个三角形全等的判定依据 ；
(2)若，，求线段的长．
28．如图， 点O为的对角线的中点．

(1)使用直尺和圆规，依以下作法补全图形 （保留作图痕迹）；作法如下：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N；
②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；
③过点O、P画直线l， 分别交边，于点E，F，连接，．
(2)求证：四边形是菱形；
(3)若，，，求的面积．
29．如图，是菱形的对角线．
(1)在线段上确定一点，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
（2024·河南洛阳·模拟预测）
30．如图，是菱形的对角线，，

(1)请用尺规作图作的垂直平分线，垂足为，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）条件下，连接，求．
31．如图，平面直角坐标系中点，，反比例函数的图象与线段交于点，．

(1)求反比例函数表达式．
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(3)（）中所作的垂直平分线分别与、线段交于点．连接，求证：是的平分线．
（2024·江苏南通·一模）
32．如图，已知矩形．
(1)用无刻度的直尺和圆规作菱形，使点分别在边上，（不写作法，保留作图痕迹，并给出证明．）
(2)若，求菱形的周长．
（2024·北京·一模）
33．如图，是的直径，是上一点，连接．
(1)使用直尺和圆规，在图中过点A作的切线，补全图形（点P在上方，保留作图痕迹）；
(2)点D是弧的中点，连接并延长，分别交，于点E，F，若，，求线段的长．
34．如图，在平行四边形中，连接对角线，过点B作于点E．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，垂足为F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）问所作的图形中，连接，求证：四边形是平行四边形．
（2024·江西吉安·一模）
35．如图，在菱形中，连接，是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

(1)在图1中的上找一点，连接，使得．
(2)在图2中的上找一点，连接，使得．
（2024·吉林长春·一模）
36．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，以为直径的半圆的圆心为，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（保留作图痕迹）

(1)在图1中线段上确定一点，使得；
(2)在图2中作出的边上的高；
(3)在图3中作出的切线．
（2024·安徽合肥·一模）
37．如图，在平面直角坐标系中，单位长度为1，的顶点均在正方形网格的格点上，其中．
(1)画出统点O逆时针旋转的图形；
(2)在x轴上画出一个格点D，使；
(3)在线段上画出点E，使的长度最短．
（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法，保留作图痕迹）
（2024·江苏淮安·一模）
38．请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
(1)如图1，内接于，，请在图中画一个含有圆周角的直角三角形；
(2)如图2，为的内接三角形，D是的中点，E是的中点，请画出的角平分线．
第一步：
作任一射线；
第二步：
以所作角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，然后以同样长为半径，以射线端点为圆心画弧；
第三步：
以原角中所画弧中一个交点为圆心，到另一个交点的距离为半径画弧；
第四步：
以射线中的交点为圆心，同样长为半径画弧，交于一点，连接射线端点与弧的交点，所得角即为所求；
第一步：
以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交两点M、N；
第二步：
以M点为圆心，MN的距离为半径画弧，再以N点为圆心，同样长为半径画弧，两弧相交于点P；
第三步：
连接角的顶点和P点，所画直线即为所求；
第一步：
以线段任一端点为圆心，大于一半的长为半径上下画弧；
第二步：
以线段另一端点为圆心，同样长为半径画弧，所画弧交于两点MN；
第三步：
连接MN，MN所在直线即为所求；
第一步：
以所过点为圆心，以一定长度为半径截取线段长（如果点在线段上以任意长度为半径，如果点在线段外以大于点到线段的长为半径）；
第二步：
作该线段的垂直平分线；
第三步：
过该点的线段垂直平分线即为所求；
第一步：
确定所求结论（一般作角相等或垂直）；
第二步：
无刻度直尺只能连线，根据题意连接线段长或射线；
第三步：
注意利用几何知识点的性质，比如说角相等的判定、圆的相关知识点等；
（1）在直线上任取一点，画线段．
（2）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交直线于点．
（3）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，画射线
（4）以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点，画直线．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识．熟练掌握作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定是解题的关键．
由作图可知，，可证，进而可得，，则，，进而可判断各选项的正误．
【详解】解：由作图可知，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求；
故选：D．
2．作图见详解
【分析】本题主要考查尺规作图，作一个角等于已知角，根据同位角相等，两直线平行即可求解，掌握平行性的判定方法是解题的关键．
【详解】解：如图所示，作即可，
根据同位角相等，两直线平行，作，
以点圆心，以任意长（这里以线段）为半径画弧，交于点，连接；
以点为圆心，以线段为半径画弧，交于点；
以点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，过点作直线；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴即为所求直线．
3．25
【分析】题目主要考查角平分线的作法及垂直平分线的作法，根据题意得出，再由等边对等角得出，结合图形确定，利用角平分线求解即可，熟练掌握两种基本的作图方法是解题关键．
【详解】解：∵，．
∴，
根据作法得：垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
由作法得：平分，
∴，
故答案为：．
4．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了菱形的判定．
（1）利用基本作图作的平分线即可；
（2）先证明得到，再证明，则，于是可判断四边形为平行四边形，然后利用可判断四边形是菱形，再根据菱形的性质求面积即可．
【详解】（1）如图，为所作；
（2）平分，
，
∵，
，
，
，
同理可得，
，
而，
四边形为平行四边形，
，
四边形是菱形．
∴，，，，
∴，
∴
∴四边形的面积为．
5．25
【分析】题目主要考查角平分线的作法及垂直平分线的作法，根据题意得出，再由等边对等角得出，结合图形确定，利用角平分线求解即可，熟练掌握两种基本的作图方法是解题关键．
【详解】解：∵，．
∴，
根据作法得：垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
由作法得：平分，
∴，
故答案为：．
6．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质：
（1）分别以点B和D为圆心，大于长为半径画弧，即可作的垂直平分线；
（2）利用证明即可得．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）证明：∵，
∴，
由作图过程可知：，
在和中，
，
∴，
∴．
7．(1)见解析
(2)四边形是菱形．证明见解析
(3)．
【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）直接作线段的垂直平分线即可；
（2）由矩形的性质可得，证明，可得，得出四边形是平行四边形．由折叠可知，，即可得证；
（3）由勾股定理得出，则，设，则，再由勾股定理求出，，即可得解．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
；
（2）解：四边形是菱形．理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
设与交于点，
由题意可得，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
由折叠可知，，
∴四边形是菱形
（3）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
设，则，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴．
由（2）知，四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴．
8．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图所示，取格点C，连接，即为所求；
（2）分别取格点M、N、G、H，连接交于E，连接交于F，则即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
【点睛】本题主要考查了无刻度直尺作图，等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等等，熟练掌握相关性质是解题关键．
9． 见解析．
【分析】（Ⅰ）结合网格的性质，利用勾股定理求解即可；
（Ⅱ）取格点，连接交于点，取与网格线的交点，连接并延长与网格线相交于点；连接与网格线相交于点G，连接并延长与网格线相交于点，连接并延长与圆相交于点，分别连接并延长相交于点，则点即为所求．
【详解】解：（Ⅰ）由网格可知，，
故答案为：；
（Ⅱ）如图，取格点，连接交于点，取与网格线的交点，连接并延长与网格线相交于点；连接与网格线相交于点G，连接并延长与网格线相交于点，连接并延长与圆相交于点，分别连接并延长相交于点，则点即为所求．
理由：由作图可得：，，
，
，
，，
，
是等边三角形．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解题关键．
10．B
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，尺规作图法，掌握角平分线的尺规作图法是解题的关键．
根据作图可知是角平分线，再利用三角形内角和定理即可求得．
【详解】解：根据尺规作图可知，是角平分线，
，
在中，，
，
，
故选．
11．C
【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．
【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵，，
∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD
＝AB＋AD＋CD
＝AB＋AC
＝19．
故选：C
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
12．
【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，根据作出可知：，，，从而得出三角形全等的判定方法．
【详解】解：根据作图可知：，，，从而可以利用判定其全等．
故答案为：．
13．
【分析】连接，根据垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：连接，如图：
由作图可得，是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了尺规作一条线段的垂直平分线，勾股定理，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本的判定和性质．
14．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了作图－复杂作图、平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角．
（1）根据尺规作图过点P作，即可；
（2）根据且与交于点B，得出，再由等量代换即可得出结果．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2），理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，平行线的判定，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据尺规作图—作与已知角相等的角的作图方法作图即可；
（2）根据同位角相等，两直线平行证明，再证明即可完成证明．
【详解】（1）解：即为所求；
（2）解：，理由如下
由作图知：，
，，
，
，
．
16．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了角平分线的作图方法，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的作图方法和步骤，全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等．
（1）根据尺规作图—角平分线的作图方法和步骤即可解答；
（2）根据证明，即可证明．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，过弧的两交点作出直线l即可；
（2）根据作图可得，根据题中的数据利用三角函数求出，由勾股定理求出，证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图，线段的垂直平分线l，为所求；
（2）解：由作图可得：，
在中，，
∴，
，
∵l是的垂直平分线，
，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查基本作图-作线段的垂直平分线，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．(1)见解析
(2)①与相切，理由见解析；②6
【分析】（1）使用尺规作图作线段垂线，分别以点、点为圆心，作半径相同的圆弧，交于一点，连接点A与该点并延长交的延长线于点．
（2）①根据垂直平分线性质求得，则与相切；
②在中，由勾股定理可得即可得，在中，由即可求解．
【详解】（1）
如图，为所作垂线；

（2）①与相切，理由如下∶
在中，是的垂线，
，且是的垂直平分线，
，
，
与相切于点，
，即，
与相切；
②在中，
根据勾股定理，得：
在中，
【点睛】本题考查圆的切线的判定定理、垂直平分线性质和勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作垂线和角平分线以及等腰三角形的判定．
（1）根据垂线的作法和角平分线的作法作图即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的性质得到，再由等角对等边即可得到结论．
【详解】（1）如图，即为所求的垂线．
即为所求的角平分线．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵AF为的平分线，
∴，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)18
(3)见解析
(4)
【分析】本题考查了由平移前后坐标确定平移方式，平移作图，无刻度尺作图，垂线段最短，平移性质求解，根据要求准确作图是解题关键．
（1）由平移后的点确定平移方式再作图即可；
（2）线段在平移的过程中扫过的面积为四边形的面积，由平移性质可得四边形为平行四边形，再求出其面积即可；
（3）连接，将平移至处，作交于点D，即为所求；
（4）由垂线段最短，根据三角形面积相等求解即可求解．
【详解】（1）解：点经平移后对应点为，
可知三角形的平移方式为：向右平移4个单位，向上平移3个单位，
三角形如下图：
（2）由图可知，线段在平移的过程中扫过的面积为四边形的面积，
由平移性质可得：四边形为平行四边形，
；
（3）如图，连接，将平移至处，作交于点D，
即为所求；
（4）由垂线段最短可知当时，最短，
，即，
解得：．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）连接，交于，再连接，并延长交于F，利用垂心的性质从而可得答案；
（2）如图所示，在（1）的基础上，连接，则即为所求．
【详解】（1）解：连接，交于，再连接，并延长交于F，
∵，点D是边的中点，
∴，
又∵，
∴点为三角形三条高的交点，
∴，
如图所示，线段即为所求；
（2）解： ∵，D是的中点，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵分别是的高，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
如图所示，直线即为所求．
22．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作图复杂作图，连接，根据题意得出，，证即可求解，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定．
【详解】解：如图，连接，
根据作图过程可知：，，
在和中，
，
，
，
，
故选：C．
23．B
【分析】本题主要考查了垂直平分线的作法、垂直平分线的性质、平行等分线段定理、三角形中位线等知识点，根据作法得到是线段的垂直平分线是解题的关键．
根据作法得到是线段的垂直平分线，然后根据垂直平分线的性质、平行等分线段定理、三角形中位线的性质解答即可．
【详解】解：根据作法可知：是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，即，则
∴是的中位线，
∴．
故选B．
24．
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定、线段垂直平分线的尺规作图、勾股定理等知识点，掌握垂直平分线的尺规作图成为解题的关键.
如图：连接，根据尺规作图可得，，再根据等腰三角形的性质可得、，再运用勾股定理可得，再证明是菱形可得即可解答．
【详解】解：如图，连接，

由作图可知：，，
，，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴．
故答案为：．
25．(1)k的值为，m的值为12；
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，平行线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）将点代入可求出，进而求出的坐标，将的坐标代入反比例函数中，可求出；
（2）根据平行线的尺规作图方法作图即可；；
（3）根据题意可得：直线的函数关系式为，然后联立方程组即可求解．
【详解】（1）解：将点代入得，，
解得：，
一次函数关系式为，
将点代入，得，
解得：，
，
将代入，得，
的值为，的值为；
（2）如图所示：
（3）一次函数关系式为，，
直线的函数关系式为，
可联立方程组，得，
解得：， (舍去)，
点的坐标为．
26．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用基本作图作的平分线；
（2）利用角平分线和平行线的性质证明，则，同理可证，所以，于是可判断四边形是平行四边形，然后利用可判断四边形是菱形．
【详解】（1）解：如图，射线为所求；
（2）证明：
∵，
，
平分，
．
，
，
同理可证，
．
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查尺规作图作角平分线、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
27．(1)
(2)．
【分析】本题主要考查角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定及解直角三角形；
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）过点A作，求得，解直角三角形结合等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：由作图可知：，，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
综上所述：这两个三角形全等的判定依据；
故答案为：；
（2）解：过点A作，由作图得，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∴．
28．(1)见解析
(2)见解析
(3)3
【分析】本题考查尺规作图——作垂线，菱形的判定及性质，平行四边形的性质，含的直角三角形等知识点，根据题意作出图形是解决问题的关键．
（1）根据题目要求作图即可；
（2）由平行四边形的性质结合点是的中点，可证，得，可知四边形是平行四边形，由作图可知，，即：，即可证明结论；
（3）由菱形的性质可知，，可得，过点作，可得，再根据的面积即可求解．
【详解】（1）解：补全图形，如图所示

（2）证明：在中，，
∴，，
又∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
由作图可知，，即：，
∴四边形是菱形；
（3）∵四边形是菱形，，，
∴，，
∵，
∴，
过点作，
∴，
∴的面积．
29．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质与尺规作图，等边对等角等等：
（1）根据线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等，只需要作线段的垂直平分线交于F，点F即为所求；
（2）由菱形的性质得到，，，则，再由等边对等角得到，即可得到．
【详解】（1）解：如图所示，作线段的垂直平分线交于F，点F即为所求；
（2）解：四边形是菱形，
，，
∴，
，
又∵，
∴，
∴
30．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查菱形的性质，垂直平分线的画法及性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质的综合，掌握菱形的性质，含角的直角三角形的性质是解题的关键．
（1）根据垂直平分线的画法即可求解；
（2）根据菱形的性质，分别求出的度数，根据含角的直角三角形的性质，设，可用含的式子表示的长，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求；

（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
作于，则，

设，则，，，
∴．
31．(1)；
(2)作图见解析；
(3)证明见解析．
【分析】（）先求出点坐标，代入解析式，可求解；
（）以点、点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、点，连接，则为所求图形；
（）先求出点坐标，点坐标，由面积法可求的长，由角平分线的判定即可求证；
本题考查了待定系数法，作线段的垂直平分线，角平分线的判定，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴点，
∵反比例函数 的图象过点，
∴，
∴反比例函数表达式为；
（2）解：如图，以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、点，连接，则为所求；

（3）解：如图，过点作于，

∵ ，，
∴点，
∴点的纵坐标为，
∴点，
∴，
∵，
∴，
∵点，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴是的平分线．
32．(1)图见解析
(2)20
【分析】本题考查了垂直平分线的作法和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，根据相关知识正确作图是解题关键．
（1）作对角线的垂直平分线， 证明，即可证四边形是菱形；
（2）设菱形边长为x，则，根据勾股定理列方程，求出，即可得到菱形的周长．
【详解】（1）解：如图，菱形即为所求作；
垂直平分，
，，
矩形，
，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：设菱形边长为x，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
解得，
菱形周长．
33．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查作垂线，切线的性质，相似三角形的判定与性质：
（1）以点A为圆心，任意长为半径画弧交和的延长线玩点为M，N，分别以M，N为圆心，大于为半径画弧，将于两点，过两点作直线，则为的切线；
（2）由切线的性质得，求出，由垂径定理和勾股定理可求出，再证明，可求出，从而可求出的长
【详解】（1）解：如图，为的切线：
（2）解：∵是的直径，
∴
∴，
∵为的切线，
∴即
∴
∴
∴
∴，
又
∴AB=10，
∴
∵是的中点，
∴
∴
∴
∵
∴，
∴
∴
∴，
∴
34．(1)见解析
(2)见解析
【分析】题目主要考查垂线的作法及平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据垂线的作图方法作图即可；
（2）根据平行四边形的性质得出，．再由垂直的定义及平行线的判定确定，根据全等三角形的判定和性质得出，利用平行四边形的判定即可证明．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）证明： ∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
．
．
∴．
在和中：
．
∴．
，．
∴四边形是平行四边形．
35．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，由菱形的性质得到为的中点，则是的中位线，即可得出；
（2）连接、交于点，连接并延长，交于点，证明，即可推出．
【详解】（1）解：如图，即为所求作；

（2）解：如图，即为所求作；

连接、交于点，连接并延长，交于点，
四边形是菱形，
，垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
是的中位线，
即．
【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，菱形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，根据相关性质正确作图是解题关键．
36．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）如图，设与网格交于点，利用三角形的中位线定理解决问题即可；
（2）如图，延长交于点，连接即可；
（3）如图，取格点，连接即可．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求；

（2）解：如图，线段即为所求；

（3）解：如图，直线即为所求．

【点睛】本题考查作图，三角形的中位线定理，圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
37．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图−应用与设计作图，旋转的性质，垂直的定义，垂线段最短等知识，解题的关键是掌握网格特征解决问题．
（1）根据旋转的性质找到点A、B、C的对应点，连接，则即为所求；
（2）利用网格的特点，取点即可；
（3）根据点到直线的垂线段最短，利用网格特点，取点即可．
【详解】（1）解：如图，；
（2）解：如图，D点为所画的点；
（3）解：如图，E点为所画的点．
38．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图−应用与设计，圆周角定理，三角形的重心，角平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）连接，，延长交于，即为所求；
（2）连接，交于点，连接并延长交于，连接并延长交于，连接，则射线即为所求．
【详解】（1）解：连接，，,由圆周角定理可知，
∵，
∴，
延长交于，即为所求；
（2）连接，交于点，连接并延长交于，连接并延长交于，连接，
∵D是的中点，E是的中点，
∴为的重心，则为中边上的中线，
∴为的中点，
∴垂直弦且平分，
∴，
则射线即为所求．