中考数学：答题技巧与模板构建 专题13 几何类比探究题型（学案原卷版）

这是一份中考数学：答题技巧与模板构建 专题13 几何类比探究题型（学案原卷版），共21页。学案主要包含了A字形及其旋转，K字型及其旋转等内容，欢迎下载使用。
题型解读｜模型构建｜通关试练
几何的类比探究题型是近年中招解答题的必考题型，该题型往往以压轴题的形式出现，有一定的难度．探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．
模型01 图形旋转模型
模型一、A字形（手拉手）及其旋转
模型二、K字型及其旋转
手拉手模型是有两个等腰的三角形或者两个等边的三角形，他们有一个共同的顶点，且两个等腰三角形的顶角是相等的，那么就可以用角的和差求得共顶点的另外两个角相等等，然后利用等腰的边对应相等，可证明两个三角形全等（边角边）组成这样的图形模样的我们就说他是手拉手模型．在类比探究题型中，往往会对等腰三角形或者等边三角形进行演变，变成一般三角形进行旋转，通常全等三角形变为相似三角形．
模型特征：双等腰；共顶点；顶点相等；绕着顶点作旋转
解题依据：等腰共顶手拉手，旋转全等马上有；左手拉左手，右手拉右手，两根拉线抖一抖，它们相等不用愁；拉线夹角与顶角，相等互补答案有．
模型02 图形平移模型探究
1．四边形平移变换
四边形的平移变换题型中主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移几何性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等或相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．
2．三角形平移变换
三角形平移变换主要利用三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平移性质、平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
3．其它图形平移类比探究问题
综合考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．
模型03 动点引起的题型探究
动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目． 而从其中延伸出的折叠、旋转问题，更能体现其解题核心--动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答．
实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力． 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力．要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等．
模型04 铺垫、迁移、拓展类探究题型
铺垫、迁移、拓展类探究题型由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑： 1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律； 2．反演推理法（反证法），即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致；3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果； 4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证． 以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．
模型01 图形旋转模型
考｜向｜预｜测
图形旋转模型该题型近年主要以解答题形式出现，图形的旋转模型，在解答题目时经常出现的一道题目，也是必考题型，手拉手模型是旋转模型中常见的一种题型，熟知手拉手模型的做法和思路，不论是求证线段的关系，还是求证角度的关系都十分的简单了，本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握．
答｜题｜技｜巧
例1．（2023·山东）
1．
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
模型02 图形平移模型探究
考｜向｜预｜测
图形平移模型探究该题型主要以探究题型出现，在考试中需要学生结合图形平移的性质综合运用所学几何知识进行解题，该题型具有一定的难度和综合性，在各类考试中得分率普遍较低．掌握平移的性质，根据平移前后图形位置的变化找出对应的全等或相似三角形，求出对应的边长或角度．
答｜题｜技｜巧
例1．（2024·河南周口·模拟预测）
2．问题背景：如图1，在四边形中，，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上．
(1)操作探究
连接，判断的形状，说明理由；
(2)探究迁移
将沿射线平移得到（点的对应点分别为），当点的对应点与点重合时，求四边形的周长；
(3)拓展创新
将继续沿射线平移得到（点的对应点分别为），与交于点，且，将绕点在平面内自由旋转，当时，直接写出的长．
模型03 动点引起的题型探究
考｜向｜预｜测
动点引起的题型探究是近年来中考的一个重难点问题，以运动的观点探究几何图形或函数与几何图形的变化规律，从而确定某一图形的存在性问题．随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题．解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动．解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注-些不变量和不变关系或特殊关系．
答｜题｜技｜巧
例1．（2024·辽宁丹东·模拟预测）
3．【问题背景】
某数学实验小组对坐标平面内线段上的动点问题进行研究．如图1，平面直角坐标系中，点坐标为，为线段上的一个动点，分别以、为边在轴同侧做正方形与正方形，设点坐标为．
【问题思考】
（1）在点运动中，设正方形的面积为，正方形的面积为，当时，求点坐标．
（2）分别连接、、，交于点，当点运动时，设的面积为，求与的函数表达式．
【问题拓展】
（3）当点坐标为（1）问结果时，求此时点的坐标．
（4）如图2，若点坐标为，点，分别为边，的中点，的中点为，连接，，当点从到的运动过程中，请求出的最小值．
模型04 铺垫、迁移、拓展类探究题型
考｜向｜预｜测
铺垫、迁移、拓展类探究题型解决该类问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后依题意进行分析、比较、综合、抽象和概括，或用归纳、演绎、类比等进行计算或推理论证，并能准确地运用数学语言阐述自己的思想、方法、观点．展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题．该题型在考试中主要以解答题的形式出现，题目一般较长，需要学生具有一定的阅读和理解的能力，同时该题型具有一定的难度，得分率较低，需要我们认真对待．
答｜题｜技｜巧
例1．（2023·湖北武汉）
4．【感知图形】
点是矩形的边上一动点，连接、，将、分别沿、翻折，得到、．
【问题探究】
（1）如图1，交于点，交于，在的右侧，求证：；
【问题拓展】
（2）将图1特殊化，当、、共线时，称点为边上的“叠合点”．如图2，在矩形中，，，点P为边上的“叠合点”，且，求的长；
（2023·福建）
5．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：
①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；
②△ACF∽△ADG；
③；
④DG⊥AC．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
（2023·湖北黄冈）
6．某校数学活动小组探究了如下数学问题：
(1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长．
（2023·河南）
7．（1）如图1，在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的点处．求的长；
（2）如图2，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点B重合，得到，与交于点F，求线段的长；
（3）在图1中，将绕点旋转至A，，E三点共线时，请直接写出的长．
（2023·辽宁沈阳）
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，，的长是一元二次方程的根，过点C作x轴的垂线，交对角线于点D，直线分别交x轴和y轴于点E和点F，动点N从点E以每秒2个单位长度的速度沿向终点F运动．设运动时间为t秒．
(1)求直线的函数表达式：
(2)求点N到直线的距离h与运动时间t的函数关系式，直接写出自变量的取值范围；
(3)点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点M．使得以为项点的四边形是矩形．若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
（2023·陕西）
9．【问题出示】
（1）如图①，等腰中，，，点是直线上的动点，线段的最小值是______．
【问题探究】
（2）如图②，线段最短时，在（1）的条件下，线段是的角平分线，点、分别在边、上运动，连接、，的最小值是
【问题拓展】
（3）如图③，线段最短时，在（1）的条件下，点在边上运动，连接，将线段绕点顺时针旋转60°，得到线段，连接，求线段的最小值．
【问题解决】
按照住建部制定的楼间距国家标准，南北朝向的小区，各栋楼之间的距离不小于前排楼高的0.7倍，例如：前排房屋的楼高是20米，那么后排房屋与前排房屋的距㐫至少要14米才符合要求．
（4）如图④，是某居民小区的部分平面示意图，四边形各边长都为90米，且两组对边分别平行，，长30米，边上任意一点，计划在线段、、上修建三条小路，点处修建业主活动楼，其中，且．小区最南边一排（即线段处）楼高70米，当线段取小时，点处的业主活动楼到线段处楼房的距离是否符合楼间距标准？请说明理由．
（2023·四川）
10．在数学兴趣小组活动中，小明同学对几何动点问题进行了探究：
问题背景：在中，．点D为边上一动点，连接，点E为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边，连接．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当点D运动到的四等分点（靠近点B）时，点D停止运动，此时点E从点C运动到点D，试判断点E从点C运动到点D的过程中线段和的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点D从的四等分点（靠近点B）出发，向终点A运动，同时，点E从点D出发，向终点C运动，运动过程中，始终保持，直接写出的最小值和点F所经过的路径长．
（2023·广东）
11．综合应用
探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究：按照以下思路研究不等式组的解集：首先令，通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行探究，列表：
描点与连线：

(1)在列表的空格处填对应的y值，在如图给出的平面直角坐标系中描出以表中各对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象．
(2)若为该函数图象上不同的两点，则x与y的数量关系是_______；
(3)观察图象，当时，自变量x的取值范围是_______；
(4)【拓展运用】运用以上的探究过程，求出函数与的图象所围成的图形面积．
（2023·湖北）
12．【问题提出】（1）如图1，在四边形中，，，，连接．试探究、、之间的数量关系．
小明的思路是：他发现和互补，推得，于是想到延长到点，使，连接．从而得到，然后证明，不难得到、、之间的数量关系是______；
【问题变式】（2）如图2，四边形中，，，连接，试探究、、之间的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】（3）如图3，四边形中，，，，连接，若，求四边形的面积．（直接写出结果）

13．1.问题发现
图（1），在和中，，，，连接，交于点M.
①的值为______；②的度数为_______．
（2）类比探究
图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．
①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长；
②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值．
（2224·河南周口·一模）
14．在中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，.
(1)观察猜想
如图①，当时，的值是_______，直线与直线相交所成的较小角的度数是________．
(2)类比探究
如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．
15．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的交点为点P．
(1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______；
(2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；
(3)△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值．
（2024·山东济南·一模）
16．某校数学活动小组探究了如下数学问题：
(1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长．
17．如图，中，，将沿的方向平移得到，连接．

(1)当点移至什么位里时，四边形是菱形，并加以证明．
(2)在（1）的条件下，四边形能否为正方形？若能，请说明理由；若不能，请给添加一个条件，使四边形为正方形，并写出推理过程．
18．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接，．
(1)如图1，求点，的坐标及四边形的面积；
(2)如图1，在轴上是否存在点，连接，，使？若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；
(3)如图2，点为与轴交点，在直线上是否存在点，连接，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由；
19．已知：如图①，在矩形中，，垂足是E点F是点E关于的对称点，连接．
（1）求和的长；
（2）若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）当点F分别平移到线段上时，求出相应的m的值;
（3）如图②，将绕点B顺时针旋转一个角，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与边交于点P与直线交于点Q是否存在这样的P、Q两点，使为等腰三角形？若存在，直接写出此时的长：若不存在，请说明理由．
（2024·山西太原·一模）
20．综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以菱形为背景，探索动点运动过程中产生的几何问题．
已知，在菱形中，，对角线，点E是射线上的一个动点，连接，与关于边所在直线对称．
初步探究：（1）如图1，小颖同学研究了时的情形，并提出如下问题，请你解答：
①判断四边形的形状，并说明理由；
②此时线段的长为________________________________；
拓展延伸：（2）小彬同学研究了时的情形，请你直接写出此时线段的长．
21．如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，，，点是线段上一动点（不与点重合），连接，过点作的垂线交射线于点，连接．
(1)求的大小；
(2)问题探究：
动点M在运动的过程中，是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由．
(3)问题解决：
如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度．
22．苏科版教材八年级下册第94页第19题，小明在学过圆之后，对该题进行重新探究，请你和他一起完成问题探究．
【问题提出】如图1，点分别在方形中的边上，且，连接交于点，求证：．请你先帮小明加以证明．
【问题探究】小明把原问题转化为动点问题，如图1，在边长为的正方形中，点E从点A出发，沿边向点D运动，同时，点F从点B出发，沿边向点A运动，它们的运动速度都是，当点E运动到点D时，两点同时停止运动，连接交于点M，设点运动时间为t秒．
（1）如图1，在点的运动过程中，点M也随之运动，请直接写出点M的运动路径长 ．
（2）如图2，连接，在点的运动过程中．
①试说明点D在的外接圆上；
②若①中的与正方形的各边共有6个交点，请直接写出t的取值范围．
23．材料：在处理有动点的几何问题时，寻求与动点相关的常量，可以帮我们分析出动点的运动轨迹，进而解决问题．如果动点C与定线段所成的为常量，那么点C的运动轨迹为射线，如图A．如果动点G与定直线的距离为常量，动点G的运动轨迹即为过点G且与直线平行的直线l，如图B．
下图中，矩形中，，点P在边上且，点M为直线上的一动点，以为直角边作等腰，，点N在直线的右下方，连接，当点M在边上运动时，
(1)分析点N的运动轨迹并写出证明过程；画出轨迹（尺规作图）．
(2)求周长的最小值．
24．探索发现 如图1，在正方形中，点E在上，连接，将沿着直线翻折得到，延长，分别交，于H，G．
（1）证明：；
（2）若点G是中点，求值，
迁移拓展 如图2，在菱形中，，点E在上，连接，将沿着直线翻折得到，交于H，延长，交于点G．若，直接写出的值及长．
（2024·山东临沂·一模）
25．用四根一样长的木棍搭成菱形，点P是线段上的动点（点P不与点D和点C重合），在射线上取一点M，连接，使．
【操作探究一】
（1）如图1，调整菱形，使，当点M在菱形外时，在射线上取一点N，使，连接，则______，______；
【操作探究二】
（2）如图2，调整菱形，使，当点M在菱形外时，在射线上取一点N，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由；
【拓展迁移】
（3）在菱形中，，．若点P在直线上，点M在射线上，且当时，请直接写出的长．
（2024·贵州·模拟预测）
26．在中，，点在直线上，直线与的夹角为， 且，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，．

(1)【问题解决】
如图，若，则的度数为________，的值为______；
(2)【问题探究】
如图，若，判断的值是否发生变化？并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图，， 交于点， 点在线段上 ，，，求线段的长．第一步：
连接拉手线：左手拉左手，右手拉右手
第二步：
证全等或相似：等腰三角形性质；SAS；证相似应用的方法为两边成比例，夹角相等；
第三步：
利用全等或相似的性质得到角度关系+拉手线相等；
第一步：
观察图形经过平移，找对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；
第二步：
根据平移性质找出对应结论，平移不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形），图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；
第三步：
图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等；
第四步：
平移是由方向和距离决定的；
第一步：
分析题目；
第二步：
依据落点定折痕；
第三步：
建立对应几何模型；
第四步：
设出未知数列方程求解；
第五步：
得到结论．
第一步：
首先利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律；
第二步：
反演推理：假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致；
第三步：
分类讨论：当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果；
第四步：
类比猜想：即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．
x
…
0
1
3
4
…
y
…
…