福建省三明市沙县区第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．2π3C．D．
2．“”是“直线和直线互相垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知空间向量，若共面，则实数的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
4．若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（ ）
A．3B．4C．6D．10
6．已知直线，若直线l与连接、两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为（ ）
A．B．
C．D．[0,π4]∪(3π4,π)
7．已知∆ABC的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
8．已知圆：，点P为直线上一动点，过点P向圆引两条切线，，A，B为切点，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线：在y轴上的截距为2
B．直线的方向向量为
C．经过点，且在x，y轴上截距相等的直线方程为
D．已知直线过点，且与x，y轴正半轴交于点A、B两点，则∆ABC面积的最小值为4
10．已知圆及点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心的坐标为
B．若点在圆上，则直线的斜率为
C．点在圆外
D．若是圆上任一点，则的取值范围为．
11．如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（ ）
A．当时，EP//平面B．当时，取得最小值，其值为
C．的最小值为D．当平面CEP时，
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．两条平行直线与间的距离是 ．
13．一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在的正半轴上，则该圆的标准方程为 .
14．已知∆ABC是边长为的正三角形，点是∆ABC所在平面内的一点，且满足，则的最小值是 ．
四、解答题(本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸)
15．（13分）
已知圆：，圆：.若动圆与外切，且与圆内切.
(1)判断圆和的位置关系；
(2)求动圆的圆心的轨迹方程.
16．（15分）
如图，在四面体ABCD中，，，，.
(1)求的值；
(2)已知F是线段CD中点，点E满足，求线段EF的长.
（15分）
已知圆C经过､两点，且圆心在直线上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与圆C相交于P､Q两点，且，求直线l的方程.
（17分）
如图，在三棱柱中，侧面底面，底面∆ABC为等腰直角三角形，为中点.
(1)求证:；
(2)再从以下条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值.
条件①:；条件②:.
（17分）
在空间直角坐标系中，己知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.
(1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；
(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离；
(3)（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积；
（ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.