上海市实验学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

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一、填空题 (1-6 答题4分, 7-12答题5分)
1、“直线垂直于平面上的无数条直线”是的 条件.
2、直线与平面所成的角的取值范围是 .
3、直线与平面的位置关系有 .
4、在长方体中，若对角线与过点的相邻三个面所成的角分别为α,β、γ,则 cs²α+cs²β+cs²γ= .
5、已知直角三角形ABC中, AC=3, BC=4,若EC⊥平面ABCD, EC=2, 则E到斜边AB的距离为 .
6、在长方体中, 若AA₁=7, AB=24, 则直线到平面的距离是 .
7、长方体 中， AB=BC=1, AA1=3, 则异面直线与所成角的余弦值为 .
8、棱长为1的正方体中, 点P,Q,R分别是面A₁B₁C₁D₁, BCC₁B₁, 的中心, 给出下列结论: ①PR与BQ是异面真线; ②; ③过P，Q，R的平面截该正方体所得截面是边长为2的等边三角形,以上结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号)
9、在正方体中，点O为线段BD的中点。设点P 在线段CC₁上, 直线OP 与平面所成的角为, 则的取值范围是 .
10、已知边长为23的正△ABC, 点D,E分别在边AB,AC上, 且DE‖BC, 以DE为折痕,把△ADE折起至, 使点在平面上的射影始终落在边上，记 ，则的取值范围为 .
11、在棱长为6的正方体中, 点E,F 分别为AB,AC 的中点, EF∩BD=R, 点G在棱上. 若与底面所成角的正切值为 223, 则平面EFG截正方体，所得截面多边形的周长 .
12、四面体ABCD中, 已知 AB=2, AD=112, BC=8, CD=192, 则异面直线AC 与BD所成的角的正弦值是 .
二、单选题 (13、14每题4分, 15、16每题6分)
13、已知平面, 直线不在上,直线在上, 则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
14、若空间中四条两两不同的直线, 满足 l₁⊥l₂, l₂⊥l₃, l₃⊥l4, 则下面结论一定正确的是( )
A. B. C.既不垂直也不平行 D.的位置关系不确定
15、设m，n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面( )
A. 若m⊥n, n∥α, 则m⊥α B. 若m∥ B, β⊥α, 则m⊥α
C. 若m⊥β,n⊥β,n⊥α, 则m⊥α D. 若m⊥n, n⊥β, β⊥α, 则m⊥α.
16、如图,在四棱锥中, PA⊥平面ABCD, PB与底面ABCD所成的角为 π4, 底面ABCD为直角梯形， ∠ABC=∠BAD=π2, AD=2, PA=BC=1,点E为棱PD上一点,满足 PE=λPD0≤λ≤1,则下列结论正确的个数为( )
①CD⊥平面PAD;
②在棱PD上不存在点E, 使得CE∥平面PAB;
③当 λ=12时，异面直线CE与AB所成角的余弦值为 255：
④点P到直线CD的距离 3.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
三、解答题 (17题10分,18题12分, 19题12分,20题14分)
17、(满分10分, 第1小题5分, 第2小题5分)
在长方体 ABCD−A₁B₁C₁D₁中， AB=2,BC=2,CC₁=4, M 为棱 CC₁ 上一点.
(1)若 C₁M=1, 求异面直线和 C₁D₁所成角的正切值;
(2)若C₁M=2, 求证
18、(满分12分, 第1小题3分, 第2小题3分, 第3小题6分)
(1) 用文字语言叙述“直线与平面平行的判定定理”；
(2) 把(1) 中的定理写成“已知: ……, 求证: ……”的形式;
(3) 证明直线与平面平行的判定定理.
19、(满分12分, 第1小题6分, 第2小题6分)
如图，在平行四边形ABCD中， AB=2BC, ∠ABC=120°，E 为线段AB的中点, M为线段DE 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成 △A'DE， 使得， F 为线段的中点.
(1) 求证: BF∥平面A'DE;
(2) 求直线FM 与平面A'DE所成角的余弦值.
20、(满分14分, 第1小题6分, 第2小题8分)
已知三棱锥O-ABC的三条侧棱OA,OB,OC 两两垂直, P 是底面 △ABC内的任一点，OP 与三侧面所成的角分别为α，β，γ.求证：
1α+β+γ>π2;
2α+β+γ≤3arcsin33
附加题
21、(第1小题3分, 第2小题7分)已知数列满足:
bnan+an+1+bn+1an+2=0, bn=3+−1n2, n∈N∗, 且 a₁=2, a₂=4.
(1) 设 cn=a2n−1+a2n+1, n∈N∗,证明： 是等比数列；
(2) 设 Sk=a2+a4+⋯+a2k, k∈N∗, 证明：n∈N∗.