重庆市巴蜀中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

这是一份重庆市巴蜀中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题，共12页。试卷主要包含了若实数，则的最大值为，已知，不等式在上恒成立，则，下列命题中是真命题的有，下列说法不正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、在试卷上作答无效．
3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存、满分150分，考试用时120分钟、
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，则（ ）
A．9B．100C．1D．0
3．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．若实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．4D．6
5．设集合，则如下的4个图形中能表示定义域为，值域为的严格单调函数的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知集合不是空集，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．设集合为非空实数集，集合，称集合为集合的积集，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，集合的积集
B．若是由5个正实数构成的集合，共积集中元素个数最多为8个
C．若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最少为7个
D．存在4个正实数构成的集合，使其积集
8．已知，不等式在上恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题中是真命题的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若且，则D．若且，则
10．下列说法不正确的是（ ）
A．函数与是同一个函数
B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．函数的定义域为
D．若函数的定义域为R，则实数的取值范围是
11．已知，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．集合的非空子集的个数是______．
13．若在上单调递增，则实数的取值范围为______．
14．高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习．已知选择物理的有36人，选择化学的有24人，选择生物的有20人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人．那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有______人．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本题共13分）已知．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
16．（本题共15分）已知关于的不等式（其中）．
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若，试求该不等式的解集．
17．（本题共15分）已知命题：对任意且，不等式恒成立；命题．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围．
18．（本题共17分）设函数的定义域为，且区间．若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质；若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质．
（1）试证明：“函数在区间上具有性质”是“函数位区间上单调递增”的充分不必要条件；
（2）若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围；
（3）若函数在区间上同时具有性质和性质，求实数的取值范围．
19．（本题共17分）对于在平面直角坐标系第一象限内的两点作如下定义：若，则称点领先于点．
（1）试判断点是否领先于点，并说明理由；
（2）若点领先于点，试证明：点领先于点．
（3）对，点领先于点，且点领先于点，求符合条件的正整数组成的集合中元絮的个数．
高2027届高一（上）学月考试
数学参考答案
1．C
【详解】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是，选C．
考点：全称命题与存在性命题．
2．B
【详解】由题意，，令，则，
所以函数解析式为，所以，
则．
3．B
【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足，
则可能的取值为，即，于是．
4．A
【详解】：实数
，
当且仅当，即时等号成立，
函数的最大值为
5．B
【详解】由函数的概念和严格单调的定义可选．
6．C
【详解】因为是的充分不必要条件，所以是的真子集
由条件，且时，所以舍去，即，
7．C
【详解】
对于①，因为，故集合中所有可能的元素有，
即，所以①错误
对于②，设，不妨设，
因为，所以中元素个数小于等于10个
如设则所以积集中元素个数的最大值为10个，所以②错误
对于③，因为，所以中元素个数大于等于7个，
如设，此时中元素个数等于7个，
所以积集中元素个数的最小值为7．所以③正确
对于④，假设存在4个正实数构成的集合，使其积集，
不妨设，则集合的积集
则必有，其4个正实数的乘积；
又，其4个正实数的乘积，矛盾；
所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合，使其生成集
8．D
【详解】解：，且，
，
，
上述不等式恒成立，
，即（否则取，则左边，矛盾），
此时不等式转化为，
解得，
故选：D．
9．BCD
【详解】对于A项，取，
则，所以，故A选项错误；
对于B选项，若，有，则，B选项正确；
对于C选项，若，则，则，
又因为，由不等式的性质可得，所以C选项正确；
对于D选项，若且，则，所以，，D选项正确．
故选：BCD．
10．ACD
【详解】对于A，函数的定义域为的定义域为，
故函数与不是同一个函数，A不正确；
对于B：因为函数的定义域为，
所以，
所以函数的定义域为，B正确
对于C，不等式，则解集为，C不正确
对于D，当时，不等式恒成立。当时，恒成立；
当时，则需满足，
综合可得的取值范围是，D不正确，
故选：ACD
11．AD
【详解】对于A，由，利用基本不等式，可得，解得，又（当且仅当时，等号成立），而，所以，所以，故A正确；
对于B，由，利用基本不等式，化简得（当且仅当时，等号成立），解得，即，故B错误；
对于C，由，利用基本不等式化简得（当且仅当时，等号成立），解得，故C错误；
对于D，，又，即，由B选项知，所以，故D正确；
故选：AD
12．15．
【详解】由题意得
所以该集合的非空子集个数为．
13．
【详解】
由条件知，解得
14．46
【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合．
由题意知，
且，
则，
由
，
可得，
当且仅当时，即．
验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件．
故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有46人．
故答案为：46．
15．【详解】（1）解得
所以，
故．
（2）由得
当时，，符合题意；
当时，化简得
要使得，需要，解得
综上所述，实数的取值范围是．
16．【详解】（1）由条件知且1，3是方程的两个根，
所以由韦达定理可得，
解得或，经验证，都符合题意．
（2）因式分解得
当时，不等式为，解集为
当时，方程的根为．
作差比较
若，则开口向下且，不等式的解集为
若，则开口向下与轴有唯一交点且，不等式的解集为
若，则开口向下且，不等式的解集为
综上所述，时，解集为时，解集为；
时，解集为时，解集为．
17．【详解】（1）
当且仅当即取得等号．
要使得命题为真命题，只需要，解得
所以实数的取值范围是．
（2）令．当时．
要使得命题为真命题，只需要，故．
因为命题和命题中至少有一个为真命题情况较多，先考虑对立情况，即命题和命题
都是假命题，此时，可得．
所以命题和命题中至少有一个为真命题时，实数的取值范围是．
18．【详解】（1）（）对任意且，由条件知变形可得，即，所以在区间上单调递增；
举反例即可．如在任意区间上单调递增，但，故不符合性质．所以“在区间上具有性质”是“在区间上单调递增”的充分不必要条件
（2）具有性质，即可知在区间上单调递增．
对任意且，
易得
从而实数的取值范围是．
（3）由条件可知，具有性质，即在区间上单调递增；
由条件可知，具有性质，即在区间上单调递增；
易知的增区间为；
的增区间为
要使得条件成立，需要或
所以实数的取值范围是或．
19．【详解】（1）由条件，证是否成立，即证，即证，即证，即证，该式显然正确，所以点领先于点．
（2）要证点领先于点，即证
即证
即证，由条件点领先于点知该式显然成立，即证．
（3）由条件知
即
先考虑变量，需要恒成立，所以
再考虑变量，存在即可，所以，
解得
又因为，故，易知该集合中有1个元素． 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
B
B
A
B
C
C
D
BCD
ACD
AD