江苏省无锡市青山高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份江苏省无锡市青山高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．设复数z在复平面内对应的点为，则的模为（ ）
A．1B．2C．D．0
5．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．若和都为基底，则不可以为（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线的方向向量为，点在直线上，若点到直线的距离为，则（ ）
A．0B．2C．0或2D．1或2
8．在棱长为1的正四面体ABCD中，M是BC的中点，且，，则直线AM与CN夹角的余弦值的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．向量与向量的夹角为
B．
C．向量在向量上的投影向量为
D．向量与向量，共面
10．已知复数，，下列说法正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．若，则
11．如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（ ）

A．三棱锥的体积为定值B．直线平面
C．当时，D．直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题
12．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C分别对应复数3＋3i，－2＋i，－5i，则第四个顶点D的坐标为 ．
13．如图，四边形，都是边长为1的正方形，,则，两点间的距离是 ．
14．某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷．将一块边长为的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）．该四棱锥底面是正方形，从顶点P向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
四、解答题
15．已知复数，．
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．
16．已知坐标平面内两点.
（1）当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围；
（2）若直线的方向向量为，求的值.
17．已知正三棱锥P-ABC的所有棱长均为，点E，F分别为PA，BC的中点，点N在EF上，且EN=3NF，设．
（1）用向量表示向量；
（2）求PN与EB夹角的余弦值．
18．已知复数（a，），存在实数t，使成立.
（1）求证：为定值；
（2）若，求a的取值范围．
19．如图，平面，，点分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值；
（3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离。
参考答案：
1．A
【分析】根据复数的运算化简得，再根据虚部的定义即可求解．
【详解】，则所求虚部为.
故选：A．
2．A
【分析】根据直线的倾斜角的大小，即可判断斜率大小.
【详解】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；倾斜角为钝角时，斜率为负，
所以.
故选：A
3．C
【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.
故选：C.
4．A
【分析】根据复数对应点得出复数，再应用乘法除法计算即可得出复数，最后计算求模.
【详解】因为复数z在复平面内对应的点为,所以,
所以.
故选：A.
5．A
【分析】设复数，由共轭复数的性质和复数的意义求出复数，再由复数的乘除计算即可得到结果；
【详解】设复数，
所以，
又因为复数满足，
所以，
整理可得，解得，
所以，
所以，
故选：A.
6．C
【分析】假设不能构成一组基底，可知，依次验证各个选项，确定是否有取值即可.
【详解】若不是一组基底，则可设，
对于A，若，则，方程组无解，为基底，A错误；
对于B，若，则，方程组无解，为基底，B错误；
对于C，若，则，解得：，
不是一组基底，C正确；
对于D，若，则，方程组无解，为基底，D错误.
故选：C.
7．C
【分析】根据题意，由空间中点到直线的距离公式代入计算，即可求解.
【详解】由题意得，
所以点到直线的距离为，
解得或.
故选：C
8．C
【分析】选取为基底，将进行分解，可表示出：，，，进一步结合向量夹角公式即可求解.
【详解】如图所示，延长，使得，由题意点在线段上（不包含端点），
选取为基底，由题意，
而，
从而，
，
，
所以，
设，因为，所以，而，
因为
，
设，则，，
当且仅当，即，即时，的最小值为，
所以当且仅当时，.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：关键是表示出：，，，进一步得出，由此即可通过换元法得解.
9．ABD
【分析】利用向量数量积的坐标表示得出向量夹角可判断A；由向量相乘为0可得向量垂直B正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量为所以C错误，得出向量共面判断D.
【详解】因为，所以，
可得，则向量与向量的夹角为，故A正确；
因为，
所以，即B正确；
根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为
，所以C错误；
由向量，，，可知，
向量与向量，共面， 所以D正确.
故选：ABD
10．AC
【分析】设，，根据共轭复数及复数相等的充要条件判断A、C，利用特殊值判断B、D.
【详解】设，，则，，
对于A：因为，所以，即，所以，故A正确；
对于B：令，，则，
但是，所以，故B错误；
对于C：因为，，
所以，故C正确；
对于D：令，，满足，但是，故D错误.
故选：AC
11．AD
【分析】对于A，将三棱锥转换成后易得其体积为定值；对于B，建系后，证明与平面的法向量不垂直即可排除B项；对于C，设出，利用证得，再计算，结果不为0，排除C项；对于D，利用空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】

对于A，如图1，因,故A正确；

对于B，如图2建立空间直角坐标系，则,
于是，，
设平面的法向量为，则，故可取，
由知 与不垂直，
故直线与平面不平行，即B错误；
对于C，由上图建系，则, ,
因P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点,不妨设，则，，
由题意，，即，于是，
此时，故与不垂直，即C错误；
对于D，由图知平面的法向量可取为，因，
设直线与平面所成角为，
则，故D正确.
故选：AD.
12．
【详解】
对应复数为（－5i）－（－2＋i）＝2－6i，对应复数为zD－（3＋3i），在平行四边形ABCD中，，则zD－（3＋3i）＝2－6i，即zD＝5－3i，则点D的坐标为（5，－3）.
【考查意图】
考查复数的运算法则、几何意义、向量的平行四边形法则．
13．
【分析】由空间向量的线性运算可得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得，即为所求．
【详解】因为四边形、都是边长为的正方形，则，，
又，则，
因为，由图易知，，
所以
，
即，两点间的距离是．
故答案为：．
14．
【分析】设与的交点为点O，以O为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及的坐标，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.
【详解】设与的交点为点O，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
由题意可知，，
故．
设平面的法向量为，又，
则有即
令，可得平面的一个法向量为．
设与平面的法向量的夹角为，
则，
则直线与平面所成角的正弦值为．
故答案为：
15．（1）
（2）
【分析】（1）由实部为且虚部不为列式求解；
（2）由实部小于0与虚部大于得到不等式组，求出的取值范围．
【详解】（1）是纯虚数，
故，解得.
（2）
因为在复平面内对应的点在第二象限，
所以，解得，
故的取值范围为2,3．
16．（1）答案见解析．
（2）
【分析】（1）由斜率为正或为负求解；
（2）由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论．
【详解】（1）直线的倾斜角为锐角时，，解得，
直线的倾斜角为钝角时，，解得或，
所以直线的倾斜角为锐角时，，为钝角时，或；
（2）由已知，又直线的方向向量为，
所以，解得．
17．（1）
（2）
【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可结合空间向量基本定理求解，
（2）利用基底法表示向量，利用向量的夹角求解线线角即可.
【详解】（1）由EN=3NF可得, 由F为BC的中点可得
,
所以
（2），
两两夹角为，模长均为，所以，
所以
，
，
，
设求PN与EB夹角为，则
18．（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）对化简整理可得，结合复数的相等分析运算；（2）根据复数模长的定义和公式，结合运算求解.
【详解】（1）∵，则，
由复数相等，消去t得，
故为定值.
（2）
∵，且
∴，
又∵，即，则，整理得，
∴原不等式组即为，解得，
故a的取值范围为.
19．（1）证明见解析；
（2）
（3）
【分析】（1）连接，证得，利用用线面判定定理，即可得到平面.
（2）以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.求得平面和平面法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．
（3）设，则，从而，由（2）知平面的法向量为，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，即可求解．
【详解】（1）连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形.
由点和分别为和的中点，可得且，
因为为CD的中点，所以且，
可得且，即四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面.
（2）因为平面，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.
依题意可得，.
，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，.
，于是.
所以，二面角的正弦值为.
（3）设，即，则.
从而.
由（2）知平面的法向量为，
由题意，，即，
整理得，解得或，
因为所以，所以.
则N到平面的距离为.
【点睛】题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
C
A
A
C
C
C
ABD
AC
题号
11









答案
AD