湖南省桂阳县2024年数学九上开学统考试题【含答案】

这是一份湖南省桂阳县2024年数学九上开学统考试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）如图，广场中心的菱形花坛ABCD的周长是40米，∠A＝60°，则A，C两点之间的距离为（ ）
A．5米B．5米C．10米D．10米
3、（4分）某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
A．B．
C．D．
4、（4分）到三角形三条边的距离相等的点是三角形（ ）的交点.
A．三条中线B．三条角平分线C．三条高D．三条边的垂直平分线
5、（4分）如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11,则b的面积为( )
A．12B．15C．16D．18
6、（4分）某班主任老师为了对学生乱花钱的现象进行教育指导，对班里每位同学一周内大约花钱数额进行了统计，如下表：
根据这个统计表可知，该班学生一周花钱数额的众数、平均数是（ ）
A．15，14B．18，14C．25，12D．15，12
7、（4分）某校篮球队队员的年龄分布情况如下表，则该校篮球队队员的平均年龄为（ ）
A．13岁B．13.5岁C．13.7岁D．14岁
8、（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交
AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①≌；②；③∠GDE=45°；④
DG=DE在以上4个结论中，正确的共有( )个
A．1个B．2 个C．3 个D．4个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是______cm．
10、（4分）已知：函数，，若，则__________(填“”或“”或 “”)．
11、（4分）如图，在正方形ABCD的右边作等腰三角形ADE，AD＝AE，，连BE，则__________．
12、（4分）定义运算“★”：对于任意实数 ，都有 ，如：．若，则实数 的值是_____．
13、（4分）如图，数轴上点O对应的数是0，点A对应的数是3，AB⊥OA，垂足为A，且AB＝2，以原点O为圆心，以OB为半径画弧，弧与数轴的交点为点C，则点C表示的数为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）先化简，然后从，，，中选择一个合适的数作为的值代入求值
15、（8分）已知平面直角坐标系中有一点（，）．
（1）若点在第四象限，求的取值范围；
（2）若点到轴的距离为3，求点的坐标．
16、（8分）如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向点B以1㎝/秒的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2㎝/秒的速度移动．（）
（1）如果ts秒时，PQ//AC,请计算t的值.
（2）如果ts秒时，△PBQ的面积等于S㎝2，用含t的代数式表示S．
（3）PQ能否平分△ABC的周长？如果能，请计算出t值，不能，说明理由.
17、（10分）如图是一个三级台阶，它的第一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，点和点是这个台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是多少？
18、（10分）体育课上，甲、乙两个小组进行定点投篮对抗赛，每组10人，每人投10次．下表是甲组成绩统计表：
(1)请计算甲组平均每人投进个数；
(1)经统计，两组平均每人投进个数相同且乙组成的方差为3.1．若从成绩稳定性角度看，哪一组表现更好？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）若平行四边形中两个内角的度数比为1:2，则其中一个较小的内角的度数是________°．
20、（4分）如图，矩形中，, 将矩形绕点顺时针旋转,点分别落在点处,且点在同一条直线上,则的长为__________．
21、（4分）当x＝1时，分式无意义；当x＝2时，分式的值为0，则a＋b＝_____．
22、（4分）在直角梯形中，，如果，，，那么对角线__________．
23、（4分）已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简： +|a﹣1|=_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，将一个三角板放在边长为1的正方形上，并使它的直角顶点在对角线上滑动，直角的一边始终经过点，另一边与射线相交于点．
（1）当点在边上时，过点作分别交，于点，，证明：；
（2）当点在线段的延长线上时，设、两点间的距离为，的长为．
①直接写出与之间的函数关系，并写出函数自变量的取值范围；
②能否为等腰三角形？如果能，直接写出相应的值；如果不能，说明理由．
25、（10分）计算：
（1）
（2）（）﹣（）
26、（12分）如图，正方形中，为上的点，是的延长线的点，且，过作垂足为交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据分式分母不能等于0即可得出答案
【详解】
解：∵分式在实数范围内有意义
∴
解得：
故选B
本题考查分式在实数范围内有意义，比较简单，要熟练掌握
2、D
【解析】
设AC与BD交于点O.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=40÷4=10米
∵∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=10米，OD=OB=5米
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OA=5 米
∴AC=2OA=10米.
故选D.
3、C
【解析】
设每个A型包装箱可以装书x本，则每个B型包装箱可以装书（x+15）本，根据单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个，列方程得：，故选C.
4、B
【解析】
到三角形三条边距离相等的点是三角形的内心．
【详解】
解：到三角形三条边距离相等的点是三角形的内心，即三个内角平分线的交点．
故选：B．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
5、C
【解析】
根据已知及全等三角形的判定可得到△ABC≌△CDE，从而得到b的面积=a的面积+c的面积．
【详解】
如图：
∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°
∴∠ACB=∠DEC
∵∠ABC=∠CDE，AC=CE，
在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴BC=DE
∴根据勾股定理的几何意义，b的面积=a的面积+c的面积
∴b的面积=a的面积+c的面积=5+11=1．
故选：C
本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．
6、A
【解析】
根据众数和平均数的定义求解.
【详解】
∵众数是数据中出现次数最多的数，
∴该班学生一周花钱数额的众数为15；
∵平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，
∴该班学生一周花钱数额的平均数=（5×7+10×12+15×18+20×10+25×3）÷50=1．
故选A．
考点：1.众数；2.算术平均数．
7、C
【解析】
根据加权平均数的计算公式计算可得．
【详解】
解：该校篮球队队员的平均年龄为：(岁)
故答案为：C.
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义和计算公式．
8、C
【解析】
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定△ADG≌△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，根据全等三角形性质可求得∠GDE==45〫，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断④是错误的．
【详解】由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
∴△ADG≌△FDG，①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x，
由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，
即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，
解得：x=4
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；
∵△ADG≌△FDG，△DCE≌△DFE，
∴∠ADG=∠FDG,∠FDE=∠CDE
∴∠GDE==45〫.③正确；
BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，④错误；
∴正确说法是①②③
故选：C
【点睛】本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，有一定的难度．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
分析：根据菱形的面积公式求出另一对角线的长．然后因为菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出菱形的边长．
详解：由菱形的面积公式，可得另一对角线长12×2÷4=6，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得菱形的边长=cm．
故答案为．
点睛：此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直．
10、＜
【解析】
联立方程组，求出方程组的解，根据方程组的解以及函数的图象进行判断即可得解.
【详解】
根据题意联立方程组得，
解得，，
画函数图象得，
所以，当，则＜.
故答案为：＜.
本题考查了一次函数图象的性质与特征，求出两直线的交点坐标是解决此题的关键.
11、45°
【解析】
先证明AB＝AE，求得∠AEB，由AD＝AE，∠DAE＝50°，求得∠AED，进而由角的和差关系求得结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵AD＝AE，∠DAE＝50°，
∴AB＝AE，∠ADE＝∠AED＝65°，∠BAE＝140°，
∴∠ABE＝∠AEB＝20°，
∴∠BED＝65°−20°＝45°，
故答案为：45°．
本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是求得∠AEB和∠AED的度数．
12、3或﹣1．
【解析】
根据新定义运算法则得到关于x的方程，通过解方程来求x的值．
【详解】
解：依题意得：（x﹣1）2+3=7，
整理，得（x﹣1）2=4，
直接开平方，得x﹣1=±2，
解得x1=3，x2=﹣1．
故答案是：3或﹣1．
本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握新定义a★b=a2+b，此题难度不大．
13、
【解析】
首先利用勾股定理计算出OB的长，然后再由题意可得BO=CO，进而可得CO的长．
【详解】
∵数轴上点A对应的数为3，
∴AO＝3，
∵AB⊥OA于A，且AB＝2，
∴BO＝＝＝，
∵以原点O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点C，
∴OC的长为，
故答案为：．
此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，关键是利用勾股定理计算出BO的长．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、
【解析】
根据分式的运算进行化简，再根据分母不为零代入一个数求解.
【详解】
解：原式
当，原式；或当时，原式
此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式运算法则.
15、 (1) －＜m＜3；(1) 点P的坐标为（3，﹣1）或（﹣3，-5）
【解析】
（1）根据题意得出1m+1＞0，m－3＜0，解答即可；
（1）根据题意可知1m+1的绝对值等于3，从而可以得到m的值，进而得到P的坐标．
【详解】
（1）由题意可得：1m+1＞0，m－3＜0，解得：﹣＜m＜3；
（1）由题意可得：|1m+1|=3，解得：m=1或m=﹣1．
当m=1时，点P的坐标为（3，－1）；
当m=﹣1时，点P的坐标为（﹣3，－5）．
综上所述：点P的坐标为（3，﹣1）或（﹣3，-5）．
本题考查了点的坐标，解题的关键是明确题意，求出m的值．
16、（1）；（2）S=（）；（3）PQ不能平分△ABC的周长，理由见解析．
【解析】
（1）由题意得， PB=6-t，BQ=2t，根据PQ∥AC，得到，代入相应的代数式计算求出t的值；
（2）由题意得， PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积的计算公式，S△PBQ=BP×BQ，列出表达式即可；
（3）由题意根据勾股定理求得AC=10cm，利用PB+BQ是△ABC周长的一半建立方程解答即可．
【详解】
解：（1）由题意得，BP=6-t，BQ=2t，
∵PQ∥AC，
∴，即，
解得t=，
∴当t=时，PQ∥AC；
（2）由题意得， PB=6-t，BQ=2t，
∵∠B=90°，
∴ BP×BQ=×2t×（6-t）= ，
即ts秒时，S=（）；
（3）PQ不能平分△ABC的周长．
理由：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，
∴AC==10cm，
设ts后直线PQ将△ABC周长分成相等的两部分，则AP=tcm，BQ=2tcm，BP=（6-t）cm，由题意得
2t+6-t=×（6+8+10）
解得：t=6＞4，
所以不存在直线PQ将△ABC周长分成相等的两部分，
即PQ不能平分△ABC的周长．
本题考查勾股定理的应用、相似三角形的性质和三角形的面积，灵活运用相似三角形的性质，结合图形求解是解题的关键．
17、最短路程是25dm.
【解析】
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】
三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为，
则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长.
可设蚂蚁台阶面爬行到点最短路程为.
由勾股定理，得，
解得.
因此，蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是25dm.
此题考查平面展开-最短路径问题，解题关键在于利用勾股定理进行计算.
18、 (1)甲组平均每人投进个数为7个；(1)乙组表现更好．
【解析】
（1）加权平均数：若n个数x1，x1，x3，…，xn的权分别是w1，w1，w3，…，wn，则x1w1+x1w1+…+xnwnw1+w1+…+wn叫做这n个数的加权平均数，根据加权平均数的定义计算即可.
（1）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s1来表示，根据方差的计算公式结合平均数进行计算即可．
【详解】
解：(1)甲组平均每人投进个数：(个；
(1)甲组方差：，
乙组的方差为3.1，3.1＜3.4
所以从成绩稳定性角度看，乙组表现更好．
本题考查了方差的计算以及方差越小数据越稳定，正确运用方差公式进行计算是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、60°
【解析】
根据平行四边形的性质得出，推出，根据，求出即可.
【详解】
四边形是平行四边形，
，
，
，
.
故答案为：.
本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质的应用，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大.
20、
【解析】
根据平行的性质，列出比例式，即可得解.
【详解】
设的长为
根据题意，得
∴
又∵
∴
∴
解得（不符合题意，舍去）
∴的长为.
此题主要考查矩形的性质，关键是列出关系式，即可解题.
21、3
【解析】
先根据分式无意义的条件可求出的值,再根据分式值为0的条件可求出b的值,最后将求出的a,b代入计算即可.
【详解】
因为当时,分式无意义,
所以,
解得:,
因为当时,分式的值为零,
所以,
解得:,
所以
故答案为:3.
本题主要考查分式无意义和分式值为0的条件,解决本题的关键是要熟练掌握分式无意义和分式值为0的条件.
22、
【解析】
过点D作交BC于点E，首先证明四边形ABED是矩形，则，进而求出EC的长度，然后在含30°的直角三角形中求出DE的长度，最后利用勾股定理即可求出BD的长度．
【详解】
过点D作交BC于点E，
∵，
，
．
，
，
∴四边形ABED是矩形，
，
．
，
，
，
，
．
故答案为：．
本题主要考查矩形的判定及性质，含30°的直角三角形的性质和勾股定理，掌握矩形的判定及性质，含30°的直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
23、1﹣2a．
【解析】
利用数轴上a的位置，进而得出a和a-1的取值范围，进而化简即可．
【详解】
由数轴可得：﹣1＜a＜0，
则+|a﹣1|=﹣a+1﹣a=1﹣2a．
故答案为1﹣2a．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，绝对值得意义，正确化简二次根式是解题关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）①．②能为等腰三角形，．
【解析】
（1）根据正方形的性质证明，即可求解；
（2）①根据题意作图，由正方形的性质可知当时，点在线段的延长线上，同理可得，得到MP=NQ，利用等腰直角三角形的性质可知MP=x，NC=CD-DN=1-x，CQ=y，代入MP=NQ化简即可求解；
②由是等腰三角形，∠PCQ=135°，CP=CQ成立，代入解方程即可求解 ，
【详解】
（1）证明：∵在正方形中，为对角线，
∴，，∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
∵，∴．
又∵，∴，
∴，
在中，
∵
∴，∴．
（2）①如图，点在线段的延长线上，
同（1）可证，
∴MP=NQ，
在等腰直角三角形AMP中，AP==x
∴MP=x=AM,
∴NC=BM=AB-AM=1-x
故NQ=NC+CQ=1-x+y
∴x=1-x+y
化简得
当P点位于AC中点时，Q点恰好在C点，又AP＜AC=
∴
∴与之间的函数关系是（）
②当时，能为等腰三角形，
理由：当点在的延长线上，CQ=，CQ=AC-AP=，
由是等腰三角形，∠PCQ=∠PCB+∠BCQ=45°+90°=135°，
∴CP=CQ成立，
即时，解得．
此题主要考查正方形的性质综合，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定．
25、（1）-1；（2）2+3．
【解析】
（1）利用积的乘方得到原式，然后根据平方差公式计算；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后去括号合并即可．
【详解】
（1）
＝[（+2）（﹣2）]2019
＝（3﹣4）2019
＝﹣1；
（2）（）﹣（）
＝4+2﹣2
＝2+3．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
26、（1）见解析；（2）1
【解析】
（1）由正方形的性质可得∠ABC=90°，AD∥BC，由“AAS”可证△ABM≌△EFA，可得AF=BM；
（2）由勾股定理可求AM=13，由全等三角形的性质可得AM=AE=13，即可求DE的长．
【详解】
（1）证明：四边形是正方形
又
（2）解：在中，
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用正方形的性质是本题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
学生花钱数（元）
5
10
15
20
25
学生人数
7
12
18
10
3
投进个数
10个
8个
6个
4个
人数
1个
5人
1人
1人