湖南省衡阳市部分中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学经典模拟试题【含答案】

这是一份湖南省衡阳市部分中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学经典模拟试题【含答案】，共27页。试卷主要包含了选择题，四象限，则k能取的最大整数为，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）上周周末放学，小华的妈妈来学校门口接他回家，小华离开教室后不远便发现把文具盒遗忘在了教室里，于是以相同的速度折返回去拿，到了教室后碰到班主任，并与班主任交流了一下周末计划才离开，为了不让妈妈久等，小华快步跑到学校门口，则小华离学校门口的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）ABCD是一块正方形场地，小华和小萌在AB上取一点E，测量得，，这块场地的对角线长是( )
A．10B．30C．40D．50
3、（4分）如图，已知一次函数y=ax+b的图象为直线，则关于x的方程ax+b=1的解x的值为（ ）
A．1B．4C．2D．-0.5
4、（4分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范为是（ ）
A．x≥－2B．x＞－2C．x≥2D．x≤2
5、（4分）如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）函数与（）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）若反比例函数y的图象位于第二、四象限，则k能取的最大整数为（ ）
A．0B．-1C．-2D．-3
8、（4分）如图：菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC= ，BD=，动点P在线段BD上从点B向点D运动，PF⊥AB于点F，PG⊥BC于点G，四边形QEDH与四边形PFBG关于点O中心对称，设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1，未被盖住部分的面积为S2，，若S1=S2，则的值是（ ）
A．B．或C．D．不存在
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若的三边长分别是6、8、10，则最长边上的中线长为______.
10、（4分）若关于x的二次方程(m+1)x2+5x+m2-3m=4的常数项为0，则m的值为______．
11、（4分）如图，已知一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象相交于点P，则根据图中信息可得二元一次方程组的解是_____．
12、（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E. F分别是AO、AD的中点，若AC=8，则EF=___.
13、（4分）用科学记数法表示：__________________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BC＝10，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，设AD＝x，△AOB的面积为y．
（1）求∠DBC的度数；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如图1，设点P、Q分别是边BC、AB的中点，分别联结OP，OQ，PQ．如果△OPQ是等腰三角形，求AD的长．
15、（8分）如图，的直角边OB在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过斜边OA的中点D,与直角边AB相交于点C.
①若点，求点C的坐标：
②若，求k的值.
16、（8分）在学校组织的知识竞赛中，八（1）班比赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将八（1）班成绩整理并绘制成如下的统计图．
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）请根据统计图的信息求出成绩为C等级的人数；
（2）将表格补充完整．
17、（10分）如图，边长为3正方形的顶点与原点重合，点在轴，轴上。反比例函数的图象交于点，连接，.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点作轴的平行线，点在直线上运动，点在轴上运动.
①若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的面积；
②将“①”中的“以为直角顶点的”去掉，将问题改为“若是等腰直角三角形”，的面积除了“①”中求得的结果外，还可以是______.（直接写答案，不用写步骤）
18、（10分）如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处．
(1)求证B′E＝BF；
(2)设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给出证明．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如果P（2，m）,A (1, 1), B (4, 0)三点在同一直线上，则m的值为_________.
20、（4分）如图，将直角三角形纸片置于平面直角坐标系中，已知点，将直角三角形纸片绕其右下角的顶点依次按顺时针方向旋转，第一次旋转至图位置，第二次旋转至图位置，···，则直角三角形纸片旋转次后，其直角顶点与坐标轴原点的距离为__________．
21、（4分）数据﹣2，﹣1，0，3，5的方差是 ．
22、（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH＝_____．
23、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若BC＝BD，则∠A＝_____度．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，点E,F是□ABCD的对角线BD上两点，且BE=DF.求证：四边形AECF是平行四边形.
25、（10分）分解因式和利用分解因式计算
（1）(a2+1)2-4a2
（2）已知x+y=1．2，x+3y=1，求3x2+12xy+12y2的值。
26、（12分）本题有许多画法，你不妨试一试：如图所示的是8的正方形网格，A、B两点均在格点上，现请你在下图中分别画出一个以A、B、C、D为顶点的菱形（可包含正方形），要求：（1）C、D也在格点上；（2）只能使用无刻度的直尺；（3）所画的三个菱形互不全等。
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
分析：根据题意出教室，离门口近，返回教室离门口远，在教室内距离不变，速快跑距离变化快，可得答案．
详解：根据题意得，函数图象是距离先变短，再变长，在教室内没变化，最后迅速变短，B符合题意；
故选B．
点睛：本题考查了函数图象，根据距离的变化描述函数是解题关键．
2、C
【解析】
根据勾股定理求出BC长，由正方形的性质可得对角线长.
【详解】
解：由正方形ABCD可知：
在直角三角形EBC中，根据勾股定理得:
，则，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得:

所以这块场地对角线长为40.
故选：C
本题考查了勾股定理，灵活应用勾股定理求线段长是解题的关键.
3、B
【解析】
根据一次函数图象可得一次函数y=ax+b的图象经过(4，1)点，进而得到方程的解．
【详解】
根据图象可得，一次函数y=ax+b的图象经过(4，1)点，
因此关于x的方程ax+b=1的解x=4，
故选B．
本题考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案．
4、C
【解析】
试题分析：根据二次根式的意义，x-2≥0,解得x≥2.
故选C.
考点：二次根式的意义.
5、B
【解析】
由题意可知△DEF与△ABC的位似比为1︰2，∴其面积比是1︰4，故选B．
6、D
【解析】
先根据一次函数的性质判断出a取值，再根据反比例函数的性质判断出a的取值，二者一致的即为正确答案．
【详解】
A．函数y=ax﹣1的图象应该交于y轴的负半轴，故错误；
B．由函数y=ax﹣1的图象可知a＞0，由函数y（a≠0）的图象可知a＜0，错误；
C．函数y=ax﹣1的图象应该交于y轴的负半轴，故错误；
D．由函数y=ax﹣1的图象可知a＞0，由函数y（a≠0）的图象可知a＞0，正确．
故选D．
本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
7、B
【解析】
由图像位于第二、四象限得2k+10，求得k的取值范围即可得到答案.
【详解】
∵反比例函数y图象位于第二、四象限，
∴2k+10，
∴，
∴k的最大整数解为-1，
故选：B.
此题考查反比例函数的性质，由函数图像所在的象限确定比例系数的取值范围.
8、A
【解析】
根据对称性确定E、F、G、H都在菱形的边上，由于点P在BO上与点P在OD上求S1和S1的方法不同，因此需分情况讨论，由S1=S1和S1+S1=8可以求出S1=S1=2．然后在两种情况下分别建立关于x的方程，解方程，结合不同情况下x的范围确定x的值．
【详解】
①当点P在BO上，0＜x≤1时，如图1所示．
∵四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，
∴AC⊥BD，BO=BD=1，AO=AC=1，
且S菱形ABCD=BD•AC=8．
∴tan∠ABO==．
∴∠ABO=60°．
在Rt△BFP中，
∵∠BFP=90°，∠FBP=60°，BP=x，
∴sin∠FBP=．
∴FP=x．
∴BF=．
∵四边形PFBG关于BD对称，
四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称，
∴S△BFP=S△BGP=S△DEQ=S△DHQ．
∴S1=2S△BFP
=2××x•
=x1．
∴S1=8-x1．
②当点P在OD上，1＜x≤2时，如图1所示．
∵AB=2，BF=，
∴AF=AB-BF=2．
在Rt△AFM中，
∵∠AFM=90°，∠FAM=30°，AF=2-．
∴tan∠FAM=．
∴FM=（2-）．
∴S△AFM=AF•FM
=（2-）•（2-）
=（2-）1．
∵四边形PFBG关于BD对称，
四边形QEDH与四边形FPBG关于AC对称，
∴S△AFM=S△AEM=S△CHN=S△CGN．
∴S1=2S△AFM
=2×（2-）1
=（x-8）1．
∴S1=8-S1=8-（x-8）1．
综上所述：
当0＜x≤1时，S1=x1，S1=8-x1；
当1＜x≤2时，S1=8-（x-8）1，S1=（x-8）1．
当点P在BO上时，0＜x≤1．
∵S1=S1，S1+S1=8，
∴S1=2．
∴S1=x1=2．
解得：x1=1，x1=-1．
∵1＞1，-1＜0，
∴当点P在BO上时，S1=S1的情况不存在．
当点P在OD上时，1＜x≤2．
∵S1=S1，S1+S1=8，
∴S1=2．
∴S1=（x-8）1=2．
解得：x1=8+1，x1=8-1．
∵8+1＞2，1＜8-1＜2，
∴x=8-1．
综上所述：若S1=S1，则x的值为8-1．
故选A.
本题考查了以菱形为背景的轴对称及轴对称图形的相关知识，考查了菱形的性质、特殊角的三角函数值等知识，还考查了分类讨论的思想．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
根据勾股定理的逆定理得到这个三角形是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质计算即可．
【详解】
解：，，
，
这个三角形是直角三角形，斜边长为10，
最长边上的中线长为1，
故答案为：1．
本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的逆定理的应用，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
10、1
【解析】
根据方程常数项为0，求出m的值即可．
【详解】
解：方程整理得：（m+1）x2+5x+m2-3m-1=0，
由常数项为0，得到m2-3m-1=0，即（m-1）（m+1）=0，
解得：m=1或m=-1，
当m=-1时，方程为5x=0，不合题意，舍去，
则m的值为1．
故答案为：1.
本题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，将方程化为一般形式是解本题的关键．
11、
【解析】
直接利用已知图形结合一次函数与二元一次方程组的关系得出答案．
【详解】
如图所示：
根据图中信息可得二元一次方程组的解是：．
故答案为：．
此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，正确利用图形获取正确信息是解题关键．
12、2
【解析】
由矩形的性质可知：矩形的两条对角线相等，可得BD=AC=8，即可得OD=4，在△AOD中，EF为△AOD的中位线，由此可求的EF的长．
【详解】
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC=8，
又∵矩形对角线的交点等分对角线，
∴OD=4，
又∵在△AOD中，EF为△AOD的中位线，
∴EF=2.
故答案为2.
此题考查三角形中位线定理，解题关键在于利用矩形的性质得到BD=AC=8
13、
【解析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10 ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
故答案为.
此题考查科学记数法，解题关键在于掌握一般形式.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）∠DBC＝45；（2）y＝x（x＞0）；（3）满足条件的AD的值为1﹣1．
【解析】
（1）过点D作AC的平行线DE，与BC的延长线交于E点，只要证明△BDE是等腰直角三角形即可解决问题；
（2）由（1）可知：△BOC，△AOD都是等腰直角三角形，由题意OA=x，OB=5，根据y=•OA•OB计算即可；
（3）分三种情形讨论即可解决问题；
【详解】
（1）过点D作AC的平行线DE，与BC的延长线交于E点．
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AC∥DE，
∴四边形ACED为平行四边形，AC＝DE，AD＝CE，
∵AB＝CD，
∴梯形ABCD为等腰梯形，
∴AC＝BD，
∴BD＝DE，
又AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°
∵AC∥DE
∴∠BDE＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠DBC＝45°．
（2）由（1）可知：△BOC，△AOD都是等腰直角三角形，
∵AD＝x，BC＝1，
∴OA＝x，OB＝5，
∴y＝．
（3）如图2中，
①当PQ＝PO＝BC＝5时，
∵AQ＝QB，BP＝PC＝5，
∴PQ∥AC，PQ＝AC，
∴AC＝1，∵OC＝5，
∴OA＝1﹣5，
∴AD＝OA＝1﹣1．
②当OQ＝OP＝5时，AB＝2OQ＝1，此时AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∠ABC＝90°，同理可证：∠DCB＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，不符合题意，此种情形不存在．
③当OQ＝PQ时，AB＝2OQ，AC＝2PQ，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝90°＝∠BOC，显然不可能，
综上所述，满足条件的AD的值为1﹣1．
本题考查四边形综合题、梯形、等腰直角三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.
15、①（4，）；②k=12
【解析】
①根据点D是OA的中点即可求出D点坐标，再将D的坐标代入解析式求出解析式，从而得到C的坐标；
②连接OC, 设A(a,b),先用代数式表示出三角形OAB,OBC,OCD的面积，再根据条件列出方程求k的值即可。
【详解】
解：①∵D是OA的中点，点A的坐标为（4，6），
∴D（，），即（2，3）
∴k=2×3=6
∴解析式为
∵A的坐标为（4，6），AB⊥x轴
∴把x=4代入得y=
∴C的坐标为（4，）
②连接OC,
设A(a,b),则D(,)
可得k=，ab=4k
∴解析式为
∴B(a,0),C(a,)
∴
∴
解得：k=12
本题考查了一次函数的性质，要正确理解参数k的几何意义，能用代数式表达三角形OCD的面积是解题的关键。
16、（1）2；（2）表格见解析.
【解析】
【分析】（1）根据D等级的人数以及所占的比例求出八（1）班参赛人数，然后用C等级的比例乘以参赛人数即可求得C等级的人数；
（2）结合各等级的人数根据中位数和众数的定义进行求解后填表即可.
【详解】（1）5÷20%＝25（人），
25×8%＝2（人），
所以C等级的人数为2人；
（2）观察可知B等级的人数最多，所以众数为90，
一共有25个数据，排序后中位数是第13个数据，6<13，6+12>13所以中位数是90，
故答案为：
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数以及众数等知识，读懂统计图，从图形找到必要的信息是解题的关键.
17、（1）；（2）①或.②1或2.
【解析】
（1）设的坐标分别为，根据三角形的面积，构建方程即可解决问题．
（2）①分两种情形画出图形：当点P在线段BM上，当点P在线段BM的延长线上时，分别利用全等三角形的性质求解即可．
②当点Q是等腰三角形的直角顶点时，分两种情形分别求解即可．
【详解】
解：（1））∵四边形OACD是正方形，边长为3，
∴点B的纵坐标为3，点E的横坐标为3，
∵反比例函数的图象交AC，CD于点B，E，
设的坐标分别为.
∵S△OBE=4，
可得，.
解得，，（舍）.
所以，反比例函数的解析式为.
（2））①如图1中，设直线m交OD于M．
由（1）可知B（1，3），AB=1，BC=2，
当PC=PQ，∠CPQ=90°时，
∵∠CBP=∠PMQ=∠CPQ=90°，
∴∠CPB+∠BCP=90°，∠CPB+∠PQM=90°，
∴∠PCB=∠MPQ，∵PC=PQ，
∴△CBP≌△PMQ（AAS），
∴BC=PM=2，PB=MQ=1，
∴PC=PQ=
∴S△PCQ=
如图2中，当PQ=PC，∠CPQ=90°，
同法可得△CBP≌△PMQ（AAS），
∴PM=BC=2，OM=PB=1，
∴PC=PQ=，
∴S△PCQ=.
所以，的面积为或.
②当点Q是等腰三角形的直角顶点时，同法可得CQ=PQ=，此时S△PCQ=1．
或CQ′=PQ′=，可得S△P′CQ′=2，
不存在点C为等腰三角形的直角顶点，
综上所述，△CPQ的面积除了“①”中求得的结果外，还可以是1或2．
故答案为1或2．
本题属于反比例函数综合题，考查了正方形的性质，反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18、（1）证明见解析；
（1）a，b，c三者存在的关系是a+b>c,理由见解析.
【解析】
（1）首先根据题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，接着根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明B′E=BF；
（1）解答此类题目时要仔细读题，根据三角形三边关系求解分类讨论解答，要提高全等三角形的判定结合勾股定理解答．
证明：（1）由题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠B′EF=∠BFE，
∴∠B′FE=∠B'EF，
∴B′F=BE，
∴B′E=BF；
解：（1）答：a，b，c三者关系不唯一，有两种可能情况：
（ⅰ）a，b，c三者存在的关系是a1+b1=c1．
证明：连接BE，则BE=B′E，
由（1）知B′E=BF=c，
∴BE=c．
在△ABE中，∠A=90°，
∴AE1+AB1=BE1，
∵AE=a，AB=b，
∴a1+b1=c1；
（ⅱ）a，b，c三者存在的关系是a+b＞c．
证明：连接BE，则BE=B′E．
由（1）知B′E=BF=c，
∴BE=c，
在△ABE中，AE+AB＞BE，
∴a+b＞c．
“点睛”此题以证明和探究结论形式来考查矩形的翻折、等角对等边、三角形全等、勾股定理等知识．第一，较好考查学生表述数学推理和论证能力，第（1）问重点考查了学生逻辑推理的能力，主要利用等角对等边、翻折等知识来证明；第二，试题呈现显示了浓郁的探索过程，试题设计的起点低，图形也很直观，也可通过自已动手操作，寻找几何元素之间的对应关系，形成较为常规的方法解决问题，第（1）问既考查了学生对勾股定理掌握的程度又考查学生的数学猜想和探索能力，这对于培养学生创新意识和创新精神十分有益；第三，解题策略多样化在本题中得到了充分的体现．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
设直线的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵A(1,1)，B(4,0)，
，解之得 ，
∴直线AB的解析式为 ，
∵P(2,m)在直线上，
.
20、
【解析】
根据题意，由2019÷3=673可得，直角三角形纸片旋转2019次后图形应与图③相同，利用勾股定理与规律即可求得答案.
【详解】
解：由题意可知AO=3，BO=4，则AB= ，
∵2019÷3=673，
则直角三角形纸片旋转次后，其直角顶点与坐标轴原点的距离为：673×（3+4+5）=8076.
故答案为8076.
本题主要考查勾股定理，图形规律题，解此题的关键在于根据题意准确找到图形的变化规律，利用勾股定理求得边长进行解答即可.
21、．
【解析】
试题分析：先根据平均数的计算公式要计算出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可．
解：这组数据﹣2，﹣1，0，3，5的平均数是（﹣2﹣1+0+3+5）÷5=1，
则这组数据的方差是：
[（﹣2﹣1）2+（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（3﹣1）2+（5﹣1）2]=；
故答案为．
22、
【解析】
试题分析：根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA=4、OB=3，再利用勾股定理列式求出AB=5，然后根据△AOB的面积列式得，解得OH=．
故答案为.
点睛：此题主要考查了菱形的性质，解题时根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据△AOB的面积列式计算即可得解．
23、1
【解析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝BD，再由BC＝BD，可得CD＝BC＝BD，可得△BCD是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝BD，
∵BC＝BD，
∴CD＝BC＝BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠A＝1°．
故答案为：1．
考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，关键是证明△BCD是等边三角形．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、证明见解析．
【解析】
先根据平行四边形的性质得出，再根据平行性的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质得出，从而可得，由平行线的判定可得，最后根据平行四边形的判定即可得证．
【详解】
四边形ABCD是平行四边形
在和中，
，即
四边形AECF是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键．
25、（1）；（2）1.18
【解析】
（1）原式利用平方差公式及完全平方公式分解即可；
（2）原式提取公因式，将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】
解：（1）原式=（a2+ 1+ 2a）（a2+1-2a）
= (a+1)2(a+1)2
（2）∵ x + y = 1.2 ，x + 3y = 1
∴ 2 x + 4 y = 1.2
∴ x + 2 y = 1.6
∴原式= 3（x2+4xy+4y2）
=3 (x+2y)2
=3 ×1.6×1.6
=1.18
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
26、见解析
【解析】
直接利用菱形的定义得出符合题意的图形即可.
【详解】
解：由题知，再根据四边相等的四边形为菱形，作出其他边即可，如下图所示：

此题主要考查了应用设计与作图以及菱形的性质，正确掌握菱形的性质是解题关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分