湖南省衡阳县2025届九上数学开学学业水平测试试题【含答案】

这是一份湖南省衡阳县2025届九上数学开学学业水平测试试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m = 0，有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞且m≠0B．m≥C．m≥且m≠0D．以上答案都不对
2、（4分）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足=AD，连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B点作于点G，延长BG交AD于点H. 在下列结论中：①AH=DF；②∠AEF=45°；③. 其中不正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．0个
3、（4分）下列各等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4、（4分）把分式中、的值都扩大为原来的2倍，分式的值（ ）
A．缩小为原来的一半B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍D．不变
5、（4分）如图，矩形的顶点在轴正半轴上、顶点在轴正半轴上，反比例函数的图象分别与、交于点、，连接、、，若，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
6、（4分）如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到AB′C′D′，如果AB＝1，点C与C′的距离为( )
A．B．C．1D．﹣1
7、（4分）如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合，那么∠1的度数是( )
A．30°B．15°C．18°D．20°
8、（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点O为坐标原点，边CO在x轴正半轴上，∠AOC＝60°，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点A，交菱形对角线BO于点D，DE⊥x轴于点E，则CE长为( )
A．1B．C．2﹣D．﹣1
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）一组数据3，4，x，6，7的平均数为5，则这组数据的方差______．
10、（4分）函数与的图象恰有两个公共点，则实数的取值范围是_______.
11、（4分）如图，直角三角形DEF是直角三角形ABC沿BC平移得到的，如果AB＝6，BE＝2，DH＝1，则图中阴影部分的面积是____．
12、（4分）如果a2-ka+81是完全平方式，则k=________．
13、（4分）如图，为的中位线，点在上，且为直角，若，，则的长为__________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）化简并求值:，其中.
15、（8分）某文具店用1050元购进第一批某种钢笔，很快卖完，又用1440元购进第二批该种钢笔，但第二批每支钢笔的进价是第一批进价的1.2倍，数量比第一批多了10支．
（1）求第一批每支钢笔的进价是多少元？
（2）第二批钢笔按24元/支的价格销售，销售一定数量后，根据市场情况，商店决定对剩余的钢笔全按8折一次性打折销售，但要求第二批钢笔的利润率不低于20%，问至少销售多少支后开始打折？
16、（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：
（1）画出将△ABC向上平移3个单位后得到的△A1B1C1；
（2）画出将△A1B1C1绕点C1按顺时针方向旋转90°后所得到的△A2B2C1．
17、（10分）数学活动课上，老师提出问题：如图，有一张长4dm，宽1dm的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大．

下面是探究过程，请补充完整：
（1）设小正方形的边长为x dm，体积为y dm1，根据长方体的体积公式得到y和x的关系式： ；
（2）确定自变量x的取值范围是 ；
（1）列出y与x的几组对应值.
（4）在下面的平面直角坐标系中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象如下图；
结合画出的函数图象，解决问题：
当小正方形的边长约为 dm时，（保留1位小数），盒子的体积最大，最大值约为 dm1．（保留1位小数）
18、（10分）为了推动我区教育教学发展，加快教师的成长与提升，学年度某名师工作室开展了多次送教下乡活动.在某次研讨课活动中,为了分析某节复习课的教学效果，课前,张老师让八()班每位同学做道类似题目(与这节课内容相关)析某节复至少容对,解题情况如图所示:课后，再让学生做道类似的题目.结果如表所示.已知每位学生至少答对题.
（1）根据图表信息填空： ； .
（2）该班课前解题时答对题数的众数是 ；课后答对题数的中位数是 .
（3）通过计算课前，课后学生答对题数的平均数，评价这节复习课的教学效果.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）某班七个兴趣小组人数分别为4，x，5，5，4，6，7，已知这组数据的平均数是5，则x＝________．
20、（4分）已知一组数据5，a，2，，6，8的中位数是4，则a的值是_____________．
21、（4分）若对于的任何值，等式恒成立，则__________.
22、（4分）反比例函数的图象过点P（2，6），那么k的值是 ．
23、（4分）如图，等腰直角三角形ABC的底边长为6，AB⊥BC；等腰直角三角形CDE的腰长为2，CD⊥ED；连接AE，F为AE中点，连接FB，G为FB上一动点，则GA的最小值为____.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l1，l2表示两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系，请结合图象解答下列问题：
（1）表示乙离A地的距离与时间关系的图象是 （填l1或l2）；甲的速度是 km/h，乙的速度是 km/h；
（2）求出l1，l2的解析式，并标注自变量的取值范围。
25、（10分）如图，点N(0，6)，点M在x轴负半轴上，ON＝3OM.A为线段MN上一点，AB⊥x轴，垂足为点B，AC⊥y轴，垂足为点C．
(1)写出点M的坐标；
(2)求直线MN的表达式；
(3)若点A的横坐标为－1，求矩形ABOC的面积．
26、（12分） (1)分解因式:
(2)解方程:
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
【分析】分两种情况：m=0时是一元一次方程，一定有实根；m≠0时，方程有两个实数根，则根的判别式△≥0，建立关于m的不等式，求得m的取值范围．
【详解】当m≠0时，方程为一元二次方程，
∵a=m，b=2m+1，c=m且方程有实数根，
∴△=b2-4ac=（2m+1）2-4m2≥0，
∴m≥且m≠0；
当m=0时，方程为一元一次方程x=0，一定有实数根，
所以m的取值范围是m≥，
故选B.
【点睛】本题考查了方程有实数根的情况，考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac的关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．进行分类讨论是解题的关键．
2、A
【解析】
先判断出∠DAE=∠ABH，再判断△ADE≌△CDE得出∠DAE=∠DCE=22.5°，∠ABH=∠DCF，再判断出Rt△ABH≌Rt△DCF从而得到①正确，根据三角形的外角求出∠AEF=45°，得出②正确；连接HE，判断出S△EFH≠S△EFD得出③错误．
【详解】
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE=∠ADE=∠CDE=45°，AB=BC，
∵BE=BC，
∴AB=BE，
∵BG⊥AE，
∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH=∠DBH=22.5°，
在Rt△ABH中，∠AHB=90°-∠ABH=67.5°，
∵∠AGH=90°，
∴∠DAE=∠ABH=22.5°，
在△ADE和△CDE中
，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠DCE=22.5°，
∴∠ABH=∠DCF，
在Rt△ABH和Rt△DCF中
，
∴Rt△ABH≌Rt△DCF，
∴AH=DF，∠CFD=∠AHB=67.5°，
∵∠CFD=∠EAF+∠AEF，
∴67.5°=22.5°+∠AEF，
∴∠AEF=45°，故①②正确；
如图，连接HE，
∵BH是AE垂直平分线，
∴AG=EG，
∴S△AGH=S△HEG，
∵AH=HE，
∴∠AHG=∠EHG=67.5°，
∴∠DHE=45°，
∵∠ADE=45°，
∴∠DEH=90°，∠DHE=∠HDE=45°，
∴EH=ED，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∵EF不垂直DH，
∴FH≠FD，
∴S△EFH≠S△EFD，
∴S四边形EFHG=S△HEG+S△EFH=S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故③错误，
∴正确的是①②，
故选A．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和和三角形外角的性质，解本题的关键是判断出△ADE≌△CDE，难点是作出辅助线．
3、B
【解析】
解：选项A. ，错误；
选项B. ，正确；
选项C. ，错误；
选项D. ，错误．
故选B．
本题考查；；；；；；灵活应用上述公式的逆用是解题关键．
4、D
【解析】
根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式,分式的值不变,可得答案.
【详解】
把分式中的x和y的值都扩大到原来的2倍,得
故选D.
本题考查了分式的基本性质,分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式,分式的值不变.
5、D
【解析】
根据点的坐标特征得到，根据矩形面积公式、三角形的面积公式列式求出的关系，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，解方程得到答案．
【详解】
解：∵点， ∴，
则，
由题意得，，
整理得，，
∵点在反比例函数上， ∴，
解得，， 则，
故选：D．
本题考查的是反比例函数比例系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、三角形的面积公式，掌握反比例函数比例系数k的几何意义是解题的关键．
6、D
【解析】
连接CC′，AE，延长AE交CC′于F，由正方形性质可证明△ADE≌△AEB′，所以DE=B′E，根据∠BAB′=30°可知∠DAE=∠EAB′=30°，即可求出DE的长度，进而求出CE的长度，根据∠FEC=60°可知CF的长度，即可求出CC′的长度.
【详解】
连接CC′，AE，延长AE交CC′于F，
∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到AB′C′D′，
∴AD=AB′，∠ADE=∠AB′E=90°，AE=AE，
∴△ADE≌△A EB′，
∴∠DAE=∠EAB′，
∵旋转角为30°，
∴∠BAB′=30°，
∴∠DAB′=60°，
∴∠DAE=∠EAB′=30°，
∴AE=2DE，
∴AD2+DE2=（2DE）2，
∴DE=，
∴CE=1-，
∵DE=EB′
∴EC=EC′，
∵∠DEA=∠AEB′=60°，
∴∠FEC′=∠FEC=60°，
∴∠FCE=30°，
∴△FEC≌△FEC′，
∴CF=FC′，
∴EF⊥CC′，
∴EF=CE= ，
∴CF= = ，
∴CC′=2CF= ，
故选D.
本题考查旋转的性质，找出旋转后的边、角的对应等量关系是解题关键.
7、C
【解析】
∠1的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得角的度数，进而求解．
【详解】
∵正五边形的内角的度数是×（5-2）×180°=108°，正方形的内角是90°，
∴∠1=108°-90°=18°．故选C
本题考查了多边形的内角和定理、正五边形和正方形的性质，求得正五边形的内角的度数是关键．
8、C
【解析】
由菱形ABCO，∠AOC=60°，由解直角三角形可以设A（m,m）,又点A在反比例函数的图像上，带入可以求出A的坐标，进而可以求出OA的长度，即OC可求．再根据菱形ABCO，∠AOC=60°，可知∠BOC=30°，可设E（n，0）,则D（n，n）,带入反比例函数的解析式可以求出E点坐标，于是CE=OC-OE，可求.
【详解】
解：∵四边形ABCO为菱形，∠AOC=60°，
∴可设A（m,m）,
又∵A点在反比例函数y=上，
∴m2=2，得m=(由题意舍m=-),
∴A（,）,OA=2，
∴OC=OA=2，
又∵四边形ABCO为菱形，∠AOC=60°，OB为四边形ABCO的对角线，
∴∠BOC=30°，可设D（n，n）,则E（n，0），
∵D在反比例函数y=上，
∴n2=2，解得n=(由题意舍n= -),
∴E（，0），
∴OE=,
则有CE=OC-OE=2-.
故答案选C.
掌握菱形的性质，理解“30°角所对应的直角边等于斜边的一半”，再依据勾股定理分别设出点A和点D的坐标，代入反比例函数的解析式.灵活运用菱形和反比例函数的性质和解直角三角形是解题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
先由平均数的公式求出x的值，再根据方差的公式计算即可．
【详解】
解：数据3，4，x，6，7的平均数为5，
，
解得：，
这组数据为3，4，5，6，7，
这组数据的方差为：．
故答案为：1．
本题考查方差的定义：一般地设n个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
10、或
【解析】
画图象用数形结合解题，y=m|x|的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称；m>0时，y=x+m斜率为1，与y=m|x|交于第一、二象限，m0时，过第一、二象限，y=x+a斜率为1，m>0时，过第一、二、三象限，若使其图象恰有两个公共点，必有m>1；
②m