湖南省衡阳县2025届数学九年级第一学期开学学业水平测试模拟试题【含答案】

这是一份湖南省衡阳县2025届数学九年级第一学期开学学业水平测试模拟试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在平面直角坐标系中,点关于轴的对称点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2、（4分）若A(2，y1)，B(3，y2)是一次函数y=-3x+1的图象上的两个点，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1=y2C．y1＞y2D．不能确定
3、（4分）如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需要满足的条件是
A．B．C．D．
4、（4分）要使代数式有意义，实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）如图，为的平分线，于，，，则点到射线的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6、（4分）平行四边形边长为和，其中一内角平分线把边长分为两部分，这两部分是（ ）
A．和B．和C．和D．和
7、（4分）如图，是的角平分线，，垂足分别为点 ，若和的面积分别为和，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学测验中，他们成绩的平均数都是85分，方差分别是：S甲2＝3.8，S乙2＝2.7，S丙2＝6.2，S丁2＝5.1，则四个人中成绩最稳定的是（ ）
A．j甲B．乙C．丙D．丁
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）甲、乙两名同学参加“古诗词大赛”活动，五次比赛成绩的平均分都是85分，若两人比赛成绩的方差分别为S2甲=1.25和S2乙=3，则成绩比较稳定的是__________（填甲或乙）．
10、（4分）已知直角三角形的两条边为5和12，则第三条边长为__________．
11、（4分）观察下列按顺序排列的等式：，试猜想第n个等式（n为正整数）：an=_____．
12、（4分）如图，在△ABC中，AB=9cm，AC=12cm，BC=15cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E，线段DE的最小值是____________cm．
13、（4分）如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC＝65°，则∠BCD＝_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中的a= ，b= ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）学校将每周课外阅读时间在8小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校2000名学生中评为“阅读之星”的有多少人？
15、（8分）党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡导爱国、敬业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观，这24个字是社会主义核心价值观的基本内容．其中：
“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标；
“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向；
“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则．
小光同学将其中的“文明”、“和谐”、“自由”、“平等”的文字分别贴在4张硬纸板上，制成如图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片．
(1)小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率是 ；
(2)请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率(卡片名称可用字母表示)．
16、（8分）已知：一次函数y=kx＋b的图象经过M（0，2），（1，3）两点.
⑴求k，b的值；
⑵若一次函数y=kx＋b的图象与x轴交点为A（a，0），求a的值.
17、（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A（-2，6），且与x轴交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标是1．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）请直接写出不等式（k-3）x+b＞0的解集；
（3）设一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点M，点N在坐标轴上，当△CMN是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
18、（10分）如图，菱形中，为对角线的延长线上一点.
（1）求证：；
（2）若，，，求的长.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）下面是小明设计的“过三角形的一个顶点作该顶点对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，△ABC．
求作：直线AD，使AD∥BC．
作法：如图2：
①分别以点A、C为圆心，以大于AC为半径作弧，两弧交于点E、F；
②作直线EF，交AC于点O；
③作射线BO，在射线BO上截取OD（B与D不重合），使得OD = OB；
④作直线AD．
∴ 直线AD就是所求作的平行线．
根据小明设计的尺规作图过程，完成下面的证明．
证明：连接CD．
∵ＯA =OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（_______________________）（填推理依据）．
∴AD∥BC（__________________________________）（填推理依据）．
20、（4分）已知正方形的边长为1，如果将向量的运算结果记为向量，那么向量的长度为______
21、（4分）计算：＝_____．
22、（4分）如图，延长正方形的边到，使，则________度．
23、（4分）一组数据，，，，，的方差是_________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来，且写出它的整数解.
25、（10分）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，过程如下，请补充完整.
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
其中，__________.
（2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分.
（3）观察图象，写出该函数的两条性质：
①____________________________________________________________
②____________________________________________________________
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程的解是__________.
②方程的解是__________.
③关于的方程有两个不相等实数根，则的取值范围是__________.
26、（12分）某校为了迎接体育中考，了解学生的体质情况，学校随机调查了本校九年级名学生“秒跳绳”的次数，并将调查所得的数据整理如下：
秒跳绳次数的频数、频率分布表
秒跳绳次数的频数分布直方图
、
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中， ， ；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若该校九年级共有名学生，请你估计“秒跳绳”的次数以上（含次）的学生有多少人？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
首先根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得对称点的坐标，再根据坐标符号判断所在象限即可．
【详解】
点P(2,3)关于x轴的对称点为(2,−3)，
(2,−3)在第四象限.
故选：D.
此题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，解题关键在于掌握对称的性质.
2、C
【解析】
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据1＜3即可得出结论．
【详解】
解：∵一次函数y=-3x+1中，k=-3＜0，
∴y随着x的增大而减小．
∵A（1，y1），B（3，y1）是一次函数y=-3x+1的图象上的两个点，1＜3，
∴y1＞y1．
故选：C．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．也考查了一次函数的性质．
3、B
【解析】
根据“有一内角为直角的平行四边形是矩形”来推断由三角形中位线定理和平行四边形的判定定理易推知四边形EFGH是平行四边形，若或者就可以判定四边形EFGH是矩形．
【详解】
当时，四边形EFGH是矩形，
，，，
，
即，
四边形EFGH是矩形；
故选：B．
此题考查了中点四边形的性质、矩形的判定以及三角形中位线的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
4、B
【解析】
根据二次根式的双重非负性即可求得.
【详解】
代数式有意义，二次根号下被开方数≥0，故
∴
故选B.
本题考查了二次根式有意义的条件，难度低，属于基础题，熟练掌握二次根式的双重非负性是解题关键.
5、B
【解析】
过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，可得CF=CM，进而可得答案．
【详解】
解：如图，过C作CF⊥AO于F

∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，
∴CM=CF，
∵OC=5，OM=4，
∴CM=3，
∴CF=3，
故选：B．
此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
6、C
【解析】
作出草图，根据角平分线的定义求出∠BAE=45°，然后判断出△ABE是等腰直角三角形，然后求出BE=AB，再求出CE即可得解．
【详解】
解：如图，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
又∵∠B=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AB=10cm，
∴CE=BC-AB=15-10=5cm，
即这两部分的长为5cm和10cm．
故选：C．
本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，熟记性质判断出△ABE是等腰直角三角形是解题的关键．
7、C
【解析】
作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．
【详解】
作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，
∵DE=DG，
∴DM=DG，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB
∴DF=DN，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN(HL)，
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG=S△ADG−S△ADM=50−39=11，
S△DNM=S△EDF= S△MDG=×11=5.5.
故选C.
此题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题关键在于作辅助线
8、B
【解析】
根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
【详解】
解：∵S甲2＝3.8，S乙2＝2.7，S丙2＝6.2，S丁2＝5.1，
∴S乙2＜S甲2＜S丁2＜S丙2，
∴四个人中成绩最稳定的是乙，
故选：B．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、甲
【解析】
根据方差的意义即可求得答案．
【详解】
∵S甲2=1.25，S乙2=3，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲的成绩比较稳定，
故答案为：甲．
此题考查方差的意义，掌握方差的意义是解题的关键，即方差越大其数据波动越大，即成绩越不稳定．
10、1或
【解析】
因为不确定哪一条边是斜边，故需要讨论：①当12为斜边时，②当12是直角边时，根据勾股定理，已知直角三角形的两条边就可以求出第三边．
【详解】
解：①当12为斜边时，则第三边==；
②当12是直角边时，第三边==1．
故答案为：1或.
本题考查了勾股定理的知识，难度一般，但本题容易漏解，在不确定斜边的时候，一定不要忘记讨论哪条边是斜边．
11、．
【解析】
根据题意可知，
∴．
12、7.2
【解析】
试题分析：根据勾股定理的逆定理求出∠A=90°，根据矩形的判定得出四边形ADME是矩形，根据矩形的性质得出DE=AM，求出AM的最小值即可．
解：∵在△ABC中，AB=6cm，AC=1cm，BC=10cm，
∴BC2=AB2+AC2，
∴∠A=90°，
∵MD⊥AB，ME⊥AC，
∴∠A=∠ADM=∠AEM=90°，
∴四边形ADME是矩形，
∴DE=AM，
当AM⊥BC时，AM的长最短，
根据三角形的面积公式得：AB×AC=BC×AM，
∴6×1=10AM，
AM=4.1（cm），
即DE的最小值是4.1cm．
故答案为4.1．
考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理．
13、25°．
【解析】
在Rt△ABC中，∠BAC＝65°，所以∠ABC＝90°－65°＝25°．又AB∥CD，所以∠BCD＝∠ABC＝25°．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）25；0.10；（2）补图见解析；（3）200人．
【解析】
（1）由阅读时间为0＜t≤2的频数除以频率求出总人数，确定出a与b的值即可；
（2）补全条形统计图即可；
（3）由阅读时间在8小时以上的百分比乘以2000即可得到结果．
【详解】
解：（1）根据题意得：2÷0.04=50（人），则a=50﹣（2+3+15+5）=25；b=5÷50=0.10；
故答案为25；0.10；
（2）阅读时间为6＜t≤8的学生有25人，补全条形统计图，如图所示：
（3）根据题意得：2000×0.10=200（人），则该校2000名学生中评为“阅读之星”的有200人．
此题考查了频率（数）分布表，条形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
15、（1）（2）
【解析】
（1）根据概率公式计算即可；（2）先画树状图得出所有可能的结果，然后根据概率公式计算即可．
【详解】
（1）小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率是；
（2）画树状图：
共有12种情况，其中符合题意的有8种，
∴
简单事件的概率．
16、⑴k，b的值分别是1和2;⑵a=－2
【解析】
（1）由题意得,解得;⑵由⑴得当y=0时，x=－2，
【详解】
解：⑴由题意得
解得
∴k，b的值分别是1和2
⑵由⑴得
∴当y=0时，x=－2，
即a=－2
用待定系数法求一次函数解析式.
17、（1）y=-x+4；（2）x＜1；（3）当△CMN是直角三角形时，点N的坐标为（-4，0），（0，2），（-2，0），（0，3）．
【解析】
(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出此一次函数的解析式；
(2)由(1)的结论可得出y=-4x+4，令y=0可求出该直线与x轴的交点坐标，再利用一次函数的性质即可求出不等式(k-3)x+b＞0的解集；
(3)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M的坐标，分∠CMN=90°，∠MCN=90°及∠CNM=90°三种情况，利用等腰直角三角形的性质可求出点N的坐标．
【详解】
(1)当x=1时，y=3x=3，
∴点C的坐标为(1，3)．
将A(-2，6)，C(1，3)代入，得：，
解得：，
∴此一次函数的解析式为；
(2)令，即，
解得：．
∵-4＜0，
∴y的值随x值的增大而减小，
∴不等式＞0的解集为x＜1；
(3)∵直线AB的解析式为，
∴点M的坐标为(0，4)，
∴OB=OM，
∴∠OMB=45°．
分三种情况考虑，如图所示．
①当∠CMN=90°时，
∵∠OMB=45°，
∴∠OMN=45°，∠MON=90°，
∴∠MNO=45°，
∴OM=ON，
∴点N1的坐标为(-4，0)；
②当∠MCN=90°时，
∵∠CMN=45°，∠MCN=90°，
∴∠MNC=45°，
∴CN=CM==，
∴MN=CM=2，
∴点N2的坐标为(0，2)．
同理：点N3的坐标为(-2，0)；
③当∠CNM=90°时，CN∥x轴，
∴点N4的坐标为(0，3)．
综上所述：当△CMN是直角三角形时，点N的坐标为(-4，0)，(0，2)，(-2，0)，(0，3)．
本题是一次函数与几何的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质以及等腰直角三角形，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；(2)利用一次函数的性质，求出不等式的解集；(3)分∠CMN=90°，∠MCN=90°及∠CNM=90°三种情况，利用等腰直角三角形的性质求出点N的坐标．
18、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）根据菱形的性质，证明即可解答
（2）作于，利用勾股定理得出，作于，设，，根据勾股定理得出，，把数值代入即可
【详解】
（1）证明：∵四边形是菱形，为对角线
∴
在和中，
∵，∠ABE=∠CBE，
∴
∴
（2）作于，∴，
∵，∴，∴，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，
作于，设，
∴ ∴
∵

∴
∴ ∴
∴
此题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和，解题关键在于作辅助线
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行四边形对边平行
【解析】
根据平行四边形的判定及性质依次判断即可.
【详解】
证明：连接CD，
∵OA=OC， OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，
∴AD∥BC (平行四边形的对边平行)，
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行.
此题考查平行四边形的判定与性质，熟记定理是解题的关键.
20、1
【解析】
利用向量的三角形法则直接求得答案．
【详解】
如图：
∵-==且||=1，
∴||=1．
故答案为：1．
此题考查了平面向量，属于基础题，熟记三角形法则即可解答．
21、
【解析】
分析：应用完全平方公式，求出算式的值是多少即可．
详解：=8﹣4+1=9﹣4．
故答案为9﹣4．
点睛：本题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．
22、22.5
【解析】
连接BD，根据等边对等角及正方形的性质即可求得∠E的度数．
【详解】
连接BD，如图所示：
则BD=AC
∵BE=AC
∴BE=BD
∴∠E=（180°-90°-45）°=22.5°.
故答案是：.
考查到正方形对角线相等的性质．
23、
【解析】
先求得数据的平均数，然后代入方差公式计算即可．
【详解】
解：数据的平均数=（2-3+3+6+4）=2，
方差．
故答案为．
本题考查方差的定义，牢记方差公式是解答本题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、不等式组的解集为；整数解为.
【解析】
分别求出每一个不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来，继而可得不等式组的解集．
【详解】
解：解不等式得：，
解不等式得：，
解集在数轴上表示为：
不等式组的解集为；
∴整数解为.
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
25、（1）1；（2）见解析；（1）①函数值y≥2函数值y≥2；②当x＞1时，y随x的增大而增大；（4）①；②或；③.
【解析】
（1）求出x=-2时的函数值即可；
（2）利用描点法画出函数图象即可；
（1）结合图象写出两个性质即可；
（4）分别求出方程的解即可解决问题；
【详解】
解：（1）x=-2时，y=|x-1|=1，故m=1，故答案为1．
（2）函数图象如图所示：
（1）①函数值y≥2，②当x＞1时，y随x的增大而增大；
故答案为函数值y≥2；当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①方程|x-1|=2的解是x=1
②方程|x-1|=1.5的解是x=2.5或-2.5
③关于x的方程|x-1|=a有两个实数根，则a的取值范围是a＞2，
故答案为x=1，x=2.5或-2.5，a＞2．
本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次方程的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26、（1）；；（2）详见解析；（3）336
【解析】
（1）根据0≤x＜20的频数除以频率求出总人数，进而求出a，m的值即可；
（2）求出40≤x＜60的频数，补全条形统计图即可；
（3）求出“30秒跳绳”的次数60次以上（含60次）的频率，乘以600即可得到结果．
【详解】
（1）根据题意得：a=10÷（5÷0.1）=0.2，b=0.14×（5÷0.1）=7，m=50-（5+10+7+12）=16；
故答案为：0.2；16；
（2）如图所示，柱高为；
（3）（人）
则“30秒跳绳”的次数60次以上（含60次）的学生约有336人．
此题考查了频数（率）分布直方图，以及利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
课外阅读时间（单位：小时）
频数（人数）
频率
0＜t≤2
2
0.04
2＜t≤4
3
0.06
4＜t≤6
15
0.30
6＜t≤8
a
0.50
t＞8
5
b
…
0
1
2
3
4
5
…
…
4
2
1
0
1
2
3
4
…