湖南省武冈市第一中学2024年数学九年级第一学期开学联考模拟试题【含答案】

这是一份湖南省武冈市第一中学2024年数学九年级第一学期开学联考模拟试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）无理数在两个整数之间，下列结论正确的是（ ）
A．2~3之间B．3~4之间C．4~5之间D．5~6之间
2、（4分）多项式的一个因式为（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，将△ABC沿AC所在直线翻折至△AB′C，若点B的落点记为B′，连接B′D、B′C，其中B′C与AD相交于点G．
①△AGC是等腰三角形；②△B′ED是等腰三角形；
③△B′GD是等腰三角形；④AC∥B′D；
⑤若∠AEB＝45°，BD＝2，则DB′的长为；
其中正确的有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
4、（4分）已知a＜b，则下列不等式正确的是（ ）
A．a﹣3＜b﹣3B．＞C．﹣a＜﹣bD．6a＞6b
5、（4分）某班组织了一次读书活动，统计了10名同学在一周内的读书时间，他们一周内的读书时间累计如表，则这10名同学一周内累计读书时间的中位数是（ ）
A．8B．7C．9D．10
6、（4分）某地开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖米，那么所列方程正确的是( )
A．B．
C．D．
7、（4分）如图，在中，，，，点在上，若四边形DEBC为菱形，则的长度为（ ）
A．7B．9C．3D．4
8、（4分）分式方程的解为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）不等式4﹣3x＞2x﹣6的非负整数解是_____．
10、（4分）顺次连接矩形ABCD各边中点，所得四边形形状必定是__________．
11、（4分）在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果AC =，那么正方形ABCD的面积是__________．
12、（4分）将直线y=2x向下平移2个单位，所得直线的函数表达式是_____．
13、（4分）如图，把△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（a，b），那么点P变换后的对应点P′的坐标为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某商场销售A,B两种品牌的教学设备,这两种教学设备的进价和售价如表所示
该商场计划购进两种教学设备若干套,共需66万元,全部销售后可获毛利润9万元.
(1)该商场计划购进A,B两种品牌的教学设备各多少套?
(2)通过市场调研,该商场决定在原计划的基础上,减少A种设备的购进数量,增加B种设备的购进数量,已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍.若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元,问A种设备购进数量至多减少多少套?
15、（8分）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E是 BC边上任意一点， AEF 90°，且EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F．求证：AE=EF．
16、（8分）计算
(1)()-()
(2)(2+3)(2-3)
17、（10分）已知函数的图象经过第四象限的点B（3，a），且与x轴相交于原点和点A（7，0）
（1）求k、b的值；
（2）当x为何值时，y＞﹣2；
（3）点C是坐标轴上的点，如果△ABC恰好是以AB为腰的等腰三角形，直接写出满足条件的点C的坐标
18、（10分）如图，平行四边形ABCD，以点B为圆心，BA长为半径作圆弧，交对角线BD于点E，连结AE并延长交CD于点F，求证：DF＝DE．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为__________．
20、（4分）因式分解：m2n+2mn2+n3＝_____．
21、（4分）化简的结果为______．
22、（4分）如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标是（5，0），双曲线经过点C，且OB•AC=40，则k的值为_________ ．
23、（4分）一个班有48名学生,在期末体育考核中，优秀的人数有16人，在扇形统计图中，代表体育考核成绩优秀的扇形的圆心角是__________度．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）在某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h（即），并在离该公路100 m处设置了一个监测点A．在如图的平面直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．另外一条公路在y轴上，AO为其中的一段．
(1)求点B和点C的坐标；
(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15 s，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速．(参考数据：≈1.7)
25、（10分）如图1，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交x轴于点A(8，0)，交y轴正半轴于点B．
(1)求点B的坐标；
(2)如图2，直线AC交y轴负半轴于点C，AB=BC，P为线段AB上一点，过点P作y轴的平行线交直线AC于点Q，设点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，M为CA延长线上一点，且AM=CQ，在直线AC上方的直线AB上是否存在点N，使△QMN是以QM为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标及PN的长度；若不存在，请说明理由.
26、（12分）如图，已知，点在上，点在上.
（1）请用尺规作图作出的垂直平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连结，求证四边形是菱形.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
先看13位于哪两个相邻的整数的平方之间，再将不等式的两边同时开方即可得出答案.
【详解】
∵
∴，
故选B.
本题考查估算无理数的大小，平方根，本题的解题关键是掌握“夹逼法”估算无理数大小的方法.
2、C
【解析】
直接提取公因式进而合并同类项得出即可.
【详解】

则一个因式为:.
故选C.
此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确合并同类项是解题关键.
3、D
【解析】
利用平行四边形的性质、翻折不变性一一判断即可解决问题；
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BE＝DE，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠GAC＝∠ACB，
由翻折可知：BE＝EB′＝DE，∠ACB＝∠ACG，CB＝CB′，
∴∠GAC＝∠ACG，
∴△AGC，△B′ED是等腰三角形，故①②正确，
∵AB′＝AB＝DC，CB′＝AD，DB′＝B′D，
∴△ADB′≌△CB′D，
∴∠ADB′＝∠CB′D，
∴GD＝GB′，
∴△B′GD是等腰三角形，故③正确，
∵∠GAC＝∠GCA，∠AGC＝∠DGB′，
∴∠GAC＝∠GDB′，
∴AC∥DB′，故④正确．
∵∠AEB＝45°，BD＝2，
∴∠BEB′＝∠DEB′＝90°，
∵DE＝EB′＝1，
∴DB′＝，故⑤正确．
故选：D．
本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4、A
【解析】
利用不等式的性质判断即可．
【详解】
解：A、在不等式a＜b的两边同时减去3，不等式仍成立，即a﹣3＜b﹣3，原变形正确，故本选项符合题意．
B、在不等式a＜b的两边同时除以2，不等式仍成立，即＜，原变形错误，故本选项不符合题意．
C、在不等式a＜b的两边同时乘以﹣1，不等号方向改变，即﹣a＞﹣b，原变形错误，故本选项不符合题意．
D、在不等式a＜b的两边同时乘以6，不等式仍成立，即6a＜6b，原变形错误，故本选项不符合题意．
故选：A．
此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．
5、C
【解析】
试题分析：根据中位数的概念求解．∵共有10名同学，∴第5名和第6名同学的读书时间的平均数为中位数，则中位数为：=1．
故选C．
考点：中位数．
6、C
【解析】
本题的关键描述语是：“提前1天完成任务”；等量关系为：原计划用时−实际用时＝1．
【详解】
解：设原计划每天挖x米，则原计划用时为：天，
实际用时为：天，
∴，
故选：C．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
7、A
【解析】
根据勾股定理得到AC==25， 连接BD交AC于O，由菱形的性质得到BD⊥CE，BO=DO，EO=CO，求得CE=2OE=18，于是得到结论．
【详解】
解：连接BD，交AC于点O，
在△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，
∴AC==25，
连接BD交AC于O，
∵四边形BCDE为菱形，
∴BD⊥CE，BO=DO，EO=CO，
∴BO===12，
∴OC==9，
∴CE=2OE=18，
∴AE=7，
故选：A．
本题考查菱形的性质，三角形的面积公式，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
8、C
【解析】
观察可得最简公分母是x（x-1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】
方程的两边同乘x（x-1），得
1x-1=4x，
解得x=-1．
检验：当x=-1时，x（x-1）≠2．
∴原方程的解为：x=-1．
故选C．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、0，2
【解析】
求出不等式2x+2＞3x﹣2的解集，再求其非负整数解．
【详解】
解：移项得，﹣2x﹣3x＞﹣6﹣4，
合并同类项得，﹣5x＞﹣20，
系数化为2得，x＜2．
故其非负整数解为：0，2．
本题考查了一元一次不等式的整数解，解答此题不仅要明确不等式的解法，还要知道非负整数的定义．解答时尤其要注意，系数为负数时，要根据不等式的性质3，将不等号的方向改变．
10、菱形
【解析】
【分析】连接BD,AC,根据矩形性质和三角形中位线性质，可证四条边相等，可得菱形.
【详解】如图
连接BD,AC
由矩形性质可得AC=BD,
因为，E，F,G,H是各边的中点，
所以，根据三角形中位线性质可得：HG=EF=BD,EH=FG=AC
所以，EG=EF=EF=FG，
所以，所得四边形EFGH是菱形.
故答案为：菱形
【点睛】本题考核知识点：矩形性质，菱形判定. 解题关键点: 由三角形中位线性质证边相等.
11、1
【解析】
根据正方形的对角线将正方形分为两个全等的等腰直角三角形，AC是该三角形的斜边，由此根据三角形面积的计算公式得到正方形的面积.
【详解】
正方形ABCD的一条对角线将正方形分为两个全等的等腰直角三角形，即AC是等腰直角三角形的斜边，
∵AC=
∴正方形ABCD的面积两个直角三角形的面积和，
∴正方形ABCD的面积=,
故答案为：1.
此题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正确掌握正方形的性质是解题的关键.
12、y=1x﹣1．
【解析】
解：根据一次函数的平移，上加下减，可知一次函数的表达式为y=1x-1.
13、（a+3，b+2）
【解析】
找到一对对应点的平移规律，让点P的坐标也作相应变化即可．
【详解】
点B的坐标为（-2，0），点B′的坐标为（1，2）；
横坐标增加了1-（-2）=3；纵坐标增加了2-0=2；
∵△ABC上点P的坐标为（a，b），
∴点P的横坐标为a+3，纵坐标为b+2，
∴点P变换后的对应点P′的坐标为（a+3，b+2）．
解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1) A,B两种品牌的教学设备分别为20套,30套; (2) 至多减少1套.
【解析】
（1）设A品牌的教学设备x套，B品牌的教学设备y套，根据题意可得方程组，解方程组即可求得商场计划购进A，B两种品牌的教学设备的套数；
(2)设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，由题意得不等式1.5（20-a）+1.2（30+1.5a）≤69，解不等式即可求得答案.
【详解】
（1）设A品牌的教学设备x套，B品牌的教学设备y套，由题意，得
，
解得：．
答：该商场计划购进A品牌的教学设备20套，B品牌的教学设备30套；
（2）设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，由题意，得
1.5（20-a）+1.2（30+1.5a）≤69，
解得：a≤1．
答：A种设备购进数量至多减少1套．
15、见解析
【解析】
截取BE＝BM，连接EM，求出AM＝EC，得出∠BME＝45°，求出∠AME＝∠ECF＝135°，求出∠MAE＝∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可．
【详解】
证明：在AB上截取BM＝BE，连接ME，
∵∠B＝90°，
∴∠BME＝∠BEM＝45°，
∴∠AME＝135°
∵CF是正方形ABCD的外角的角平分线，
∴∠ECF=90°+∠DCF=90°+=135°＝∠ECF，
∵AEF 90°
∴∠AEB+=90°
又∠AEB+=90°，
∴
∵AB＝BC，BM＝BE，
∴AM＝EC，
在△AME和△ECF中
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，关键是推出△AME≌△ECF．
16、 (1) ；(2)-1．
【解析】
（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用平方差公式计算．
【详解】
(1)原式=
=；
(2)原式=8-9=-1．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17、（1）；（2）x＜2或x＞时，有y＞﹣2；（3）点C的坐标为（2，0）或（12，0）或（-1，0）或（0，1）或（0，-7）．
【解析】
（1）利用待定系数法可得k和b的值；
（2）将y=-2代入函数中，分别计算x的值，根据图象可得结论；
（3）分两种情况画图，以∠BAC和∠ABC为顶角，根据AB=5和对称的性质可得点C的坐标．
【详解】
（1）当x=3时，a=-3，
∴B（3，-3），
把B（3，-3）和点A（7，0）代入y=kx+b中，
得：，解得：；
（2）当y=-2时，-x=-2，x=2，
，
解得，，
如图1，由图象得：当x＜2或x＞时，y＞-2；
（3）∵B（3，-3）和点A（7，0），
∴AB==5，
①以∠BAC为顶角，AB为腰时，如图2，AC=AB=5，
∴C（2，0）或（12，0）；
②以∠ABC为顶角，AB为腰时，如图3，以B为圆心，以AB为腰画圆，当△ABC是等腰三角形时，此时存在三个点C，
得C3（-1，0），
由C3与C4关于直线 y=-x对称得：C4（0，1）
由C5与点A关于直线y=-x对称得：C5（0，-7）
综上，点C的坐标为（2，0）或（12，0）或（-1，0）或（0，1）或（0，-7）．
本题是分段函数与三角形的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式以及等腰三角形的判定，同时还要注意运用数形结合与分类讨论的思想解决问题．
18、见解析.
【解析】
欲证明DE=DF，只要证明∠DEF=∠DFE．
【详解】
证明：由作图可知：BA＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DFE，
∵∠AEB＝∠DEF，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DE＝DF．
本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
首先根据平均数的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组求得a、b的值，然后求众数即可．3，a，2b，5与a，1，b的平均数都是1.
【详解】
解：∵两组数据：3，a，2b，5与a，1，b的平均数都是1，
∴，解得，
若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为3，4，5，1，8，8，8，
一共7个数，中间的数是1，所以中位数是1．
故答案为1．
20、n（m+n）1
【解析】
先提公因式n，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】
解：m1n+1mn1+n3
＝n（m1+1mn+n1）
＝n（m+n）1．
故答案为：n（m+n）1
此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握运算法则.
21、
【解析】
根据二次根式的性质进行化简．由即可得出答案.
【详解】
解：，
故答案为：．
本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质： 是解题的关键．
22、12
【解析】
过点C作于D，根据A点坐标求出菱形的边长，再根据菱形的面积求得CD，然后利用勾股定理求得OD，从而得到C点坐标，代入函数解析式中求解.
【详解】
如图，过点C作于D，
∵点A的坐标为（5,0），
∴菱形的边长为OA=5，,,
∴ ,解得，
在中，根据勾股定理可得： ,
∴点C的坐标为（3,4），
∵双曲线经过点C，
∴ ，
故答案为：12.
本题考查了菱形与反比例函数的综合运用，解题的关键在于合理作出辅助线，求得C点的坐标.
23、1
【解析】
先求出体育优秀的占总体的百分比，再乘以360°即可．
【详解】
解：圆心角的度数是：
故答案为：1．
本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、见解析
【解析】
试题分析:根据方位角的概念,得出∠BAO=60°,∠CAO=45°,由∠BAO=60°可得∠ABO=30°,进而可得AB的值,然后在Rt△ABO中由勾股定理可求出OB的值,（2）判断是否超速就是求BC的长,然后比较即可.
解：(1)在Rt△AOB中，
∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴OA＝AB.
∵OA＝100 m，∴AB＝200 m.
由勾股定理，得OB＝＝100(m)．
在Rt△AOC中，∵∠CAO＝45°，∴∠OCA＝∠OAC＝45°.
∴OC＝OA＝100 m．∴B(－100，0)，C(100，0)．
(2)∵BC＝BO＋CO＝(100＋100)m，≈18>，
∴这辆汽车超速了．
25、 (1) B(0，6)；(2) d=﹣t+10；(3)见解析.
【解析】
【分析】(1)把A(8，0)代入y=﹣x+b，可求解析式，再求B的坐标；（2）先求点C(0，﹣4)，再求直线AC解析式，可设点P(t，﹣t+6)，Q(t， t﹣4)，所以d=(﹣t+6)﹣(t﹣4)；过点M作MG⊥PQ于G，证△OAC≌△GMQ，得QG=OC=4，GM=OA=8；过点N作NH⊥PQ于H，过点M作MR⊥NH于点R，得四边形GHRM是矩形，得HR=GM=8；设GH=RM=k，由△HNQ≌△RMN，得HN=RM=k，NR=QH=4+k，由HR=HN+NR，得k+4+k=8，可得GH=NH=RM=2，HQ=6，由Q(t，t﹣4)，得N(t+2，t﹣4+6)，代入y=﹣x+6，得t+2=﹣(t+2)+6，求出t=2，再求P(2，)，N(4，3)，可得PH=，NH=2，最后PN=.
【详解】解：(1)∵y=﹣x+b交x轴于点A(8，0)，
∴0=﹣×8+b，b=6，
∴直线AB解析式为y=﹣x+6，令x=0，y=6，B(0，6)；
(2)∵A(8，0)，B(0，6)，
∴OA=8，OB=6，
∵∠AOB=90°，
∴AB=10=BC，
∴OC=4，
∴点C(0，﹣4)，设直线AC解析式为y=kx+b’，
∴，
∴,
∴直线AC解析式为y=x﹣4，
∵P在直线y=﹣x+6上，
∴可设点P(t，﹣t+6)，
∵PQ∥y轴，且点Q在y=x﹣4 上，
∴Q(t， t﹣4)，
∴d=(﹣t+6)﹣(t﹣4)=﹣t+10；
(3)过点M作MG⊥PQ于G，
∴∠QGM=90°=∠COA，
∵PQ∥y轴，
∴∠OCA=∠GQM，
∵CQ=AM，
∴AC=QM，在△OAC与△GMQ中，
，
∴△OAC≌△GMQ，
∴QG=OC=4，GM=OA=8，过点N作NH⊥PQ于H，过点M作MR⊥NH于点R，
∴∠MGH=∠RHG=∠MRH=90°，
∴四边形GHRM是矩形，
∴HR=GM=8，可设GH=RM=k，
∵△MNQ是等腰直角三角形，
∴∠QMN=90°，NQ=NM，
∴∠HNQ+∠HQN=90°，
∴∠HNQ+∠RNM=90°，
∴∠RNM=∠HQN，
∴△HNQ≌△RMN，
∴HN=RM=k，NR=QH=4+k，
∵HR=HN+NR，
∴k+4+k=8，
∴k=2，
∴GH=NH=RM=2，
∴HQ=6，
∵Q(t，t﹣4)，
∴N(t+2，t﹣4+6)即 N(t+2，t+2)
∵N在直线AB：y=﹣x+6上，
∴t+2=﹣(t+2)+6，
∴t=2，
∴P(2，)，N(4，3)，
∴PH=，NH=2，
∴PN=
=.
【点睛】本题考核知识点：一次函数综合应用.解题关键点：熟记一次函数性质，运用数形结合思想.
26、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
（1）按照尺规作图的步骤作出图形即可；
（2）证明AC垂直平分EF，则根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形得到四边形AECF是菱形．
【详解】
解：（1）如图，就是所求作的的垂直平分线，
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∵EF垂直平分AC，
∴EA=EC，EF⊥AC，
∴∠CEF=∠AEF，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF，
∴AC垂直平分EF，
∴四边形AECF是菱形．
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
一周内累计的读书时间（小时）
5
8
10
14
人数（个）
1
4
3
2
A
B
进价(万元/套)
1.5
1.2
售价(万元/套)
1.65
1.4