湖南省长沙市明德天心中学2024-2025学年九上数学开学检测模拟试题【含答案】

这是一份湖南省长沙市明德天心中学2024-2025学年九上数学开学检测模拟试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2、（4分）如图，若DE是△ABC的中位线，△ADE的周长为1，则△ABC的周长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3、（4分）不能被（ ）整除．
A．80B．81C．82D．83
4、（4分）如图，、分别是平行四边形的边、所在直线上的点，、交于点，请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，下列选项中不能推断四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）根据《九章算术》的记载中国人最早使用负数，下列四个数中的负数是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）对于一次函数y=﹣2x+4，下列结论错误的是（ ）
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）
C．函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象
D．函数值随自变量的增大而减小
8、（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AD、AB边上的中点，连接EF，若EF=，OC=2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为_______cm．
10、（4分）如图，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为__________．
11、（4分）在□ABCD中，∠A，∠B的度数之比为2：7，则∠C=__________．
12、（4分）正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2…按如图的方式放置，A1、A2、A3…和点C1、C2、C3…分别在直线y＝x+2和x轴上，则点∁n的横坐标是_____．（用含n的代数式表示）
13、（4分）因式分解：x2﹣x=______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠D．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若点P为对角线AC上的一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE=PF,求证：四边形ABCD是菱形.
15、（8分）问题：探究函数的图象与性质.
小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了研究.
下面是小明的研究过程，请补充完成.
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
其中，m= n= ；
（2）在如图所示的平面直角坐标中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象.
（3）观察图象，写出该函数的两条性质.
16、（8分）如图，平行四边形AEFG的顶点G在平行四边形ABCD的边CD上，平行四边形ABCD的顶点B在平行四边形AEFG的边EF上.求证：□ABCD=□AEFG
17、（10分）如图，在直角坐标系中，，，是线段上靠近点的三等分点．
（1）求点的坐标；
（2）若点是轴上的一动点，连接、，当的值最小时，求出的坐标及的最小值；
（3）如图2，过点作，交于点，再将绕点作顺时针方向旋转，旋转角度为，记旋转中的三角形为，在旋转过程中，直线与直线的交点为，直线与直线交于点，当为等腰三角形时，请直接写出的值．
18、（10分）甲乙两人同时登山，甲乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山的速度是 米/分钟，乙在A地提速时距地面的高度b为 米．
（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请求出乙提速后y和x之间的函数关系式．
（3）登山多长时间时，乙追上了甲，此时乙距A地的高度为多少米？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，过点N（0，-1）的直线y=kx+b与图中的四边形ABCD有不少于两个交点，其中A（2，3）、B（1，1）、C（4，1）、D（4，3），则k的取值范围____________
20、（4分）如图，在第个中，：在边取一点，延长到，使，得到第个；在边上取一点，延长到，使，得到第个，…按此做法继续下去，则第个三角形中以为顶点的底角度数是__________．
21、（4分）若数据，，1，的平均数为0，则__________．
22、（4分）如图，在矩形中，，．若点是边的中点，连接，过点作交于点，则的长为______．
23、（4分）已知：AB＝2m，CD＝28cm，则AB：CD＝_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在平面直角坐标系，已知四边形是矩形，且（0，6），（8，0），若反比例函数的图象经过线段的中点，交于点，交于点．设直线的解析式为．
（1）求反比例函数和直线的解析式；
（2）求的面积：
（3）请直接写出不等式的解集．
25、（10分）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同．
（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？
26、（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，过A，C分别作AD和BC的垂线，交对角线BD于点E，F，AE＝CF，BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若BC＝4，∠CBD＝45°，且E，F是BD的三等分点，求四边形ABCD的面积．（直接写出结论即可）
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据一次函数的性质即可得到结果．
，
图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，
故选B.
2、B
【解析】
根据三角形中位线定理得到BC=2DE，AB=2AD，AC=2AE，再通过计算，得到答案．
【详解】
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC，AD=AB，AE=AC，
即AB=2AD，BC=2DE，AC=2AE，
∵△ADE的周长= AD+DE+AE=1，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2(AD+DE+AE)=2，
故选B．
本题考查的是三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
3、D
【解析】
先提出公因式81，然后利用平方差公式进行因式分解即可得出答案．
【详解】
解：813-81=81×(812-1)=81×(81-1)×(81+1)=81×80×82，
所以813-81不能被83整除．
故选D．
本题考查了因式分解的应用，将原式正确的进行因式分解是解决此题的关键．
4、A
【解析】
根据平行四边形的性质得出AF∥CE，再根据平行四边形的判定定理得出即可．
【详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，，即．
A、时，一组对边平行，另一组对边相等不能判定四边形为平行四边形，故错误；
B、，又∵，∴四边形为平行四边形；
C、∵，，∴四边形是平行四边形；
D、∵，，∴四边形是平行四边形．
故选：A．
本题考查了平行四边形的性质和判定，能熟记平行四边形的性质和判定定理是解此题的关键，答案不唯一．
5、C
【解析】
∵在这5个数中只有0、3.14和6为有理数，
∴从这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是．
故选C．
6、C
【解析】
将各数化简即可求出答案．
【详解】
解：A.原式，故A不是负数；
B.原式，故B不是负数；
C. 是负数；
D.原式，故D不是负数；
故选：C．
本题考查正数与负数，解题的关键是将原数化简，本题属于基础题型．
7、B
【解析】
根据一次函数y=-2x+4的系数k=-2＜0，b＞0，所以函数的图像不经过第三象限，y随x增大而减小，函数的图像与y轴的交点为（0，4），根据一次函数的平移，可知向下平移4个单位得y=-2x的图像.
故选：B.
点睛：根据一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的图像与性质可知：当k＞0，b＞0时，图像过一二三象限，y随x增大而增大；当k＞0，b＜0时，图像过一三四象限，y随x增大而增大；当k＜0，b＞0时，图像过一二四象限，y随x增大而减小；当k＜0，b＜0，图像过二三四象限，y随x增大而减小.
8、B
【解析】
由三角形中位线定理可得BD=2EF=2，由菱形的性质可得AC⊥BD，AC=2AO=4，由菱形的面积公式可求解．
【详解】
∵E、F分别是AD、AB边上的中点，
∴BD=2EF=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO=2，
∴AC=4，
∵菱形ABCD的面积=×AC×BD=4，
故选B．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，熟练运用菱形的面积公式是本题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1．
【解析】
∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，
∴BD=BC=12cm，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD=BC=BD=12cm，
在Rt△ACB中，AB===13，
△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=1（cm），
故答案为1．
考点：旋转的性质．
10、2
【解析】
正方形为轴对称图形，一条对称轴为其对角线所在的直线；由图形条件可以看出阴影部分的面积为正方形面积的一半．
【详解】
解：依题意有S阴影=×4×4=2cm1．
故答案为：2．
本题考查轴对称的性质以及正方形的性质，运用割补法是解题的关键．
11、40°
【解析】
分析：平行四边形两组对边分别平行，两直线平行，同旁内角互补．又因为∠A，∠B的度数之比为2：1．所以可求得两角分别是40°，140°，根据平行四边形的两组对角分别相等，可得∠C等于40°．
详解：∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠A=∠C，∴∠A+∠B=180°．
又∵∠A，∠B的度数之比为2：1，∴∠A=180°×=40°，∠B=180°×=140°，∴∠C=40°．
故答案为：40°．
点睛：本题考查的是平行四变形的性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对角分别相等．
12、
【解析】
观察图像，由直线y＝x+2和正方形的关系，即可得出规律，推导出Cn的横坐标.
【详解】
解：根据题意，由图像可知，，
正方形A1B1C1O、 A2B2C2C1
，直线y＝x+2的斜率为1，则
以此类推，，
此题主要考查一次函数图像的性质和正方形的关系，推导得出关系式.
13、x（x﹣1）
【解析】分析：提取公因式x即可．
详解：x2−x＝x（x−1）．
故答案为：x（x−1）．
点解：本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据平行线的性质和平行四边形的判定证明即可；
（2）根据角平分线的性质和菱形的判定证明即可．
【详解】
（1）∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
在△ADC与△ABC中，，
∴△ADC≌△CBA（AAS），
∴AB=DC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠DAB=∠DCB，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE=PF，
∴∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形．
本题考查了菱形的判定与性质．菱形的判定方法有五多种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
15、（1）m = 2， n = -1 ；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
（1）将n、m对应的x的值带入解析式即可；
（2）根据表格中的点坐标再直角坐标系上标出，在连接各点即可；
（3）根据函数的最值、对称性、增减性回答即可.
【详解】
解：（1）将带入函数中得：，
将带入中得：；
（2）如图所示：
（3）（答案不唯一，合理即可）
1、函数关于直线对称；
2、函数在时取得最小值，最小值为-1
本题是新型函数题型，是中考必考题型，解题的关键是通过函数的基本性质以及图象的分析得到相关的值和特殊的函数性质.
16、证明见解析.
【解析】
分析：连接BG，作AM⊥EF，垂足M，作AN⊥CD，垂足N.根据三角形的面积公式证明ABCD=△ABG，AEFG=ABG 即可证明结论.
详解：连接BG，作AM⊥EF，垂足M，作AN⊥CD，垂足N.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD,AB=CD.
∵ ,
,
∴,
∴ABCD=△ABG，
同理可证：AEFG=ABG，
∴□ABCD=□AEFG.
点睛：本题考查了平行四边形的性质，等底同高的三角形面积相等，正确作出辅助线，证明ABCD=△ABG，AEFG=ABG是解答本题的关键.
17、（1）；（2）最小值，M；（3）、、、
【解析】
（1）过点作轴于点，证得，然后由相似三角形的性质求得，从而求得GB，HG的长度，使问题得解；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小即的长度，根据勾股定理求长度，然后利用待定系数法求直线的函数解析式，从而求与y轴交点坐标，使问题得解；
（3）依据△OST为等腰三角形，分4种情况画出图形，即可得到旋转角的度数．
【详解】
解：（1）如图，过点作轴于点．
因为轴
∴HG∥OA
∴，
又∵是线段上靠近点的三等分点
∴，
∵，，
∴，
∴
∴
（2）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点．
则为，
此时
∴的最小值为；
设直线：，把，B（3，0）代入得：
，解得：
∴直线为
当时，
∴为
（3）如图，当OT=OS时，α=75°-30°=45°；
如图，当OT=TS时，α=90°；
如图，当OT=OS时，α=90°+60°-15°=135°；
如图，当ST=OS时，α=180°；
综上所述，α的值为45°，90°，135°，180°．
本题考查几何变换综合题、平行线分线段成比例定理、轴对称最短问题、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
18、（1）10，1；（2）y=1x﹣1；（3）登山6.5分钟，乙追上了甲，此时乙距A地的高度为135米．
【解析】
根据函数图象由甲走的路程除以时间就可以求出甲的速度;根据函数图象可以求出乙在提速前每分离开地面的高度是15米,就可以求出b的值;
(2)先根据乙的速度求出乙登上山顶的时间,求出B点的坐标,由待定系数法就可以求出解析式;
(3)由(2)的解析式建立方程求出其解就可以求出追上的时间,就可以求出乙离地面的高度,再减去A地的高度就可以得出结论.
【详解】
解：（1）10，1
（2）设乙提速后的函数关系式为：y=kx+b，
由于乙提速后是甲的3倍，所以k=1，且图象经过（2.1）
所以1=2×1+b
解得：b=﹣1
所以乙提速后的关系式：y=1x﹣1．
（3）甲的关系式：设甲的函数关系式为：y=mx+n，
将n=100和点（20，10）代入，
求得 y=10x+100；
由题意得：10x+100=1x﹣1
解得：x=6.5 ,
把x=6.5代入y=10x+100=165，
相遇时乙距A地的高度为：165﹣1=135（米）
答：登山6.5分钟，乙追上了甲，此时乙距A地的高度为135米．
本题考查了行程问题的数量关系的运用；待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数与一元一次方程的运用,解题关键是求出一次函数的解析式.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、＜k≤2．
【解析】
直线y=kx+b过点N（0，-2），则b=-2，y=kx-2．当直线y=kx-2的图象过A点时，求得k的值；当直线y=kx-2的图象过B点时，求得k的值；当直线y=kx-2的图象过C点时，求得k的值，最后判断k的取值范围．
【详解】
∵直线y=kx+b过点N（0，-2），
∴b=-2，
∴y=kx-2．
当直线y=kx-2的图象过A点（2，3）时，
2k-2=3，k=2；
当直线y=kx-2的图象过B点（2，2）时，
k-2=2，k=2；
当直线y=kx-2的图象过C点（4，2）时，
4k-2=2，k=，
∴k的取值范围是＜k≤2．
故答案为＜k≤2．
本题主要考查了运用待定系数法求一次函数解析式，解题时注意：求正比例函数y=kx，只要一对x，y的值；而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．
20、.
【解析】
先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质求出，及的度数.
【详解】
在中，，，
，是的外角，
，
同理可得 .
故答案为：.
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出、及的度数.
21、1
【解析】
根据平均数的公式列式计算即可．
【详解】
解：=0，
得a=1，
故答案为：1．
本题主要考查了平均数的计算，要熟练掌握方法．
22、
【解析】
根据S△ABE=S矩形ABCD=3=•AE•BF，先求出AE，再求出BF即可．
【详解】
解：如图，连接BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，
在Rt△ADE中，AE=
∵S△ABE=S矩形ABCD=3=•AE•BF，
∴BF=．
故答案为：.
本题考查矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，用面积法解决有关线段问题是常用方法．
23、50：7
【解析】
先将2m转换为200cm，再代入计算即可．
【详解】
∵AB=2m=200cm，CD=28cm，
∴AB:CD=200:28=50:7.
故答案为50:7.
本题考查比例线段，学生们掌握此定理即可.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1），；（2）22.5；（3）或
【解析】
（1）由点B、D的坐标结合矩形的性质即可得出点C的坐标，由中点的性质即可得出点A的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k值，由此即可得出反比例函数解析式；由点F的横坐标、点E的纵坐标结合反比例函数解析式即可得出点E、F的坐标，再由点E、F的坐标利用待定系数法即可求出直线EF的解析式；
（2）通过分割图形并利用三角形的面积公式即可求出结论；
（3）观察函数图象，根据两函数图象的上下关系结合交点坐标即可得出不等式的解集．
【详解】
（1）：（0，6），（8，0）∴（8，6）∴中点（4，3）∴∴
∴
设，
∴∴，∴，
∴∴，，∴
（2）
=22.5
（3）根据图像可得或.
本题考查了矩形的性质、反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，本题属于基础题难度不大，解决该题型题目时，求出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键.
25、（1）A型机器人每小时搬运150千克材料，B型机器人每小时搬运120千克材料；（2）至少购进A型机器人14台．
【解析】
（1）设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克材料，根据A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同建立方程求出其解即可得；
（2）设购进A型机器人a台，根据每小时搬运材料不得少于2800kg列出不等式进行求解即可得.
【详解】
（1）设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克材料，
根据题意，得，
解得x=120，
经检验，x=120是所列方程的解，
当x=120时，x+30=150，
答：A型机器人每小时搬运150千克材料，B型机器人每小时搬运120千克材料；
（2）设购进A型机器人a台，则购进B型机器人（20﹣a）台，
根据题意，得150a+120（20﹣a）≥2800，
解得a≥，
∵a是整数，
∴a≥14，
答：至少购进A型机器人14台．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准等量关系以及不等关系是解题的关键.
26、（1）证明见解析；（2）1.
【解析】
（1）证Rt△ADE≌Rt△CBF（HL），得AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，AD∥BC，故四边形ABCD是平行四边形；（2）过C作CH⊥BD于H，证△CBF是等腰直角三角形，得BF＝BC＝4，CH＝BC＝2，得BD＝6，故四边形ABCD的面积＝BD•CH．
【详解】
（1）证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠DAE＝∠BCF＝90°，
∵BE＝DF，
∴BE+EF＝DF+EF，
即BF＝DE，
在Rt△ADE与Rt△CBF中，

∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL），
∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：过C作CH⊥BD于H，
∵∠CBD＝45°，
∴△CBF是等腰直角三角形，
∴BF＝BC＝4，CH＝BC＝2，
∵E，F是BD的三等分点，
∴BD＝6，
∴四边形ABCD的面积＝BD•CH＝1．
熟记平行四边形的判定和性质是解题关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
…
-4
-3
-2
-1
0
4
…
…
2
1
0
n
0
1
m
3
4
…