湖南省长沙市长郡双语实验中学2025届九年级数学第一学期开学考试试题【含答案】

这是一份湖南省长沙市长郡双语实验中学2025届九年级数学第一学期开学考试试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）周长为的正方形对角线的长是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）如图1，在△ABC和△DEF中，AB＝AC＝m，DE＝DF＝n，∠BAC＝∠EDF，点D与点A重合，点E，F分别在AB，AC边上，将图1中的△DEF沿射线AC的方向平移，使点D与点C重合，得到图2，下列结论不正确的是( )
A．△DEF平移的距离是mB．图2中，CB平分∠ACE
C．△DEF平移的距离是nD．图2中，EF∥BC
3、（4分）如图，，，三点在正方形网格线的交点处，若将绕点逆时针旋转得到，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）某数学兴趣小组6名成员通过一次数学竞赛进行组内评比，他们的成绩分别是89，92，91，93，96，91，则关于这组数据说法正确的是（ ）
A．中位数是92.5B．平均数是92C．众数是96D．方差是5
5、（4分）下列说法中正确的是（ ）
A．在△ABC中，AB2+BC2＝AC2
B．在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2
C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB2+BC2＝AC2
D．AB、BC、AC是△ABC的三边，若AB2+BC2＝AC2，则△ABC是直角三角形
6、（4分）若平行四边形的两个内角的度数之比为1：5，则其中较小的内角是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
8、（4分）某组数据方差的计算公式是中，则该组数据的总和为
A．32B．8C．4D．2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知一组数据3，5，9，10，x，12的众数是9，则这组数据的平均数是___________．
10、（4分）计算-=_______.
11、（4分）二次根式中字母 a 的取值范围是______．
12、（4分）正十边形的外角和为__________．
13、（4分）方程x2＝x的解是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A，B两种健身器材若干件，经了解，B种健身器材的单价是A种健身器材的1．5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件．
（1）A，B两种健身器材的单价分别是多少元？
（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共50件，且费用不超过21000元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？
15、（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别是E，F，并且BE=DF， 求证；四边形ABCD是菱形．
16、（8分）计算
（1）分解因式：；
（2）解不等式组．
17、（10分）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
18、（10分）武汉某文化旅游公司为了在军运会期间更好地宣传武汉，在工厂定制了一批具有浓郁的武汉特色的商品．为了了解市场情况，该公司向市场投放，型商品共件进行试销，型商品成本价元/件，商品成本价元/件，其中型商品的件数不大于型的件数，且不小于件，已知型商品的售价为元／件，型商品的售价为元／件，且全部售出．设投放型商品件，该公司销售这批商品的利润元．
（1）直接写出与之间的函数关系式：_______；
（2）为了使这批商品的利润最大，该公司应该向市场投放多少件型商品？最大利润是多少？
（3）该公司决定在试销活动中每售出一件型商品，就从一件型商品的利润中捐献慈善资金元，当该公司售完这件商品并捐献资金后获得的最大收益为元时，求的值．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）因式分解：_________．
20、（4分）设a是的小数部分，则根式可以用表示为______.
21、（4分）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是__________．
22、（4分）已知点P（-1，m）,Q（-2，n）都在反比例函数的图像上，则m____n（填“>”或“<”或“=”）．
23、（4分）在湖的两侧有A，B两个消防栓，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点D和BC中点E之间的距离为16米，则A，B之间的距离应为_________ 米．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知：如图，在四边形中，过作交于点，过作交于，且.
求证：四边形是平行四边形.
25、（10分）已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=1．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．
26、（12分）定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为直线与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点．
（1）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，以点为圆心，5为半径作圆，交轴的负半轴于点，求过点的圆 的切线的解析式；
（2）若抛物线（）与直线（）相切于点，求直线的解析式；
（3）若函数的图象与直线相切，且当时，的最小值为，求的值．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
先根据正方形的性质得到正方形的边长为1cm，然后根据勾股定理得到正方形对角线的长．
【详解】
解：∵正方形的周长为4cm，
∴正方形的边长为1cm，
∴正方形的对角线的长为=cm．
故选：D．
本题考查了正方形的性质和勾股定理，根据正方形的四条边相等得出直角三角形的两直角边长是解决此题的关键．
2、C
【解析】
根据平移的性质即可得到结论．
【详解】
∵AD=AC=m，
∴△DEF平移的距离是m，故A正确，C错误，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵DE∥AB，
∴∠EDB=∠ABC，
∴∠ACB=∠ECB，
∴CB平分∠ACE，故B正确；
由平移的性质得到EF∥BC，故D正确．
故选C．
本题考查了平移的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练正确平移的性质是解题的关键．
3、C
【解析】
根据旋转的性质可得AC=AC′，求出AC的长，得到C′的纵坐标，再根据点A的横坐标可得结果.
【详解】
解：如图，AC=，
由于旋转，
∴AC′=，
∵A（1，1），
∴C′（1，+1），
故选C.
本题考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转的性质得到AC=AC′.
4、B
【解析】
试题解析：这组数据按照从小到大的顺序排列为：89，91，91，92，93，96，
则中位数为：，故A错误；
平均数为：，故B正确；
众数为：91，故C错误；
方差S2=
=，故D错误．
故选A．
5、D
【解析】
根据勾股定理即可解答
【详解】
A、在△ABC中，不一定能够得到AB2+BC2＝AC2，故选项错误；
B、在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB2+BC2＝AC2，故选项错误；
C、在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB2+BC2＝AC2，故选项错误；
D、AB、BC、AC是△ABC的三边，若AB2+BC2＝AC2，则△ABC是直角三角形，故选项正确．
故选：D．
此题考查勾股定理，解题关键在于掌握勾股定理的内容
6、A
【解析】
根据平行四边形的性质即可求解.
【详解】
设较小的角为x，则另一个角为5x，
∵平行四边形的对角互补，
∴x+5x=180°，
解得x=30° ，
故选A
此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的对角互补.
7、B
【解析】
试题分析：根据内角和定理180°×（n-2）即可求得．
解：180°×（n-2）=720°，解得n=1．
考点：多边形的内角和定理．
8、A
【解析】
样本方差，其中n是这个样本的容量，是样本的平均数利用此公式直接求解．
【详解】
由知共有8个数据，这8个数据的平均数为4，
则该组数据的综合为，
故选：A．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式及公式中的字母所表示的意义．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1．
【解析】
试题分析：：∵数据3，5，9，10，x，12的众数是9，∴x=9，
∴这组数据的平均数是（3+5+9+10+9+12）÷6=1．
故答案是1．
考点：1.算术平均数2.众数．
10、2
【解析】
利用二次根式的减法法则计算即可.
【详解】
解：原式
故答案为：
本题考查二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的减法运算法则是解题关键.
11、.
【解析】
运用二次根式中的被开方数的非负性进行求解即可，即有意义，则a≥0.
【详解】
解：由题意得2a+5≥0，解得：.
故答案为.
本题考查了二次根式的意义和性质，对于二次根式而言，关键是要注意两个非负性：一是a≥0，二是≥0；在各地试卷中是高频考点.
12、360°
【解析】
根据多边形的外角和是360°即可求出答案．
【详解】
∵任意多边形的外角和都是360°，
∴正十边形的外交和是360°，
故答案为：360°．
此题考查多边形的外角和定理，熟记定理是解题的关键．
13、x1＝0，x2＝1
【解析】
利用因式分解法解该一元二次方程即可.
【详解】
解：x2＝x，
移项得：x2﹣x＝0，
分解因式得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
故答案为：x1＝0，x2＝1
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1） A，B单价分别是360元，540元；（2）34件．
【解析】
（1）设A种型号健身器材的单价为x元/套，B种型号健身器材的单价为1．5x元/套，根据“B种健身器材的单价是A种健身器材的1．5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件”，即可得出关于x，y的分式方程，解之即可得出结论；
（2）设购买A种型号健身器材m套，则购买B种型号的健身器材(50﹣m)套，根据总价＝单价×数量结合这次购买两种健身器材的总费用不超过21000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设A种型号健身器材的单价为x元/套，B种型号健身器材的单价为1．5x元/套，
根据题意，可得：，
解得：x＝360，
经检验x＝360是原方程的根，
1.5×360＝540(元)，
因此，A，B两种健身器材的单价分别是360元，540元；
（2）设购买A种型号健身器材m套，则购买B种型号的健身器材(50﹣m)套，
根据题意，可得：360m+540(50﹣m)≤21000，
解得：m≥，
因此，A种型号健身器材至少购买34套．
本题考查的知识点是分式方程以及一元一次不等式的实际应用，读懂题意，找出题目中的等量关系式是解此题的关键．
15、见解析
【解析】
平行四边形的对角相等，得 ∠B=∠D， 结合AE⊥BC，AF⊥DC和BE=DF，由角边角定理证明△ABE全等△ADF，再由全等三角形对应边相等得DA=AB，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形判定 四边形ABCD是菱形 .
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥DC
∴∠AEB=∠AFD=90°
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF(AAS)
∴DA=AB，
∴平行四边形ABCD是菱形
此题主要考查菱形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质及菱形的判定定理.
16、（1）y（x−y）1；（1）−3≤x＜1．
【解析】
（1）直接提取公因式y，再利用公式法分解因式得出答案；
（1）分别解不等式进而得出不等式组的解集．
【详解】
解：（1）x1y−1xy1＋y3
＝y（x1−1xy＋y1）
＝y（x−y）1；
（1），
解①得：x＜1，
解②得：x≥−3，
故不等式组的解集为：−3≤x＜1．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式、不等式组的解法，正确掌握解题方法是解题关键．
17、（1）当天该水果的销售量为2千克；（2）如果某天销售这种水果获利150元，该天水果的售价为3元．
【解析】
（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论；
（2）根据总利润每千克利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】
（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b，
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+1．
当x=23.5时，y=﹣2x+1=2．
答：当天该水果的销售量为2千克．
（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+1）=150，
解得：x1=35，x2=3．
∵20≤x≤32，
∴x=3．
答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为3元．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
18、（1）；（2）应投放件，最大利润为元；（3）满足条件时的值为
【解析】
（1）根据利润=（售价-成本）数量即可求出与之间的函数关系式.
（2）y与之间是一次函数关系式，根据一次函数的性质可知当x=125时y有最大值；
（3）捐献资金后获得的收益为；当时时有最大值18000，即可求出a值.
【详解】
（1）
（2）由题意可知，即
由一次函数的性质可知．越大，越大
当时
∴应投放件，最大利润为元．
（3）一共捐出元
∴
∴当时最大值小于
当时时有最大值．
即
∴
即满足条件时的值为.
本题考查一次函数的应用知识，解题的关键是理解题意，学会构建一次函数解决问题．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
直接提取公因式即可．
【详解】
．
故答案为：．
本题考查了因式分解——提取公因式法，掌握知识点是解题关键．
20、
【解析】
根据题意用表示出a，代入原式化简计算即可得到结果．
【详解】
解：根据题意得：a=，
则原式=
=
=
=
=，
故答案为：.
此题考查了估算无理数的大小，根据题意表示出a是解本题的关键．
21、
【解析】
根据方程有两个相等的实数根，可得b2-4ac=0，方程化为一般形式后代入求解即可.
【详解】
原方程化为一般形式为：mx2+(2m+1)x=0，
∵方程有两个相等的实数根
∴（2m+1）2-4m×0=0
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．
22、＞
【解析】
根据反比例函数的图像特点即可求解.
【详解】
∵点P（-1，m）,Q（-2，n）都在反比例函数的图像上，
又-1＞-2，反比例函数在x＜0时，y随x的增大而增大，
∴m＞n
此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是熟知反比例函数的图像特点.
23、32
【解析】
分析：可得DE是△ABC的中位线,然后根据三角形的中位线定理,可得DE∥AB,且AB=2DE,再根据DE的长度为16米,即可求出A、B两地之间的距离.
详解：∵D、E分别是CA,CB的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥AB,且AB=2DE,
∵DE=16米,
∴AB=32米.
故答案是:32.
点睛：本题考查了三角形的中位线定理的应用，解答本题的关键是：明确三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、证明见解析.
【解析】
根据HL证明，从而得到，再根据平等线的判断得到，从而得到结论.
【详解】
∵，，
∴，
在和中，

∴
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
考查了平行四边形的判断，解题关键是证明得到，从而证明.
25、（1）见详解；（2）4＋或4＋.
【解析】
（1）根据关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=1的根的判别式的符号来证明结论.
（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算.
【详解】
解：（1）证明：∵△=（m＋2）2－4（2m－1）=（m－2）2＋4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m－2）2+4≥4＞1，即△＞1.
∴关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=1恒有两个不相等的实数根.
（2）∵此方程的一个根是1，
∴12－1×（m＋2）＋（2m－1）=1，解得，m=2，
则方程的另一根为：m＋2－1=2+1=3.
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为，该直角三角形的周长为1＋3＋=4＋.
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为1＋3＋=4＋.
26、（1）；（2）；（3）1或
【解析】
（1）连接，由、可求，即．因为过点的切线，故有，再加公共角，可证，由对应边成比例可求的长，进而得点坐标，即可求直线解析式．
（2）分别把点代入抛物线和直线解析式，求得抛物线解析式为，直线解析式可消去得．由于直线与抛物线相切（只有一个交点），故联立解析式得到关于的方程有两个相等的实数根，即△，即求得的值．
（3）因为二次函数图象与直线相切，所以把二次函数和直线解析式联立，得到关于的方程有两个相等是实数根，即△，整理得式子，可看作关于的二次函数，对应抛物线开口向上，对称轴为直线．分类讨论对称轴在左侧、中间、右侧三种情况，画出图形得：①当对称轴在左侧即时，由图象可知时随的增大而增大，所以时取得最小值，把、代入得到关于的方程，方程无解；②当对称轴在范围内时，时即取得最小值，得方程，解得：；③当对称轴在2的右侧即时，由图象可知时随的增大而减小，所以时取得最小值，把、代入即求得的值．
【详解】
解：（1）如图1，连接，记过点的切线交轴于点
，
，
，
设直线解析式为：
，解得：
过点的的切线的解析式为;
（2）抛物线经过点
，解得：
抛物线解析式：
直线经过点
，可得：
直线解析式为：
直线与抛物线相切
关于的方程有两个相等的实数根
方程整理得：
△
解得：
直线解析式为；
（3）函数的图象与直线相切
关于的方程有两个相等的实数根
方程整理得：
△
整理得：，可看作关于的二次函数，
对应抛物线开口向上，对称轴为直线
当时，的最小值为
①如图2，当时，在时随的增大而增大
时，取得最小值
，方程无解；
②如图3，当时，时，取得最小值
，解得：；
③如图4，当时，在时随的增大而减小
时，取得最小值
，解得：，（舍去）
综上所述，的值为1或．
本题考查了圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法及根与系数的关系，二次函数的图象与性质．第（3）题的解题关键是根据相切列得方程并得到含、的等式，转化为关于的二次函数，再根据画图讨论抛物线对称轴情况进行解题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
销售量y（千克）
…
34.8
32
29.6
28
…
售价x（元/千克）
…
22.6
24
25.2
26
…