吉林省实验中学2024-2025学年数学九上开学学业水平测试模拟试题【含答案】

这是一份吉林省实验中学2024-2025学年数学九上开学学业水平测试模拟试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，正方形ABCD，点E、F分别在AD，CD上，BG⊥EF，点G为垂足，AB=5，AE=1，CF=2，则BG的长为（ ）
A．B．5C．D．
2、（4分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
则这些运动员成绩的中位数、众数分别为
A．、B．、C．、D．、
3、（4分）已知二次函数y＝ax1+bx+c+1的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＞0；②b1﹣4ac＝0；③a＞1；④ax1+bx+c＝﹣1的根为x1＝x1＝﹣1；⑤若点B（﹣，y1）、C（﹣，y1）为函数图象上的两点，则y1＞y1．其中正确的个数是（ ）
A．1B．3C．4D．5
4、（4分）醴陵市“师生诗词大赛”成绩结果统计如表,成绩在91--100分的为优秀,则优秀的频率是（ ）
A．0.2B．0.25C．0.3D．0.35
5、（4分）下列说法中，其中不正确的有（ ）
①任何数都有算术平方根；
②一个数的算术平方根一定是正数；
③a2的算术平方根是a；
④算术平方根不可能是负数．
A．0个B．1个C．2个D．3个
6、（4分）用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2B．（x+1）2＝2C．（x+2）2＝3D．（x+1）2＝3
7、（4分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是（ ）
A．AF＝AEB．△ABE≌△AGFC．EF＝D．AF＝EF
8、（4分）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）
A．5B．25C．D．5或
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC平分∠BAD，AC=8，S四边形ABCD=16，那么对角线BD=______．
10、（4分）计算的结果等于__________．
11、（4分）在菱形中，，为中点，为对角线上一动点，连结和，则的值最小为_______．
12、（4分）如图，在中，，，点D在边上，若以、为边，以为对角线，作，则对角线的最小值为_______．
13、（4分）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 .
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，点、分别在矩形的边、上，把这个矩形沿折叠后，点恰好落在边上的点处，且.
（1）求证：；
（2）连接、，试证明：.
15、（8分）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中均为整数），则有．
∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
当均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示，得＝ ，＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数，填空： ＋ ＝( ＋ )2；
（3）若，且均为正整数，求的值．
16、（8分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
17、（10分）某校学生在“蓝天下的至爱”帮困活动中，纷纷拿零花钱，参加募捐活动．甲班学生共募捐840元，乙班学生共募捐1000元，乙班学生的数比甲班学生的人均捐款数多5元，且人数比甲班少2名，求甲班和乙班学生的人数．
18、（10分）随着新能源汽车推广力度加大，产业快速发展，越来越多的消费者接受并购买新能源汽车。我市某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌汽车1月份销售150辆，3月份销售216辆.
（1）求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率；
（2）若该品牌新能源汽车的进价为52000元，售价为58000元，则该经销商1月至3月份共盈利多少元？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）对于实数，我们用符号表示两数中较小的数，如.因此， ________；若，则________．
20、（4分）如图，在菱形中，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点，则_______，_______.
21、（4分）如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G.若G是CD的中点，则BC的长是___.
22、（4分）在平行四边形ABCD中，，则的度数是______°．
23、（4分）分式方程有增根，则m＝_____________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，说明理由；并求出AM、BM、CM的值．
25、（10分）如图，矩形中，，将矩形绕点旋转得到矩形，使点的对应点落在上，交于点，在上取点，使．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）若，求的长．
26、（12分）计算
（1）； （2）．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
如图，连接BE、BF．首先利用勾股定理求出EF，再根据S△BEF=•EF•BG=S正方形ABCD-S△ABE-S△BCF-S△DEF，列出方程即可解决问题．
【详解】
如图，连接BE、BF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∵AE=1，CF=2，
∴DE=4，DF=3，
∴EF==5，
∵S△BEF=•EF•BG=S正方形ABCD-S△ABE-S△BCF-S△DEF，
∴•5•BG=25-•5•1-•5•2-•3•4，
∴BG=，
故选C．
本题考查正方形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用分割法求三角形面积，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
2、C
【解析】
根据中位数和众数的概念进行求解．
【详解】
解：将数据从小到大排列为：1.50，150，1.60，1.60，160，1.65，1.65， 1.1，1.1，1.1，1.75，1.75，1.75，1.75，1.80
众数为：1.75；
中位数为：1.1．
故选C．
本题考查1.中位数；2.众数，理解概念是解题关键．
3、D
【解析】
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】
解：①由抛物线的对称轴可知：，
∴，
由抛物线与轴的交点可知：，
∴，
∴，故①正确；
②抛物线与轴只有一个交点，
∴，
∴，故②正确；
③令，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
④由图象可知：令，
即的解为,
∴的根为，故④正确；
⑤∵，
∴，故⑤正确；
故选D．
考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想.
4、A
【解析】
根据优秀人数为人，而数据总数为个，由频率公式可得答案．
【详解】
解：由题意得：优秀的频率是
故选A．
本题考查的是频数与频率，掌握“频率等于频数除以数据总数”是解题的关键．
5、D
【解析】
①②③④分别根据平方根和算术平方根的概念即可判断．
【详解】
解：根据平方根概念可知：
①负数没有算术平方根，故错误；
②反例：0的算术平方根是0，故错误；
③当a＜0时，a2的算术平方根是﹣a，故错误；
④算术平方根不可能是负数，故正确．
所以不正确的有①②③．
故选D．
考核知识点：算术平方根.
6、B
【解析】
把常数项移到方程右边，再把方程两边加上1，然后把方程作边写成完全平方形式即可．
【详解】
解：∵x1+1x﹣1＝0，
∴x1+1x+1＝1，
∴（x+1）1＝1．
故选：B．
本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）1=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
7、D
【解析】
试题分析：∵AD∥BC，∴∠AFE=∠FEC，∵∠AEF=∠FEC，∴∠AFE=∠AEF，∴AF=AE，∴选项A正确；
∵ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠C=90°，∵AG=DC，∠G=∠C，∴∠B=∠G=90°，AB=AG，∵AE=AF，∴△ABE≌△AGF，∴选项B正确；
设BE=x，则CE=BC﹣BE=8﹣x，∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE=CE=8﹣x，在Rt△ABE中，，即，解得x=3，∴AE=8﹣3=5，由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=5，过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，∴EH=AB=4，AH=BE=3，∴FH=AF﹣AH=5﹣3=2，在Rt△EFH中，EF=，∴选项C正确；
由已知条件无法确定AF和EF的关系，故选D．
考点：翻折变换（折叠问题）．
8、D
【解析】
分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，②3和4都是直角边，根据勾股定理求出即可．
【详解】
解：
分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，由勾股定理得：第三边长是；
②3和4都是直角边，由勾股定理得：第三边长是＝5；
即第三边长是5或，
故选D．
本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、4
【解析】
根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.
【详解】
解：如图，∵AC平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
在△BAE和△DAE中
∴△BAE≌△DAE，
∴∠BEA=∠DEA，
∵∠BEA+∠DEA=180º，
∴∠BEA=∠DEA=90º，
∴DB⊥AC，
∴S四边形ABCD=AC×BD，
∵AC=8，S四边形ABCD=16，
∴BD=4.
故答案为：4.
本题考查了对角线互相垂直的四边形的面积.
10、1
【解析】
分析：先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得．
详解：原式=（）2-（）2
=6-1
=1，
故答案为：1．
点睛：本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键．
11、2
【解析】
根据轴对称的性质，作点E′和E关于BD对称．则连接AE′交BD于点P，P即为所求作的点．PE+PA的最小值即为AE′的长．
【详解】
作点E′和E关于BD对称．则连接AE′交BD于点P，
∵四边形ABCD是菱形，AB=4，E为AD中点，
∴点E′是CD的中点，
∴DE′=DC=×4=2，AE′⊥DC，
∴AE′=．
故答案为2．
此题考查轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间线段最短”是解题的关键．
12、1
【解析】
由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值，由三角形中位线定理求出OD，即可得出DE的最小值．
【详解】
解：∵，，
根据勾股定理得，
∵四边形是平行四边形，
，
∴当取最小值时，线段最短，即时最短，
是的中位线，
，
，
故答案为：1．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及垂线段最短，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
13、且．
【解析】
试题分析：分式方程去分母得：.
∵分式方程解为负数，∴.
由得和
∴的取值范围是且．
考点：1.分式方程的解；2.分式有意义的条件；3.解不等式；4.分类思想的应用．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)见解析;(2)见解析.
【解析】
（1）由折叠得到D=∠FGH=90°，∠C=∠H=90°，EC=EH，由矩形得出边平行，内角为直角，将问题转化到△EGH中，由30°所对的直角边等于斜边的一半，利用等量代换可得结论；
（2）由轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点所连接的线段，垂直于同一直线的两条直线互相平行得出结论．
【详解】
证明：
（1）由折叠知：
在矩形中，
在中，
又
，即
（2）连接、
由折叠知：点和、点和点都关于直线成轴对称
考查矩形的性质、轴对称的性质，直角三角形的性质等知识，合理的将问题转化到一个含有30°的直角三角形是解决问题的关键．
15、（1），；（2）2，2，1，1（答案不唯一）；（3）＝7或＝1．
【解析】
(1)∵，
∴，
∴a＝m2＋3n2，b＝2mn．
故答案为m2＋3n2，2mn．
(2)设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝1，b＝2mn＝2．
故答案为1，2，1，2(答案不唯一)．
(3)由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．
∵2＝2mn，且m、n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，
∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝1．
16、，数轴表示见解析
【解析】
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】
解：由①去括号、移项、合并同类项，得，
解得；
由②去分母、移项、合并同类项，得
解得
所以不等式组的解集为
不等式组的解集在数轴上表示为：
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．
17、甲班学生的人数为42名，乙班学生的人数为40名．
【解析】
设乙班学生的人数为名，则甲班学生的人数为名，由乙班学生的数比甲班学生的人均捐款数多1元可得等量关系：乙班平均每人捐款金额-甲班平均每人捐款金额=1．
【详解】
解：设乙班学生的人数为名，则甲班学生的人数为名．
根据题意，得．
整理，得．
解得，．
经检验：，都是原方程的根，但不符合题意，舍去．
答：甲班学生的人数为42名，乙班学生的人数为40名．
本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
18、（1）该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为；（2）盈利3276000元.
【解析】
（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x．等量关系为：1月份的销售量×（1+增长率）2=3月份的销售量，把相关数值代入求解即可．
（2）根据（1）求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案．
【详解】
（1）设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率x，根据题意列方程
解得，（舍去）
（2）
答：（1）该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为；（2）共盈利3276000元.
此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于根据题意列出方程.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、 2或-1．
【解析】
①∵－－,
∴min{－，－}=－;
②∵min{(x−1)2,x2}=1，
∴当x>0.5时,(x−1)2=1，
∴x−1=±1，
∴x−1=1，x−1=−1，
解得：x1=2,x2=0(不合题意,舍去)，
当x⩽0.5时,x2=1，
解得：x1=1(不合题意,舍去),x2=−1，
20、1
【解析】
由菱形的性质可得AB=AD=CD=4，AB∥CD，由“ASA”可证△AEF≌△DEH，可得AF=HD=1，由三角形面积公式可求△CEF的面积．
【详解】
∵四边形是菱形，
∴.
∵点是的中点，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴.
∴.
故答案为：1，.
此题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明AF=HD=1是解题的关键．
21、7
【解析】
根据线段中点的定义可得CG=DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CF，EG=FG，设DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC=AD．
【详解】
∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB=8，
∴CG=DG=×8=4，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG(ASA)，
∴DE=CF，EG=FG，
设DE=x，
则BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，
在Rt△DEG中,EG=，
∴EF=，
∵FH垂直平分BE，
∴BF=EF，
∴4+2x=，
解得x=3，
∴AD=AE+DE=4+3=7，
∴BC=AD=7.
故答案为：7.
此题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题关键在于综合运用勾股定理、全等三角形的性质解答即可.
22、100°
【解析】
如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠C=160°，
∴∠A=∠C=80°，
∴∠B的度数是：100°．
故答案是：100°．
23、1
【解析】
分式方程去分母得：x+x﹣1=m， 根据分式方程有增根得到x﹣1=0，即x=1，
将x=1代入整式方程得：1+1﹣1=m，
则m=1，
故答案为1．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）证明见解析；（2）M点位于BD与CE的交点时，理由见解析；，
【解析】
（1）由旋转的性质可知：BN＝BM，BA＝BE，然后再证明∠NBE＝∠MBA，最后依据SAS证明△AMB≌△ENB即可；
（2）连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，过点E作EF⊥BC，垂足为F，先证明∠EBF＝30°，从而可求得EF，BC的长，由（1）可知EN＝AM，然后证明△BNM为等边三角形，从而可得到BM＝MN，则AM+BM+MC＝EN+NM+MC≤EC，最后，依据勾股定理求得EC的长即可．
【详解】
解：（1）由旋转的性质可知：BN＝BM，BA＝BE．
∵△BAE为等边三角形，
∴∠EBA＝60°．
又∵∠MBN＝60°，
∴∠NBE＝∠MBA．
在：△AMB和△ENB中，BN＝BM，∠NBE＝∠MBA，BA＝BE，
∴△AMB≌△ENB．
（2）如图所示：连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，过点E作EF⊥BC，垂足为F．
∵△ABE为等边三角形，ABCD为正方形，
∴∠EBA＝60°，∠ABC＝90°，
∴∠EBC＝150°．
∴∠EBF＝30°．
∴
∴
由（1）可知：△AMB≌△ENB，
∴EN＝AM．
又∵BN＝BM，∠NBM＝60°，
∴△BNM为等边三角形．
∴BM＝MN．
∴AM+BM+MC＝EN+NM+MC≥EC．
∴AM+BM+MC的最小值
＝EC
过点M作MG⊥BC，垂足为G，设BG＝MG＝x，则NB＝x，
EN＝AM＝MC
∴
∴x＝
∴
本题主要考查的是主要考查的是旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的性质和判定，找出AM+BM+MC取得最小值的条件是解题的关键．
25、（1）见解析；（2）15°；（3）2+2．
【解析】
（1）在直角三角形ABC中，由AC=2AB，得到∠ACB=30°，再由折叠的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2）由（1）得到△ABB′为等边三角形，利用矩形的性质及等边三角形的内角为60°，即可求出所求角度数；
（3）连接AF，过A作AM⊥BF，可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B为等边三角形，分别利用三角函数定义求出MF与AM，根据AM=BM，即BM+MF=BF即可求出．
【详解】
（1）证明：∵在Rt△ABC中，AC=2AB，
∴∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°，
由旋转可得：AB′=AB，∠B′AC′=∠BAC=60°，
∴∠EAC′=∠AC′B′=30°，

∴AE=C′E；
（2）解：由（1）得到△ABB′为等边三角形，
∴∠AB′B=60°，即∠BB'F=∠AB'B+∠AB'F=150°，
∵BB'=B'F，
∴∠FBB′=∠B'FB=15°；
（3）解：连接AF，过A作AM⊥BF，可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B为等边三角形，
∴∠AFB′=45°，∠BB′F=150°，
∵BB′=B′F，
∴∠B′FB=∠B′BF=15°，
∴∠AFM=30°，∠ABF=45°，
在Rt△AMF中，AM=BM=AB•cs∠ABM=2=2，
在Rt△AMF中，MF=AM=2，
则BF=2+2．
此题参考四边形综合题，旋转的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，等边三角形、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
26、（1）；（2）．
【解析】
（1）先根据二次根式的性质进行化简，再去括号进行运算，即可得到答案；
（2）先根据二次根式的性质进行化简，进行运算，即可得到答案.
【详解】
（1）
=
=
=2
（2）
=
=
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是先化简再进行计算.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
成绩
人数
2
3
2
3
4
1
分数段
61--70
71--80
81--90
91--100
人数(人)
2
8
6
4