江苏省常州市勤业中学2024年九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】

这是一份江苏省常州市勤业中学2024年九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2015年为10.8万人次，2017年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（ ）
A．10.8（1+x）=16.8B．16.8（1﹣x）=10.8
C．10.8（1+x）2=16.8D．10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8
2、（4分）将点A（1，﹣1）向上平移2个单位后，再向左平移3个单位，得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1）
3、（4分）已知点A(a＋b，4)与点B(－2，a－b)关于原点对称，则a2－b2等于( )
A．8B．－8C．5D．－5
4、（4分）已知点都在反比例函数图象上，则的大小关系（ ）
A．．B．
C．D．
5、（4分）对一组数据：2，1，3，2，3分析错误的是（ ）
A．平均数是2.2B．方差是4C．众数是3和2D．中位数是2
6、（4分）反比例函数y＝-的图象位于（ ）
A．第一、二象限B．第三、四象限
C．第一、三象限D．第二、四象限
7、（4分）某中学在“一元钱捐助”献爱心捐款活动中，六个年级捐款如下（单位：元）：888， 868，688，886，868，668 那么这组数据的众数、中位数、平均数分别为（ ）
A．868，868，868B．868，868，811C．886，868，866D．868，886，811
8、（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，，则EC的长是（ ）
A．4.5B．8C．10.5D．14
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图P(3,4)是直角坐标系中一点，则P到原点的距离是________．
10、（4分）如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为_____cm．
11、（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上以C为起点，沿CBA的路径移动的动点，设P点经过的路径长为，△APD的面积是，则与的函数关系式为_______．
12、（4分）如图，点的坐标为，则线段的长度为_________.
13、（4分）一次函数的图像是由直线__________________而得．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图①，四边形是正方形，点是边的中点， ，且交正方形的外角平分线于点请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，完成所提出的问题.
（1）探究1：小强看到图①后，很快发现这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（个直角三角形，一个钝角三角形）考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M（如图②），连接EM后尝试着去证明就行了.随即小强写出了如下的证明过程：
证明：如图②，取AB的中点M，连接EM.
∵
∴
又∵
∴
∵点E、M分别为正方形的边BC和AB的中点，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
又∵是正方形外角的平分线，
∴，∴
∴
∴，
∴
（2）探究2：小强继续探索，如图③，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立小强进一步还想试试，如图④，若把条件“点E是边BC的中点”为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF仍然成立请你选择图③或图④中的一种情况写出证明过程给小强看.
15、（8分）如图，四边形ABCD中， BA=BC， DA=DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”， 其对角线AC、BD交于点M，请你猜想关于筝形的对角线的一条性质，并加以证明.
猜想：
证明：
16、（8分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线ykxb与 x轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图像相交于点 A(1，8)、B(m，2)．
(1)求该反比例函数和直线y kxb的表达式；
(2)求证：ΔOBC为直角三角形；
(3)设∠ACO＝α，点Q为反比例函数在第一象限内的图像上一动点，且满足90°－α＜∠QOC＜α，求点Q的横坐标q的取值范围．

17、（10分）某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420 km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2 h，求汽车原来的平均速度．
18、（10分）先化简,再求值: ，其中．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）若方程的解是正数，则m的取值范围_____．
20、（4分）如图，中，，若动点从开始，按C→A→B→C的路径运动（回到点C就停止），且速度为每秒，则P运动________秒时， 为等腰三角形．（提示：直角三角形中，当斜边和一条直角边长分别为和时，另一条直角边为）
21、（4分）已知一组数据含有20个数据：68，69，70，66，68，65，64，65，69，62，67，66，65，67，63，65，64，61，65，66，如果分成5组，那么64.5～66.5这一小组的频数为_________，频率为_________．
22、（4分）函数自变量的取值范围是______.
23、（4分）若正比例函数的图象过点和点，当时，，则的取值范围为__________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，且与直线交于.
（1）求出点的坐标
（2）当时，直接写出x的取值范围.
（3）点在x轴上，当△的周长最短时，求此时点D的坐标
（4）在平面内是否存在点,使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
25、（10分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点．且BF=DE，求证:AF＝CE.
26、（12分）如图1，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点C（3，0），顶点D（0，4），过点A作AF⊥y轴于F点，过点B作x轴的垂线交过A点的反比例函数y＝（k＞0）的图象于E点，交x轴于G点．
（1）求证：△CDO≌△DAF．
（2）求反比例函数解析式及点E的坐标；
（3）如图2，过点C作直线l∥AE，在直线l上是否存在一点P使△PAC是等腰三角形？若存在，求P点坐标，不存在说明理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
试题分析：设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×（1+增长率）2=16.8万人次，根据等量关系列出方程10.8（1+x）2=16.8，
故选C．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程
2、C
【解析】分析：让A点的横坐标减3，纵坐标加2即为点B的坐标.
详解：由题中平移规律可知：点B的横坐标为1-3=-2；纵坐标为-1+2=1，
∴点B的坐标是（-2，1）．
故选：C.
点睛：本题考查了坐标与图形变化-平移，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加.
3、B
【解析】
直接利用关于原点对称点的性质得出a+b，a-b的值，进而得出答案．
【详解】
∵点A（a+b，4）与点B（-2，a-b）关于原点对称，
，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）=2×（-4）=-1．
故选B．
考查了关于原点对称点的性质，正确应用平方差公式是解题关键．
4、B
【解析】
根据反比例函数图象的性质：当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小判断求解即可．
【详解】
解：∵中，，
∴图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小，
∵点A、B位于第一象限，且，
∴，
∵点C位于第三象限，
∴
∴的大小关系是：
故选：B．
本题考查的知识点是反比例函数的性质，掌握反比例函数的图象和性质是解此题的关键．
5、B
【解析】
根据平均数、方差、众数、中位数的定义以及计算公式分别进行解答即可．
【详解】
解：A、这组数据的平均数是：（2＋1＋3＋2＋3）÷5＝2.2，故正确；
B、这组数据的方差是：[（2−2.2）2＋（1−2.2）2＋（3−2.2）2＋（2−2.2）2＋（3−2.2）2]＝0.56，故错误；
C、3和2都出现了2次，出现的次数最多，则众数是3和2，故正确；
D、把这组数据从小到大排列为：1，2，2，3，3，中位数是2，故正确．
故选：B．
此题主要考查了平均数、方差、众数、中位数的含义和求法，熟练掌握定义和求法是解题的关键，是一道基础题
6、D
【解析】
根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k＞0，位于一、三象限；k＜0，位于二、四象限．
【详解】
∵y=-，k=-6＜0，
∴函数图象过二、四象限．
故选D．
本题考查反比例函数的图象和性质：当k＞0，位于一、三象限；k＜0，位于二、四象限，比较简单，容易掌握．
7、B
【解析】
根据众数的定义即可得出众数,根据题目中的数据可以按照从小到大的顺序排列，从而可以求得这组数据的中位数，根据平均数公式即可得出平均数．
【详解】
解：由888， 868，688，886，868，668可知众数为:868
将888， 868，688，886，868，668进行排序668，688， 868，868，886，888，可知中位数是：
平均数为：
故答案为:868，868，811
故选：B
本题考查了众数、平均数、中位数的求法，解决本题的关键是明确它们的意义才会计算，求平均数是用一组数据的和除以这组数据的个数；中位数的求法分两种情况：把一组数据从小到大排成一列， 正中间如果是一个数，这个数就是中位数，如果正中间是两个数，那中位数是这两个数的平均数.
8、B
【解析】
利用相似三角形的判定与性质得出，求出EC即可．
【详解】
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴，即
解得：EC=1．
故选B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、5
【解析】
根据勾股定理，可得答案．
【详解】
解： PO==5，
故选： C．
本题考查了点的坐标，利用勾股定理是解题关键．
10、4.1
【解析】
直接利用勾股定理得出菱形的边长，再利用菱形的面积求法得出答案．
【详解】
解：∵菱形的两条对角线分别为6cm和1cm，
∴菱形的边长为：＝5（cm），
设菱形的高为：xcm，则5x＝×6×1，
解得：x＝4.1．
故答案为：4.1．
此题主要考查了菱形的性质，正确得出菱形的边长是解题关键．
11、
【解析】
分两种情况：点P在CB边上时和点P在AB边上时，分别利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】
当点P在BC边上时，即时，
；
当点P在AB边上时，即时，
；

故答案为：．
本题主要考查一次函数的应用，分情况讨论是解题的关键．
12、
【解析】
根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：∵点A坐标为（2，2），
∴AO＝，
故答案为：.
本题考查了勾股定理的运用和点到坐标轴的距离：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
13、向上平移五个单位
【解析】
根据“上加下减”即可得出答案．
【详解】
一次函数的图像是由直线向上平移五个单位得到的，
故答案为：向上平移五个单位．
本题考查一次函数图象的平移，熟记“上加下减，左加右减”的平移规律是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、见解析
【解析】
在AB上截取AM=EC，连接ME，然后证明∠EAM=FEC，∠AME=∠ECF=135°，再利用“角边角”证明△AEM和△EFC全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明；
【详解】
（2）探究2：选择图③进行证明：
证明：如图③在上截取，连接.

由（1）知∠EAM=∠FEC，
∵AM=EC，AB=BC，
∴BM=BE，
∴∠BME=45°，
∴∠AME=∠ECF=135°，
∵∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
又∵∠EAM+∠AEB=90°，
∴∠EAM=∠FEC，
在△AEM和△EFC中，
∴△AEM≌△EFC（ASA），
∴AE=EF；
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，阅读材料，理清解题的关键是取AM=EC，然后构造出△AEM与△EFC全等是解题的关键．
15、筝形有一条对角线平分一组对角，即BD平分∠ABC且BD平分∠ADC；证明见解析
【解析】
利用SSS定理证明△ABD≌△CBD，可得∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB，从而可写出关于筝形的对角线的一条性质，筝形有一条对角线平分一组对角.
【详解】
解：筝形有一条对角线平分一组对角，即BD平分∠ABC且BD平分∠ADC
证明：∵在△ABD和△CBD中
BA=BC，DA=DC，BD=BD
∴△ABD≌△CBD(SSS)
∴∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB
即BD平分∠ABC，且BD平分∠ADC.
本题考查全等三角形的判定及性质，掌握SSS定理及全等三角形对应角相等是本题的解题关键.
16、（1）；；（2）证明见解析；(3)．
【解析】
（1）首先利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后求得B的坐标，则利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）过点B作BD⊥OC于点D，在直角△OBD和直角△OBC中，利用勾股定理求得和，然后利用勾股定理的逆定理即可证明；
（3）分成Q在B的左侧和右侧两种情况讨论，当在右侧时一定不成立，当在左侧时，判断是否存在点Q时∠QCO=90°-α即可．
【详解】
(1)设反比例函数的解析式是y=kx，
把(1,8)代入得k=8，
则反比例函数表达式为，
把(m,2)代入得，
则B的坐标是(4,2).
根据题意得：，
解得：，
，则直线表达式y=−2x+10；
(2)过点B作BD⊥OC于点D,(图1)则D的坐标是(4,0).
在y=−2x+10中，令y=0，解得x=5，则OC=5.
∵在直角△OBD中，BD=2，DC=OC−OD=5−4=1，
则，
同理,直角△BCD中, ，
∴，
∴△OBC是直角三角形；
(3)当Q在B的右侧时一定不成立，
在y=−2x+10中,令x=0,则y=10,

则当Q在的左边时,(图2)tan∠ACO=tanα=2，
则tan(90°−α)= .
当∠QCO=90°−α时,Q的横坐标是p,则纵坐标是，
tan∠QCO=tan(90°−α)= :(5−p)=
即，
△=25−4×16=−39