福建省福州第八中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

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一、单选题（共40分）
1．2015年以来，我国的年度GDP数据如下表：
设时间为，与其对应的年度GDP为，那么（ ）
A．68.5506B．74.4127C．82.7121D．91.9281
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知函数定义域是，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
4．若函数恰有个零点，则的取值范围为
A．B．
C．D．
5．已知f(x)是奇函数，当时，，设，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知是定义在R上的奇函数，当时，.对于任意不小于2的正整数n，当时，都满足.给出以下命题：
①的值域为；
②当时，；
③当时，方程有且只有三个实根.
以上三个命题中，所有真命题的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
7．已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则关于的方程在上的所有实数解之和为（ ）
A．-7B．-6C．-3D．-1
8．设集合，，下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（共18分）
9．若，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知，，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．设是定义在上的函数，对，有，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题（共15分）
12．用列举法将方程的解集表示为 ．
13．如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4，AD＝3，那么当BM＝ 时，矩形花坛的AMPN面积最小，最小面积为 ．
14.已知定义域为的函数，且满足，函数，若函数有7个零点，则k的取值范围为 ；若方程（）的解为、、、，则的取值范围为
四、解答题（共77分）
15．（本题13分）已知函数.
（I）判断函数的奇偶性并证明；
（II）若，证明：函数在区间上是增函数.
16．（本题14分）现定义：设是非零实常数，若对于任意的，都有，则称函数为“关于的偶型函数”
（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明
（2）设定义域为的“关于的偶型函数”在区间上单调递增，求证在区间上单调递减
（3）设定义域为的“关于的偶型函数”是奇函数，若，请猜测的值，并用数学归纳法证明你的结论
17．（本题15分）解不等式：.
18．（本题16分）已知函数，且不等式对一切实数恒成立.
（1）求函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，设函数，关于的不等式，在有解，求实数的取值范围.
19．（本题19分）已知函数.
(1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若方程有两个实根，，且，求证：.
参考数据：，.时间（年）
2015
2016
2017
2018
2019
GDP（万亿元）
68．5506
74．4127
82．7121
91．9281
99．0865