内蒙古鄂尔多斯市东胜区第一中学2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份内蒙古鄂尔多斯市东胜区第一中学2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共18页。试卷主要包含了下列命题中，真命题的个数是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共13小题）
1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ）
A．B．C．D．
解析：解：A、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．
C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
2．将抛物线y＝﹣2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣2（x+2）2+3B．y＝﹣2（x﹣2）2+3
C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3D．y＝﹣2（x+2）2﹣3
解析：解：将抛物线y＝﹣2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣2）2+3，
故选：B．
3．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
解析：解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元一次方程，解为x＝﹣，
当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，
∵Δ＝22﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数值y与自变量x之间的部分对应值如表所示：
点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数的图象上，当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1⩾y2D．y1⩽y2
解析：解：设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵x＝0时y＝﹣4；x＝1时y＝﹣1；x＝2时y＝0，
∴，
解得，，
∴此抛物线的解析式为：y＝x2+4x﹣4，
∴抛物线开口向下，对称轴x＝﹣2，对称轴越近值越小，
∴可知抛物线顶点为（﹣2，8），
∵1＜x1＜2，3＜x2＜4，
∴y1＜y2．
故选：B．
5．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200×2x＝100
C．200+2003x＝1000
D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
解析：解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x，
∴该超市二月份的营业额为200（1+x）万元，三月份的营业额为200（1+x）2万元，
又∵第一季度的总营业额共1000万元，
∴200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．
故选：D．
6．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①经过三点一定可以作圆；②平分弦的直径必定垂直于这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心到三角形三边的距离相等．
A．4个B．3个C．2个D．1个
解析：解：①过不在同一直线上的三点一定可以作一个圆，错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误，
③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；
④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，错误；
真命题有1个，
故选：D．
7．已知二次函数y＝ax2+2ax+1（其中x是自变量），当x≥1时，y随x的增大而增大，且﹣3≤x≤2时，y的最大值为9，则a的值为（ ）
A．﹣1B．C．1D．﹣8
解析：解：∵二次函数y＝ax2+2ax+1＝a（x+1）2﹣a+1（其中x是自变量），
∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，
∵当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
又∵当﹣3≤x≤2时，y的最大值为9，
∴x＝2时，y＝9，
即9＝a（2+1）2﹣a+1，
解得，a＝﹣1，
故选：C．
8．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
解析：解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＞0，故选项正确；
D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的对称轴x＝﹣＜0，故选项错误．
故选：C．
9．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝24°，则∠DCA的度数为（ ）
A．40°B．41°C．42°D．43°
解析：解：如图，连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∵∠BAC＝24°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣24°＝66°，
根据翻折的性质，弧AC所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∵∠ADC+∠CDB＝180°，
∴∠B＝∠CDB＝66°，
∴∠DCA＝∠CDB﹣∠BAC＝66°﹣24°＝42°．
故选：C．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN．设运动时间为ts，△MND的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，
∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，AC＝BC＝6，
∵CD⊥AB，
∴CD＝AC＝3，AD＝CD＝3，BD＝BC＝，
∴当M在AD上时，0≤t≤3，
MD＝AD﹣AM＝3﹣t，DN＝DC+CN＝3+t，
∴S＝MD•DN＝（3﹣t）（3+t）＝﹣t2+，
当M在BD上时，3＜t≤4，
MD＝AM﹣AD＝t﹣3，
∴S＝MD•DN＝（t﹣3）（3+t）＝t2﹣，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．已知函数y＝（m+2）-2是关于x的二次函数．满足条件的m＝ ﹣3或2 ．
解析：解：由题意得：
m2+m﹣4＝2且m+2≠0，
∴m＝﹣3或m＝2且m≠﹣2，
∴m＝﹣3或2，
故答案为：﹣3或2．
已知关于x的方程k2x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是
k≤且k≠0
解析：解：根据题意得k≠0且Δ＝4（k﹣1）2﹣4k2≥0，
解得k≤且k≠0．
13．在同一个平面直角坐标系xOy中，二次函数y1＝a1x2，y2＝a2x2，y3＝a3x2的图象如图所示，则a1，a2，a3的大小关系为 a3＞a2＞a1 （用“＞”连接）．
解析：解：∵二次函数y1＝a1x2的开口最大，二次函数y3＝a3x2的开口最小，
∴a3＞a2＞a1，
故答案为：a3＞a2＞a1．
14．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣4）2+3，由此可知铅球推出的距离是 10 m．
解析：解：令函数式y＝﹣（x﹣4）2+3中，y＝0，
0＝﹣（x﹣4）2+3，
解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
即铅球推出的距离是10m．
故答案为：10．
15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：
①abc＜0；
②2a﹣b＝0；
③3a＜﹣c；
④若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b；
⑤若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中结论正确的是②③⑤
解析：解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴b＜0，
∵抛物线与x轴交点在y轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，①错误．
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，②正确．
由图象可得x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，
∴3a＜﹣c，③正确．
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y取最大值，
∴a﹣b+c≥am2+bm+c，
∴a﹣bm≥am2+b，④错误．
若图象经过点（﹣3，﹣2），由抛物线对称性可得图象经过（1，﹣2），
∵|x1|＜|x2|，
∴x1＝1，x2＝﹣3为方程ax2+bx+c+2＝0的两根，
∴2x1﹣x2＝﹣5，⑤正确．
16．如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是 （﹣2023，2022） ．
解析：解：∵将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，
∴D1（1，2），
∵再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……
∴D2（﹣3，2），D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……，
观察发现：每四个点一个循环，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），
∵2022＝4×505+2，
∴D2022（﹣2023，2022）；
故答案为：（﹣2023，2022）．
三．解答题（共9小题）
17．解下列方程．
（Ⅰ）x（3x+2）＝6（3x+2）；
（Ⅱ）3x2﹣2x﹣4＝0．
解析：解：（Ⅰ）x（3x+2）＝6（3x+2），
x（3x+2）﹣6（3x+2）＝0，
（3x+2）（x﹣6）＝0，
3x+2＝0或x﹣6＝0，
所以x1＝﹣，x2＝6；
（Ⅱ）3x2﹣2x﹣4＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣4）＝4+48＝52，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
（1）若x＝1是这个方程的一个根，求m的值和它的另一根；
（2）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
解析：（1）解：将x＝1代入原方程得：1﹣（m+3）+3m＝0，
解得：m＝1，
∴方程的另一根为3m÷1＝3m．
∴m的值为1，方程的另一根为3．
（2）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．
∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形．
（2）平移△A1B1C，使点A1的对应点A2坐标为（2，0），请画出平移后对应的△A2B2C2的图形．
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
解析：解：（1）如图，△A1B1C即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）如图，点（﹣1，﹣1）即为所求．
20．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大．
解析：解：设涨价x元，利润为y，
则y＝（60﹣40+x）（300﹣10x）
＝﹣10x2+100x+6000
＝﹣10（x﹣5）2+6250
因此当x＝5时，y有最大值6250．
60+5＝65元
每件定价为65元时利润最大．
设每件降价a元，总利润为w，
则w＝（60﹣40﹣a）（300+20a）
＝﹣20a2+100a+6000
＝﹣20（a﹣2.5）2+6125
因此当a＝2.5时，w有最大值6125．
每件定价为57.5元时利润最大．
综上所知每件定价为65元时利润最大．
21．为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．
（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？
（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
解析：解：（1）根据题意，顶点P的坐标为（6，6），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+6，
把点O（0，0）代入得：36a+6＝0，
解得：，
即所求抛物线的解析式为：（0≤x≤12）；
（2）根据题意，当x＝6﹣0.5﹣3.5＝2时（或者当x＝6+0.5+3.5＝10）时，
，
∴这辆货车不能安全通过；
（3）设A点的坐标为，
则OB＝m，，
根据抛物线的对称性可得CM＝OB＝m，
∴BC＝12﹣2m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝12﹣2m，，
∴三根支杆AB，AD，DC的长度之和：＝，
∴当m＝3，即OB＝3米时，三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值为15．
22．已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；
（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
解析：解：（1）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°．
∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴由勾股定理得到：AC＝＝＝8．
∵AD平分∠CAB，
∴＝，
∴CD＝BD．
在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，
∴易求BD＝CD＝5；
（2）如图②，连接OB，OD，
∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB＝∠CAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．
又∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝OB＝OD．
∵⊙O的直径为10，则OB＝5，
∴BD＝5．
23．（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PC现将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，连接PP′．若PA＝，PB＝3，∠APB＝135°，则PC的长为 2 ，正方形ABCD的边长为 ．
（变式猜想）（2）如图2，若点P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，请猜想∠APB的度数，并说明理由．
（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：
如图3，在四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长度为 ．
解析：解：（1）∵△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，
∴BP＝BP′＝3，P′C＝PA＝，∠PBP′＝90°，∠BP′C＝∠APB＝135°，
∴△BPP′为等腰直角三角形，
∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB＝3，
∴∠PP′C＝135°﹣45°＝90°，
在Rt△PP′C中，由勾股定理得：PC＝＝＝2，
过点A作AE⊥BP交BP的延长线于E，如图1所示：
∵∠APB＝135°，
∴∠APE＝180°﹣135°＝45°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴AE＝PE＝PA＝×＝1，
∴BE＝PB+PE＝3+1＝4，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
故答案为：2，；
（2）∠APB的度数为150°，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，如图2所示：
则△BPP′是等边三角形，
∴PP′＝BP＝4，∠BPP′＝60°，
∵AP＝3，AP′＝PC＝5，
∴P'P2+AP2＝AP'2，
∴△APP′为直角三角形，
∴∠APP′＝90°，
∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝90°+60°＝150°；
（3）∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，
∴△BAC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝90°，AB＝AC，
将△ABD绕点A顺时针旋转90°，得到△ACK，连接DK，如图3所示：
由旋转的性质得：AK＝AD＝3，CK＝BD，∠KAD＝90°，
∴△DAK是等腰直角三角形，
∴DK＝AD＝3，∠ADK＝45°，
∴∠CDK＝∠ADC+∠ADK＝45°+45°＝90°，
∴△CDK是直角三角形，
∴CK＝＝＝，
∴BD＝，
故答案为：．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣4，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点P是抛物上第三象限内的一动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABCP的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形ABCP的面积；
（3）点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣4，0）、B（3，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；
（2）如图，设点P的坐标为（m，m2+m﹣4），则﹣4＜m＜0，m2+m﹣4＜0．连接OP．
∵S四边形ABCP＝S△AOP+S△COP+S△BOC
＝×4（﹣m2﹣m+4）+×4（﹣m）+×4×3
＝﹣m2﹣m+14
＝﹣（m+2）2+，
∴当m＝﹣2时，四边形ABCP的面积最大，最大值为，此时点P的坐标为（﹣2，﹣）；
（3）存在这样的点M、N，能够使得以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形．理由如下：
∵OB＝3，OC＝4，∠BOC＝90°，
∴BC＝＝5．
设M点的坐标为（﹣，y），分两种情况讨论：
（i）以BC为边长时，
如果四边形CBMN是菱形，那么BM＝BC，
即（3+）2+y2＝25，解得y＝±，
即存在M（﹣，）或（﹣，﹣），能够使以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形；
如果四边形BCMN是菱形，那么CM＝BC，
即（0+）2+（y+4）2＝25，
整理，得4y2+32y﹣35＝0，解得y＝﹣4±，
即存在M（﹣，﹣4+）或（﹣，﹣4﹣），能够使以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形；
（ii）以BC为对角线时，四边形MCNB是菱形，则BM＝CM，
即（3+）2+y2＝（0+）2+（y+4）2，解得y＝﹣，
即存在M（﹣，﹣），能够使以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形；
综上可知，存在这样的点M、N，使得以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形，此时点M的坐标为：M1（﹣，），M2（﹣，﹣4+），M3（﹣，﹣），M4（﹣，﹣4﹣），
M5（﹣，﹣）．
x
…
0
1
2
3
4
⃯
y
…
﹣4
﹣1
0
﹣1
﹣4
⃯