内蒙古呼和浩特市回民区2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份内蒙古呼和浩特市回民区2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共13页。
A．
B．
C．
D．
答案：C．
2．（3分）在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个B．3个C．2个D．1个
答案：A．
3．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9
答案：C．
4．（3分）已知点A（a，2022）与点A′（﹣2023，b）是关于原点O的对称点（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
答案：A．
5．（3分）抛物线y＝3x2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝3（x﹣3）2﹣3B．y＝3x2
C．y＝3（x+3）2﹣3D．y＝3x2﹣6
答案：A．
6．（3分）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格六月底是7.5元/升，八月底是8.4元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，正确的是（ ）
A．7.5（1+x2）＝8.4
B．7.5（1+x）2＝8.4
C．8.4（1﹣x）2＝7.5
D．7.5（1+x）+7.5（1+x）2＝8.4
答案：B．
7．（3分）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D．
8．（3分）如表是一组二次函数y＝x2+bx+c的自变量和函数值的关系，那么方程x2+bx+c＝0的一个近似根是（ ）
A．1.2B．2.3C．3.4D．4.5
答案：B．
9．（3分）已知二次函数y＝mx2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2（ ）
A．﹣2B．1C．2D．﹣1
答案：C．
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＞3时；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣2＞8a；其中正确的结论是（ ）
A．①③④B．①②③C．①②④D．①②③④
答案：B．
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程）
11．（3分）二次函数y＝2（x﹣3）2+5的顶点是 （3，5） ．
12．（3分）已知关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为 ﹣1 ．
13．（3分）已知α、β是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 ﹣1 ．
14．（3分）善化寺位于山西大同市，始建于唐开元年间，是国务院公布的第一批全国文物重点保护单位．如图是善化寺的平面示意图，图中阴影部分是两条东西向走道和一条南北向走道．已知南北向走道宽度是东西向走道宽度的倍，AB的长为104米，矩形ABCD除去阴影部分的面积为6060平方米，设东西向走道的宽度为x米 （71﹣x）（104﹣2x）＝6060 ．
15．（3分）如图，BD是⊙O的弦，点C在BD上，点A在圆内，且AC恰好经过点O，OA＝8，则BD的长为 20 ．
16．（3分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AB＝4，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，点F在直线AF上且DF＝BC，则BE最小值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
17．（6分）解方程：
（1）x2﹣6x﹣4＝0．
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
解：（1）移项得，x2﹣6x＝5，
配方得，x2﹣6x+8＝4+9，
即（x﹣2）2＝13，
开平方得，，
∴，；
（2）方程变形得：2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝7，
分解因式得：（x﹣3）（2x﹣7﹣x﹣3）＝0，
解得：x5＝3，x2＝5．
18．（8分）如图，是由小方格组成的网格纸，每个方格的边长都是1个单位长度，点A、B、C、O均在格点上．
（1）在图①中，作出△ABC向右平移4个单位长度的三角形；
（2）在图②中，作出△ABC绕点O沿顺时针方向旋转90°得到的三角形；
（3）在图③中，请在线段MN上找到一点P，连结AP和CP（请保留作图痕迹）．
解：（1）如图①，△QMN即为所求；
（2）如图②，△CDE即为所求；
（3）如图③，点P即为所求．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程ax2+x﹣a＝0（a≠0）．
（1）求证：对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根；
（2）设x1、x2是该方程的两个根，若|x1|+|x2|＝4，求a的值．
解：（2）∵x8•x2＜0．
∴|x3|+|x2|＝|x1﹣x7|＝4．
则（x1+x6）2﹣4x4x2＝16．
又∵x1+x2＝﹣．
∴+4＝16．
∴a＝±．
【点评】（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
①Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
②Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
③Δ＜0⇔方程没有实数根．
（2）一元二次方程根与系数的关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
20．（12分）许多数学问题于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①），可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称．OC＝1分米分米，A，B两点之间的距离是4分米．
（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+k，求a和k的值；
（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求点F的坐标；
（3）将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，得到一条新抛物线，且OD＝OC
解：（1）设抛物线的表达式为：y＝ax2+c，
由题意得，点A的坐标为：（2、点C（7，
则，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣0.6x2+1①；
（2）由点A的坐标得，直线OA的表达式为：y＝4.3x②，
联立①②得：0.4x＝﹣0.1x2+1，
解得：x＝2（舍去）或﹣5，
即点F（﹣5，﹣1.2），
则EF＝5×2＝10；
（3）平移后的抛物线表达式为：y＝﹣8.1（x﹣m）2+5，
令x＝0，则y＝﹣0.5m2+1，此时抛物线与y轴的交点为D（62+1），
∵OD＝OC，
即|﹣0.4m2+1|＝×1，
解得：m＝±3或±4（舍去负值），
即m＝2或3．
21．（9分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，CD＝8．
（1）求⊙O的半径长；
（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长．
解：（1）连接OD，如图，
∵AB⊥CD，
∴∠OED＝90°，DE＝CE＝×8＝6，
在Rt△ODE中，∵OE＝r﹣2，DE＝4，
∴（r﹣5）2+45＝r2，
解得r＝5，
即⊙O的半径长为4；
（2）在Rt△BCE中，∵CE＝4，
∴BC＝＝6，
∵OF⊥BC，
∴BF＝CF＝BC＝2，
在Rt△OBF中，OF＝＝＝，
即OF的长为．
22．（7分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，点P从点A出发；同时点Q从点C出发，以每秒2cm的速度沿CB运动，点P同时停止运动．
（1）求运动几秒时△PCQ的面积为5cm2？
（2）△PCQ的面积能否等于10cm2？若能，求出运动时间；若不能；
（3）是否存在某个时刻t，使四边形ABQP的面积最小？若存在，求出运动时间，说明理由．
解：（1）设运动t秒后△PCQ的面积等于5cm2，
根据题意得：AP＝t，CQ＝2t，
则△PCQ的面积＝CQ•CP＝，
解得：t1＝2，t2＝5（舍去），
∴经过5秒后，△PCQ的面积等于5cm2．
（2）△PCQ的面积不能等于10cm7，理由如下：
若△PCQ的面积等于10cm2，
则×（6﹣t）×2t＝10，
化简得，t8﹣6t+10＝0，
∵Δ＝b7﹣4ac＝36﹣40＝﹣4＜5，
∴方程无实数根，
∴△PCQ的面积不能等于10cm2；
（3）存在某个时刻t，使四边形ABQP的面积最小
由题意可得：S四边形ABQP＝S△ABC﹣S△PCQ＝×2t×（6﹣t）＝t8﹣6t+24，
∵a＝1＞8，
∴四边形ABQP的面积有最小值，
∵S四边形ABQP＝t2﹣6t+24＝（t﹣8）2+15，
∴当t＝3秒时，四边形ABQP的面积有最小值为15cm8．
23．（10分）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点（﹣3，0）、（0，4），抛物线y＝x2+bx+c经过B点，且顶点在直线x＝上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上
（3）在（2）的条件下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，MN的长度为s，求s与t之间的函数关系式，并求s取大值时，点M的坐标．
解：（1）∵y＝x6+bx+c的顶点在直线x＝上，
∴可设所求抛物线对应的函数关系式为y＝（x﹣）2+m，
∵点B（0，4）在此抛物线上，
∴4＝（0﹣）2+m，
∴m＝﹣，
∴所求函数关系式为：y＝（x﹣）2﹣＝x2﹣x+6；
（2）在Rt△ABO中，OA＝3，
∴AB＝＝5．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝DA＝AB＝5，
∵A、B两点的坐标分别为（﹣4、（0，
∴C、D两点的坐标分别是（5、（5；
当x＝5时，y＝2﹣×3+4＝4，
当x＝5时，y＝2﹣×2+2＝0，
∴点C和点D在所求抛物线上；
（3）设直线CD对应的函数关系式为y＝kx+n，
则，
解得：；
∴y＝x﹣．
∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，
∴N点的横坐标也为t，且2＜t＜7；
则yM＝t8﹣t+4，yN＝t﹣，
∴s＝yN﹣yM＝（t﹣t2﹣t+7）
＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝时，s最大＝，此时yM＝×（）2﹣×+4＝．
此时点M的坐标为（，）．
24．（12分）抛物线y＝﹣x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点
（1）直接写出A，B，C三点的坐标为A （﹣2，0） ，B （3，0） ，C （0，4） ；
（2）连接AP，CP，AC△APC＝2，求点P的坐标；
（3）连接AP，BC，是否存在点P∠ABC，若存在，若不存在，请说明理由．
解：（1）令x＝0，则y＝4，
令y＝8，则﹣，
∴x＝﹣8或x＝3，
∴A（﹣2，5），0），4）．
故答案为：（﹣7，0），0），2）；
（2）如图，连接OP，
设，
则S△PAC＝S△AOC+S△POC﹣S△AOP
＝
＝4+5m+m6﹣m﹣8
＝m3﹣m
＝8，
解得：m1＝1，m2＝﹣3（舍），2m方/7+4m/3＝4
∴点P的坐标为（1，4）；
（3）存在点P使得，理由如下：
如图2，在AB的延长线上截取BF＝BC，过点B作BE⊥x轴，连接AE，
在Rt△BOC中，
∵OB＝3，OC＝4，
∴BC＝BF＝5，
∵AO＝5，
∴AB＝BF＝5，
∵BE⊥x轴，
∴AE＝EF，
∴∠EAB＝∠EFB＝ABC，
∵F（8，0），3）．
∴直线CF的解析式为：y＝﹣x+5，
令x＝3，则y＝，
∴E（3，），
∵A（﹣2，0），
∴直线AE的解析式为：y＝x+1，
联立：，
解得：（舍），
∴点P的坐标为．
x
1
2
3
4
y
﹣3
﹣1
3
9