2024-2025年北师大版九年级上册数学期中测试题（1-4单元）

这是一份2024-2025年北师大版九年级上册数学期中测试题（1-4单元），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．（为常数）
2．如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长是（ ）
A．4B．5C．6D．
3．如图，矩形在平面直角坐标系内，点的坐标为，则对角线的长为（ ）
A．4B．C．D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴于点，轴于点，点在上．将沿直线翻折，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．关于的一元二次方程有两个实数根，的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
6．已知方程的一个根是1，则的值为（ ）
A．B．5C．6D．7
7．一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在四边形中，、交于点，在上且，，则以下结论不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在中，D，E，F分别是边上的点，，且，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
二、填空题（每题3分，共30分）
11．如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作于点，若，菱形的面积为，则的长为 ．
12．如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分交于点，若，则的度数为 ．
13．已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则三角形的周长为 ．
14．已知实数m，n满足，则的值为 ．
15．在一个不透明的盒子中装有10个红球、若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．在看不到的条件下，通过随机摸球试验，发现摸出一个球是红球的频率为，则盒子中有 个黑球．
16．如图，在矩形中，点是对角线的中点，连接，将延翻折，得到，连接．若，，则 ．
17．如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．旗杆高度为 m．
18．如图，平行四边形A中，点为线段与的交点，若，，点为线段上一点，且，点是线段上的一点．若在线段上有且只有两个点使得与相似，则m的值为 ．
19．如图，在一块长、宽的矩形空地上，修建同样宽的两条相互垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 ，则修建的路宽应为 m．
20．在平面坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为1,0，点的坐标为0,2，延长交轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形，…按这样的规律进行下去，第2025个正方形的面积为 .

三、解答题（共60分）
21．选择适当的方法解方程
(1)； (2)；
22．在等边三角形中，，点M，N分别是，上的点，且．
(1)求证：；
(2)点M在什么位置时，的长为．
23．如图，在中，点D，E分别在边，AB上，BD，CE相交于点O，且，
求证：
(1)；
(2)．
24．如图，中，，，是由绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点D．
(1)求证：；
(2)当四边形为菱形时，求的长．
25．如图，在正方形中，是对角线上一点，点在的延长线上，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若，试判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
26．3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
根据上述信息，解决下列问题．
(1)本次调查总人数为______，并补全条形统计图；（要求在条形图上方注明人数）
(2)若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数；
(3)该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
27．综合与运用
如图，在矩形中，点M从A点出发沿以的速度向B点运动，同时点N从B点出发沿以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设点M、N的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，?
(2)当t为何值时，的面积是面积的一半?
(3)当t为何值时，是以为斜边的直角三角形?
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，由此逐项判断即可得解．
【详解】解：A、不是整式方程，故不符合题意；
B、中含有两个未知数，故不符合题意；
C、是一元二次方程，故符合题意；
D、当时，不是一元二次方程，故不符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，由矩形的性质得出，证明是等边三角形，得出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选：D．
3．B
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，连接，由矩形的性质得到，再由坐标系中点到原点的距离计算公式求出的长即可得到答案．
【详解】解；如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点B的坐标为，
∴，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，坐标与图形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．设，由折叠性质得到，，利用勾股定理计算出，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程求出，即可得到点的坐标．
【详解】解：如图，
轴，轴，
，
四边形是矩形，
又点的坐标为，
，，
设，
与关于直线对称，
，，
在中，，
．
在中，，
，
即，
解得：，
点的坐标是，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与方程根的个数之间的关系，掌握此关系是解题的关键．
根据题意得到关于k的不等式，解不等式，同时，即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
，
且．
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了一元二次方程的根，把方程已知的根代入方程中，即可求得m的值．
【详解】解：∵方程的一个根是1，
∴，
∴，
故选B．
7．A
【分析】本题主要考查了概率的计算，根据题意画出图形，得出所有可能的情况数，然后找出符合题意的情况数，最后根据概率公式求出结果即可．
【详解】解：如图，
根据图可知：以B，C，D随机而坐的结果数共有6种，其中A与B不相邻而坐的结果有2种，
∴A与B不相邻而坐的概率为：．
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等角对等边．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
证明，则，证明，则，即，可判断C的正误；由，，证明，则，，可判断A的正误；设到上的高为，到上的高为，由，可得，可判断D的正误；当时，，由的大小关系不确定，可知，不一定成立，可判断B的正误．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，C成立，故不符合要求；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，A成立，故不符合要求；
设到上的高为，到上的高为，
∴，
∴，D成立，故不符合要求；
当时，，
∵的大小关系不确定，
∴，不一定成立，故B符合要求；
故选：B．
9．A
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用．熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键．
根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
10．B
【分析】证明，可得，可判断结论①；由，可判断结论②；由正方形的性质可得垂直平分，，可得，由角的数量关系可推出，可判断结论③；证明，可判断结论④；即可得解．
【详解】解：设，
∵四边形是正方形，，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，故结论①错误；
在中，，
∴，
∴，故结论②错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴垂直平分，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴平分，故结论③正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，故结论④正确，
∴正确结论的个数是个．
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等边对等角，平行线的性质等知识，掌握正方形的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
11．
【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，掌握菱形的面积公式“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”是解题的关键．
根据菱形面积的计算公式求得，再根据菱形对角线互相垂直平分线，利用勾股定理求出，进而利用菱形面积等于底×高，计算出菱形的高即可解答．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵菱形的面积为12，，
∴，即
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴
又∵，
∴菱形的面积，
∴．
∴
故答案为：4．
12．
【分析】此题考查了矩形的性质，三角形外角性质，根据矩形的性质得到，根据角平分线求出，由此得到，再根据三角形外角性质求出答案．
【详解】解：在矩形中，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为．
13．
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程、三角形三边关系的应用，先解一元二次方程得出，，再根据三角形三边关系判断即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得：，，
当第三边为时，，不满足三角形三边关系，不符合题意；
当第三边为时，，满足三角形三边关系，符合题意，此时周长为．
故答案为：
14．
【分析】本题考查配方法的应用．先把原式转化为，可得当，时，等式成立，即可求得，，再代入求值即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
即，，
∴，，
∴，
故答案为：．
15．5
【分析】本题考查了概率的求法，利用频率估计概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．设黑球的个数为x个，根据概率的求法得：，解方程即可求出黑球的个数．
【详解】解：设黑球的个数为x个，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴黑球的个数为5，
故答案为：5．
16．
【分析】连接，延长交于点，由勾股定理得，则，可证明，则，因此，则，再由三角形的中位线定理即可求解．
【详解】解：连接，延长交于点，
∵四边形是矩形
∴，
∴在，由勾股定理得：，
∵点为中点，
∴，
∴，
由折叠知，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点为中点，点为中点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，正确添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
17．8
【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直证；然后根据三角形相似的性质，即可求出答案．
【详解】解：如图所示，作，

由图可知，，，
．
根据镜面的反射性质，
∴，
∴，
，
，
．
，，，
．
．
故答案为：8．
18．4或5
【分析】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质和相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
由，得，当与相似时，分或时，再结合一元二次方程根的情况即可求解．
【详解】解：，
，
当或时，与相似，
四边形是平行四边形，
，
设，则，
当时，，
，
当时，，
，
有且只有两个点，
有两种情况，
①有两个相等的实数根，
，又因为，
；
②有两个不相等的实数根，且是它的一个根，
代入得：，又因为，
，
综上可知：的值为4或5．
故答案为：4或5．
19．1
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植园地是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【详解】解：设道路的宽应为米，由题意有
，
整理，得，
解得 (不合题意，舍去)．
答：道路的宽应为米．
故答案为：．
20．
【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例得到的正方形的边长，进而表示正方形的面积，然后观察得到的正方形的面积即可得到规律，从而得到结论．
【详解】解：∵正方形的点A的坐标为1,0，点D的坐标为0,2，，，
，，
延长交x轴于点，作正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴第2个正方形的面积为：，
同理可得，，
即第3个正方形的面积为：，
…
∴第2025个正方形的面积为：，
故答案为：．
21．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
或
解得，；
（2）解：
或
解得，．
22．(1)见解析
(2)当或时，的长为
【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等边三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，求出，即可得解；
（2）证明，得出，设，则，代入计算即可得解．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，，
故当或时，的长为．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：①相似三角形的对应边的比相等，对应角相等，②两三角形有两组对应边的比相等，且这两边的夹角也相等的两三角形相似．
（1）根据两三角形有两组对应边的比相等，且这两边的夹角也相等的两三角形相似推出即可；
（2）根据两三角形的相似得出，再，即可推出，得出比例式，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
即．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质，也考查了菱形的性质．
（1）根据旋转的性质得，，然后根据“”证明，于是根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得，，再利用平行线的性质得，则可判断为等腰直角三角形， 所以，然后计算即可．
【详解】（1）证明： ∵是由绕点按逆时针方向旋转得到的，
，，
，
∴，
即，在和中
，
∴，
；
（2）解：四边形为菱形，
，，
，
∵，
，
∴为等腰直角三角形，
，
．
25．(1)证明见解析；
(2)，
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记正方形的性质证明是解题的关键．
（1）由正方形性质可得，，再利用即可证明；
（2）结合（1）的结论，可得，，再根据，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴（），
（2）解：结论：，，
理由：∵，
∴，
∵，
∴；，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
26．(1)，见解析；
(2)估计该校参加魔方游戏的学生人数为人；
(3)
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键．
（1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可；
（2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解；
（3）利用画树状图法求解即可．
【详解】（1）解：本次调查总人数为（人），
选择D类的学生人数为（人），
补全条形统计图如下：
（2）解：（人），
答：估计该校参加魔方游戏的学生人数为人；
（3）解：画树状图如下图：
由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
27．(1)1或
(2)
(3)3或
【分析】本题主要考查了矩形与动点．熟练掌握矩形性质，勾股定理，三角形面积公式，是解题的关键．
（1）根据矩形性质和，得到，根据勾股定理得到，得到，解得；
（2）根据，，可得，，根据，得到，解得，取；
（3）根据勾股定理得到，当是以为斜边的直角三角形时， ，结合，得到，解得（方法不唯一）．
【详解】（1）解：∵在矩形中，，，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故当t值为1或时，；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
化简得，
解得，
∵，
∴，
∴当t值为时，的面积是面积的一半；
（3）解：∵，
当是以为斜边的直角三角形时，
，
∴，
化简得，
解得，
故当t值为3或时，是以为斜边的直角三角形．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
B
C
B
A
B
A
B