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沪科版数学九上 23.2.4《 坡度与解直角三角形 》课件
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这是一份沪科版数学九上 23.2.4《 坡度与解直角三角形 》课件,共31页。
沪科版数学九年级上册了解测量中坡度、坡角的概念.能利用解直角三角形的知识,解决与坡度、与弧长有关的实际问题.能利用解直角三角形的知识,解决与坡度有关的实际问题.掌握坡度与坡角的关系,能利用解直角三角形的知识,解决与坡度有关的实际问题.教学目标如图,从山脚到山顶有两条路AB与BC,问哪条路比较陡?新课导入1. 坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作 α .2. 坡度 (或坡比) 如图所示,坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比),记作i, 即 i = h : l .坡度通常写成 1∶m的形式,如i=1∶6.3. 坡度与坡角的关系即坡度等于坡角的正切值. 旧知回顾301 : 13. 斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______. 2. 斜坡的坡角是45° ,则坡比是 ________.练一练 (1)已知需加固的大坝长为150米,求需要填土石方多少立方米?(2)求加固后的大坝背水坡面DE的坡度.例1(1)已知需加固的大坝长为150米,求需要填土石方多少立方米? 解:如图,分别过A、D作下底的垂线,垂足为F、G,在Rt△ABF中,AB=16,∠B=60°, 又∵CE=8, (2)求加固后的大坝背水坡面DE的坡度. 解:在Rt△DGC中, ∴GE=24+8=32.在Rt△DGE中, 如图,一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发,沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度?小刚上升了多少米(角度精确到0.01°,长度精确到0.1m)?例2在Rt△ABC中,∠B=90°,解:用α表示坡角的大小,由题意可得∴ α≈26.57°.答:这座山坡的坡角约为26.57°,小刚上升了约107.3 m. ∠A=26.57°,AC=240m, 例3∴∠D=30°.解:∵四边形BCEF是矩形,∴∠BFE=∠CEF=90°,∴∠BFA=∠CED=90°,CE=BF=3米,∵CD=6米 (1)∠D的度数; ∴AD=AF+FE+ED ∵BF=3米, ∵CD=6米,∠CED=90°,∠D=30°, (2)线段AD的长. 铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,路基宽BC=9.8m,高BE=5.8m,斜坡AB的坡度i=1∶1.6,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求:底宽AB和斜坡的坡角α和β (精确到 1°);例4解: 过C作CF⊥AD于点F,得CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠B=β. ∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).∴AE=1.6×5.8=9.28(m),DF=2.5×5.8=14.5(m). 答:铁路路基下底宽为33.6m,斜坡的坡角分别为32°和21°α≈32°,β≈21°.与测坝高相比,测山高的困难在于;坝坡是“直”的,而山坡是“曲”的,怎样解决这样的问题呢?我们设法“化曲为直,以直代曲”. 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段,如图表示其中一部分小段,划分小段时,注意使每一小段上的山坡近似是“直”的,可以量出这段坡长l1,测出相应的仰角α1,这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sinα1.在每小段上,我们都构造出直角三角形,利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”,把h1,h2,…,hn相加,于是得到山高h.以上解决问题中所用的“化整为零,积零为整”“化曲为直,以直代曲”的做法,就是高等数学中微积分的基本思想,它在数学中有重要地位,在今后的学习中,你会更多地了解这方面的内容. 解直角三角形有广泛的应用,解决问题时,要根据实际情况灵活运用相关知识,例如,当我们要测量如图所示大坝的高度h时,只要测出仰角a和大坝的坡面长度l,就能算出h=lsina,但是,当我们要测量如图所示的山高h时,问题就不那么简单了,这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l.1.(德州中考)如图是拦水坝的横断面,斜坡AB的水平宽度为12m,斜面坡度为1∶2,则斜坡AB的长为( ) B随堂练习2.如图,某铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,已知路基高AE为5米,左侧坡面AB长10米,则左侧坡面AB的坡度为( ) C3.如图,先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为5米,那么这两树在坡面上的距离AB为( ) B4.小明想测量一棵树的高度,他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上.如图,此时测得地面上的影长为8米,坡面上的影长为4米.已知斜坡的坡角为30°,同一时刻,一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米,则树的高度为( ) A5.水库拦水坝的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,背水坡CD的坡比i=1∶1,已知背水坡的坡长CD=24m,则背水坡的坡角α为____,拦水坝的高度为_______m.6.如图,在坡比为i=1∶2的山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米,斜坡上相邻两树间的坡面距离是______米.45° 设BC=x, ∵∠D=30°, ∴山的高度约为162米.8.如图,某拦河坝截面的原设计方案为:AH∥BC,坡角∠ABC=74°,坝顶到坝脚的距离AB=6 m.为了提高拦河坝的安全性,现将坡角改为55°,由此,点A需向右平移至点D,请你计算AD的长(精确到0.1 m).解:如图,过点A作AE⊥BC于点E, ∴AE=ABsin∠ABE=6sin74°≈5.77. ∴BE=ABcos∠ABE=6cos74°≈1.65.∵AH∥BC,∴DF=AE≈5.77. ∴AD=EF=BF-BE过点D作DF⊥BC于点F≈4.04-1.65≈2.4(m). 由题意可知解:作DE⊥AB, CF⊥AB,DE=CF=4 (米),在Rt△ADE中, 答: 路基下底的宽约为22.93米. 在Rt△BCF中,同理可得∴ AB=AE+EF+BF 垂足分别为E、F.≈4+12+6.93≈22.93 (米).CD=EF=12 (米).本课小结
沪科版数学九年级上册了解测量中坡度、坡角的概念.能利用解直角三角形的知识,解决与坡度、与弧长有关的实际问题.能利用解直角三角形的知识,解决与坡度有关的实际问题.掌握坡度与坡角的关系,能利用解直角三角形的知识,解决与坡度有关的实际问题.教学目标如图,从山脚到山顶有两条路AB与BC,问哪条路比较陡?新课导入1. 坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作 α .2. 坡度 (或坡比) 如图所示,坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比),记作i, 即 i = h : l .坡度通常写成 1∶m的形式,如i=1∶6.3. 坡度与坡角的关系即坡度等于坡角的正切值. 旧知回顾301 : 13. 斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______. 2. 斜坡的坡角是45° ,则坡比是 ________.练一练 (1)已知需加固的大坝长为150米,求需要填土石方多少立方米?(2)求加固后的大坝背水坡面DE的坡度.例1(1)已知需加固的大坝长为150米,求需要填土石方多少立方米? 解:如图,分别过A、D作下底的垂线,垂足为F、G,在Rt△ABF中,AB=16,∠B=60°, 又∵CE=8, (2)求加固后的大坝背水坡面DE的坡度. 解:在Rt△DGC中, ∴GE=24+8=32.在Rt△DGE中, 如图,一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发,沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度?小刚上升了多少米(角度精确到0.01°,长度精确到0.1m)?例2在Rt△ABC中,∠B=90°,解:用α表示坡角的大小,由题意可得∴ α≈26.57°.答:这座山坡的坡角约为26.57°,小刚上升了约107.3 m. ∠A=26.57°,AC=240m, 例3∴∠D=30°.解:∵四边形BCEF是矩形,∴∠BFE=∠CEF=90°,∴∠BFA=∠CED=90°,CE=BF=3米,∵CD=6米 (1)∠D的度数; ∴AD=AF+FE+ED ∵BF=3米, ∵CD=6米,∠CED=90°,∠D=30°, (2)线段AD的长. 铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,路基宽BC=9.8m,高BE=5.8m,斜坡AB的坡度i=1∶1.6,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求:底宽AB和斜坡的坡角α和β (精确到 1°);例4解: 过C作CF⊥AD于点F,得CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠B=β. ∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).∴AE=1.6×5.8=9.28(m),DF=2.5×5.8=14.5(m). 答:铁路路基下底宽为33.6m,斜坡的坡角分别为32°和21°α≈32°,β≈21°.与测坝高相比,测山高的困难在于;坝坡是“直”的,而山坡是“曲”的,怎样解决这样的问题呢?我们设法“化曲为直,以直代曲”. 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段,如图表示其中一部分小段,划分小段时,注意使每一小段上的山坡近似是“直”的,可以量出这段坡长l1,测出相应的仰角α1,这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sinα1.在每小段上,我们都构造出直角三角形,利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”,把h1,h2,…,hn相加,于是得到山高h.以上解决问题中所用的“化整为零,积零为整”“化曲为直,以直代曲”的做法,就是高等数学中微积分的基本思想,它在数学中有重要地位,在今后的学习中,你会更多地了解这方面的内容. 解直角三角形有广泛的应用,解决问题时,要根据实际情况灵活运用相关知识,例如,当我们要测量如图所示大坝的高度h时,只要测出仰角a和大坝的坡面长度l,就能算出h=lsina,但是,当我们要测量如图所示的山高h时,问题就不那么简单了,这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l.1.(德州中考)如图是拦水坝的横断面,斜坡AB的水平宽度为12m,斜面坡度为1∶2,则斜坡AB的长为( ) B随堂练习2.如图,某铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,已知路基高AE为5米,左侧坡面AB长10米,则左侧坡面AB的坡度为( ) C3.如图,先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为5米,那么这两树在坡面上的距离AB为( ) B4.小明想测量一棵树的高度,他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上.如图,此时测得地面上的影长为8米,坡面上的影长为4米.已知斜坡的坡角为30°,同一时刻,一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米,则树的高度为( ) A5.水库拦水坝的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,背水坡CD的坡比i=1∶1,已知背水坡的坡长CD=24m,则背水坡的坡角α为____,拦水坝的高度为_______m.6.如图,在坡比为i=1∶2的山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米,斜坡上相邻两树间的坡面距离是______米.45° 设BC=x, ∵∠D=30°, ∴山的高度约为162米.8.如图,某拦河坝截面的原设计方案为:AH∥BC,坡角∠ABC=74°,坝顶到坝脚的距离AB=6 m.为了提高拦河坝的安全性,现将坡角改为55°,由此,点A需向右平移至点D,请你计算AD的长(精确到0.1 m).解:如图,过点A作AE⊥BC于点E, ∴AE=ABsin∠ABE=6sin74°≈5.77. ∴BE=ABcos∠ABE=6cos74°≈1.65.∵AH∥BC,∴DF=AE≈5.77. ∴AD=EF=BF-BE过点D作DF⊥BC于点F≈4.04-1.65≈2.4(m). 由题意可知解:作DE⊥AB, CF⊥AB,DE=CF=4 (米),在Rt△ADE中, 答: 路基下底的宽约为22.93米. 在Rt△BCF中,同理可得∴ AB=AE+EF+BF 垂足分别为E、F.≈4+12+6.93≈22.93 (米).CD=EF=12 (米).本课小结
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