初中数学沪科版（2024）九年级上册23.1 锐角的三角函数一等奖ppt课件

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直角三角形中某个锐角的正切值；了解坡度的有关概念．
理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系．
理解正切的意义，并用它来表示两边的比．
思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？
问题1：你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
问题2：如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
问题3：如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
问题4：如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
1．探究：(1)Rt△AB1C1和RtAB2C2有什么关系？
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2；
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即
4.tanA不表示“tan”乘以“A ”.
1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角.
2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1.
5.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？
对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大.
如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗？
解：∵△ABC是等腰直角三角形，BD⊥AC，
下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.
提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则tan A=_____，tanB =______．
2.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边.
互余两锐角的正切值互为倒数.
4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（ ）A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定
3.已知∠A,∠B为锐角，(1)若∠A=∠B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.
正切通常也用来描述山坡的坡度.
坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
坡角：坡面与水平面的夹角α称为坡角；坡度（坡比）：坡面的高度h和水平长度l的比称 为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.
归纳：坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．
若某人沿坡度i＝3∶4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高了_____米．
设AC＝3x，BC＝4x，
由勾股定理求得x＝2，
∴AC＝6，即升高6米．
如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是(　　)
解析：∵∠ACB＝90°，i＝1∶3，
∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．
【方法总结】理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键．
已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离均为h，距形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB＝4，BC＝6，则tanα的值为(　　)
解：过A作AE⊥l4于E，过C作CF⊥l4于F，
∵∠ABE＋∠α＝∠α＋∠BCF＝90°，
∴∠ABE＝∠BCF，
1．如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，则tanα等于( 　)
3．已知如图③：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∠ACD＝α，AC＝1，BC＝3，则tanα＝_____．
4. 在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB.
提示:过点A作AD垂直于BC于点D.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
∵BD=5，AD=12.
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴（3k）2+（4k）2=152
6. 如图,正方形ABCD的边长为4,点M在BC上,M、N两点关于对角线AC对称, 若DM=1，求tan∠ADN的值.
解：由正方形的性质可知，
∴ DM=1BN=DM=1.
∠ADN=∠DNC，BC=DC=4，
∵ M、N两点关于对角线AC对称,
7. 如图，在平面直角坐标系中，P(x,y)是第一象限内直线y=-x+6上的点, 点A(5,0)，O是坐标原点，△PAO的面积为S.（1）求S与x的函数关系式；（2）当S=10时,求tan∠PAO 的值.
解：(1)过点P作PM⊥OA于点M，
又∵点P在直线y=-x+6上，
∴AM=OA-OM=5-2=3.
如图，在平面直角坐标系中，P(x,y)是第一象限内直线y=-x+6上的点, 点A(5,0)，O是坐标原点，△PAO的面积为S.（2）当S=10时,求tan∠PAO 的值.