沪教版（五四制）（2024）第九章 整式第5节 因式分解9.14 公式法优秀同步测试题

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分层练习
基础题
题型一 公因式
1．（上海青浦·七年级校考期中）单项式3a3b与单项式9a2b3的公因式是（ ）
A．3a2bB．3a3b3C．a2bD．a3b3
【答案】A
【分析】找到系数的最大公因数，再找到因式的公共部分即可．
【详解】解：由于3和9的公因数是3，a3b和a2b3的公共部分为a2b,
所以．3a3b和9a2b3的公因式为3a2b.
故选A．
【点睛】本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键．
2．（上海普陀·七年级统考期中）多项式4x3y2−6xy3的公因式是（ ）
A．4xy2B．6x3y2C．2x3y2D．2xy2
【答案】D
【分析】根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案．
【详解】解：在多项式4x3y2−6xy3中，系数4、6的最大公约数为2，相同字母的最低次幂是2xy2，所以多项式多项式4x3y2−6xy3的公因式是2xy2．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了公因式，掌握公因式的定义是解题关键．
3．（上海浦东新·七年级期末）多项式3x-9，x2-9与x2-6x+9的公因式为（ ）
A．x+3B．(x+3)2C．x-3D．x2+9
【答案】C
【分析】先把这三个式子因式分解，再找到它们的公因式．
【详解】解：3x−9=3x−3，
x2−9=x−3x+3，
x2−6x+9=x−32，
公因式是x−3．
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．
4．（上海嘉定·七年级统考期中）多项式6x3y2−3x2y2+12x2y3的公因式是 ．
【答案】3x2y2
【分析】根据找公因式的方法得出答案即可．
【详解】解：多项式6x3y2−3x2y2+12x2y3的公因式是3x2y2，
故答案为：3x2y2．
【点睛】本题考查了公因式．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
5．（湖南娄底·七年级统考期中）下列各组多项式中，没有公因式的是（ ）
A．x2+y2和x+yB．ax−bx和ay−by
C．2x和4yD．3−9y和6y2−2y
【答案】A
【分析】先对各多项式分解因式，然后利用公因式的定义对各选项进行判断即可．
【详解】A、x2+y2与x+y，没有公因式，此选项符合题意；
B、ax−bx=xa−b，ay−by=ya−b，有公因式a−b，此选项不符合题意，排除；
C、2x与4y有公因数2，此选项不符合题意，排除；
D、3−9y=31−3y，6y2−2y=−2y1−3y，有公因式1−3y，此选项不符合题意，排除；
故选：A．
【点睛】此题考查了公因式，解题的关键是先确定各项系数的最大公约数，再确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)，然后确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．
6．（北京顺义·七年级校考期末）多项式8x2y5−12x4y3的公因式是（ ）
A．xyB．x2y3C．4xyD．4x2y3
【答案】D
【分析】根据公因式的意义，将原式写成含有公因式乘积的形式即可．
【详解】解：因为8x2y5−12x4y3=4x2y3⋅2y2−4x2y3⋅3x2，
所以8x2y5−12x4y3的公因式为4x2y3，
故选：D．
【点睛】本题考查了公因式，解题的关键是理解公因式的意义是得出正确答案的前提，将各个项写成含有公因式积的形式．
题型二 判断能否用公式法分解因式
1．（上海青浦·七年级校考期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+x+1B．x2−2x−1C．x2+2x+4D．x2−x+14
【答案】D
【分析】能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两平方项底数积的2倍，据此逐项分析即可．
【详解】解：A．x2+x+1不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意；
B．x2−2x−1不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意；
C．x2+2x+4不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意；
D．x2−x+14=x−122，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握a2±2ab+b2=(a±b)2是解答本题的关键．两个平方项的符号需相同；另一项是两底数积的2倍，是易错点．
2．（上海·七年级期末）下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）
①x2−2x−1 ②x24−x+1 ③−a2−b2 ④−a2+b2 ⑤x2−4xy+4y2
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据平方差公式，完全平方公式的结构即可判断．
【详解】①x2−2x−1不能用公式法因式分解；
②原式＝12x−12，
③−a2−b2不能用公式法因式分解；
④原式＝（b-a）（b+a），
⑤原式＝x−2y2
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解，涉及平方差公式，完全平方公式．
3．（山东泰安·校考期末）已知下列多项式：①x2+y+y2；②−x2+2xy−y2；③x2+6xy−9y2；④x2−x+14．其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（ ）
A．②③④B．①③④C．②④D．①②③
【答案】C
【分析】根据完全平方公式的结构a2±2ab+b2=a±b2，逐个分析判断即可求解．
【详解】解：①x2+y+y2不能用完全平方公式进行因式分解；
②−x2+2xy−y2=−x2−2xy+y2=−x−y2，能用完全平方公式进行因式分解；
③x2+6xy−9y2不能用完全平方公式进行因式分解；
④x2−x+14=x2−2×12⋅x+122=x−122，能用完全平方公式进行因式分解；
因此能用完全平方公式进行因式分解的有②④．
故选：C．
【点睛】本题考查用完全平方公式进行因式分解，掌握完全平方公式是解题的关键．
4．（江苏淮安·七年级统考期中）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．a2﹣bB．a2+2b2C．9a2﹣b2D．﹣a2﹣b2
【答案】C
【分析】根据平方差公式a2−b2=a+ba−b判断即可；
【详解】A．a2−b不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
B．a2+2b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
C．9a2−b2能运用平方差公式分解，故此选项正确；
D．−a2−b2=−a2+b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
故选： C．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式是解题关键．
5．（江西南昌·八年级南昌市外国语学校校联考期末）下列多项式，能用公式法分解因式的有（ ）个．
①3x2+3y2 ②−x2+y2 ③−x2−y2 ④x2+xy+y2 ⑤x2+2xy−y2 ⑥−x2+4xy−4y2
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据完全平方公式a±b2=a2±2ab+b2，平方差公式a+ba−b=a2−b2进行判断即可．
【详解】解：①3x2+3y2不能用公式法分解因式，不符合题意；
②−x2+y2=y+xy−x，可以用平方差公式分解因式，符合题意；
③−x2−y2=−x2+y2不能用公式法分解因式，不符合题意；
④x2+xy+y2不能用公式法分解因式，不符合题意；
⑤x2+2xy−y2不能用公式法分解因式，不符合题意；
⑥−x2+4xy−4y2=−x2−4xy+4y2=−x−2y2，可以用完全平方公式分解因式，符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知公式法分解因式是解题的关键．
题型三 运用平方差公式分解因式
1．（上海·中考）分解因式：x2－9＝ ．
【答案】(x＋3)(x－3)
【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3），
故答案为：（x+3）（x-3）.
2．（上海闵行·统考二模）因式分解：4x2−y2= ．
【答案】(2x+y)(2x−y)
【分析】根据平方差公式直接进行因式分解即可．
【详解】解：原式=2x2−y2=2x+y2x−y.
故答案为：2x+y2x−y．
【点睛】本题考查因式分解，常用的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法．
3．（广西南宁·七年级统考期末）因式分解：x2−4= ．
【答案】(x+2)(x-2)
【详解】解：x2−4= x2−22=(x+2)(x−2)；
故答案为(x+2)(x−2)
4．（上海普陀·七年级校联考期末）分解因式：x2−4y2= ．
【答案】x−2yx+2y
【分析】根据平方差公式分解因式，即可．
【详解】解：x2−4y2= x−2yx+2y，
故答案是：x−2yx+2y．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键．
5．（上海浦东新·七年级校考期中）分解因式：m2−9n2= ．
【答案】m+3nm−3n
【分析】利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：m2−9n2=m2−(3n)2=(m+3n)(m−3n)
故答案为：(m+3n)(m−3n)
【点睛】本题考查公式法进行因式分解，注意整体思想的运用是解题的关键．
6．（上海宝山·七年级校联考期末）分解因式：a2−1= ．
【答案】a+1a−1．
【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案
【详解】解：a2−1=a+1a−1．
故答案为：a+1a−1
【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．
题型四 运用完全平方公式分解因式
1．（上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校联考期末）分解因式：x2+4z2−9y2+4xz =
【答案】(x+2z+3y)(x+2z−3y)
【分析】先用完全平方公式因式分解，再用平方差因式分解．
【详解】x2+4z2−9y2+4xz
=x2+4z2+4xz−9y2
=x+2z2−9y2
=x+2z+3yx+2z−3y
【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是熟悉公式法因式分解．
2．（吉林松原·八年级统考期末）分解因式：a2﹣2a+1＝ ．
【答案】（a﹣1）2
【分析】观察原式发现，此三项符合差的完全平方公式a2-2ab+b2=（a-b）2，即可把原式化为积的形式．
【详解】a2﹣2a+1＝a2﹣2×1×a+12＝（a﹣1）2．
故答案为：（a﹣1）2．
【点睛】此题考查完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．
3．（上海宝山·七年级校考期中）因式分解：4m2n+4mn+n= ．
【答案】n2m+12
【分析】原式提取n，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：4m2n+4mn+n=n4m2+4m+1=n2m+12，
故答案为：n2m+12
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．（上海松江·七年级校考期中）分解因式：a2−2a2+2a2−2a+1．
【答案】a−14
【分析】利用整体思想和完全平方公式分解因式即可．
【详解】a2−2a2+2a2−2a+1
=a2−2a+12
=a−14
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
5．（上海宝山·七年级校考期中）因式分解：
x2−2x2+2x2−2x+1
【答案】x−14
【分析】设x2−2x=a，再根据a±b2=a2±2ab+b2，即可．
【详解】设x2−2x=a
∴x2−2x2+2x2−2x+1
=a2+2a+1
=a+12
=x2−2x+12
=x−122
=x−14．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握a±b2=a2±2ab+b2的运用．
6．（上海长宁·七年级上海市第三女子初级中学校考期中）阅读：分解因式x2+2x−3
解：原式=x2+2x+1−1−3
=x2+2x+1−4
=x+12−4
=x+1+2x+1−2
=x+3x−1
此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式．
请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：
在有理数范围内分解因式：4a2+4a−15．
【答案】(2a+5)(2a−3)
【分析】根据配方法，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．
【详解】解：4a2+4a−15
=4a2+4a+1−1−15
=(2a+1)2−16
=(2a+1)2−42
=(2a+1+4)(2a+1−4)
=(2a+5)(2a−3)
【点睛】本题考查了因式分解，利用配方法得出平方差公式是解题关键，分解要彻底．
题型五 综合运用公式法分解因式
1．（上海宝山·七年级校联考期末）分解因式： x2+4y2−4xy−25
【答案】x−2y−5x−2y+5
【分析】先根据完全平方公式将前三项分解，再根据平方差公式分解即可．
【详解】解：原式=(x−2y)2−25
=(x−2y+5)(x−2y−5)．
【点睛】本题主要考查了根据公式法因式分解，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．注意：因式分解要分到不能再分为止．
2．（上海·七年级期末）因式分解：a2−2a2−2a2−2a−3
【答案】(a-1)2(a-3)(a+1)
【分析】根据完全平方公式、平方差公式和十字交叉法进行因式分解．
【详解】a2−2a2−2a2−2a−3
＝a2−2a2−2a2−2a+1−4
=(a2−2a−1)2−22
=(a2−2a−1+2)(a2−2a−1−2)
=(a2−2a+1)(a2−2a−3)
=(a-1)2(a-3)(a+1)
【点睛】考查了利用公式法因式分解，解题关键是熟记完全平方公式和平方差公式的特点和将
3．（上海普陀·九年级校考期中）分解因式：a2-2ab+b2-1= ．
【答案】(a－b＋1)(a－b－1)
【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解，前三项a2-2ab+b2可组成完全平方公式，再和最后一项用平方差公式分解．
【详解】a2-2ab+b2-1，
=（a-b）2-1，
=（a-b+1）（a-b-1）．
【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题前三项可组成完全平方公式，可把前三项分为一组，分解一定要彻底．
4．（上海·七年级校考期中）因式分解：(x2+y2)2−4x2y2
【答案】（x+y）2（x-y）2
【分析】首先利用平方差公式进行因式分解，得原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2−2xy)接下来，对每个括号内的多项式利用完全平方公式进行二次分解即可．
【详解】原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2−2xy) =（x+y）2（x-y）2；
【点睛】此题考查公式法分解因式，解决本题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式.
题型六 综合提公因式和公式法分解因式
1（上海浦东新·七年级校考期末）分解因式：4x2−16= ．
【答案】4(x+2)(x−2)
【分析】先提取公因数4，然后利用平方差公式继续进行因式分解．
【详解】解：4x2−16
=4(x2−4)
=4(x+2)(x−2)．
故答案为：4(x+2)(x−2)．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
2．（上海静安·七年级新中初级中学校考期末）因式分解：
(1)x2y−4xy2+4y3；
(2)2a+b2−a+2b2
【答案】(1)yx−2y2
(2)3a+ba−b
【分析】（1）直接提取公因式y，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】（1）解：x2y−4xy2+4y3
=yx2−4xy+4y2
=yx−2y2；
（2）解：2a+b2−a+2b2
=2a+b+a+2b2a+b−a−2b
=3a+3ba−b
=3a+ba−b．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
3．（上海浦东新·七年级校考期中）分解因式：−4x3+16x2−16x．
【答案】−4xx−22
【分析】根据提公因式和完全平方公式法进行因式分解即可．
【详解】解：−4x3+16x2−16x
=−4xx2−4x+4
=−4xx−22．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式和公式法因式分解，是解题的关键．
4．（上海宝山·统考二模）分解因式：−2x2+8= ．
【答案】−2x+2x−2
【分析】先提公因式，然后再利用平方差公式可进行求解．
【详解】解：−2x2+8=−2x2−4=−2x+2x−2；
故答案为：−2x+2x−2．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
5．（上海浦东新·七年级校考期中）分解因式：m2a−b+b−a．
【答案】a−bm+1m−1
【分析】利用提公因式和平方差法进行因式分解即可．
【详解】解：m2a−b+b−a
=a−bm2−1
=a−bm+1m−1．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式和公式法因式分解，是解题的关键．
题型七 因式分解在有理数简算中的应用
1．（上海青浦·七年级校考期末）计算：7.52×1.6−2.52×1.6
【答案】80
【分析】提公因式1.6，再利用平方差公式分解，进行简便计算即可求解．
【详解】解：7.52×1.6−2.52×1.6
=1.6×7.52−2.52
=1.6×7.5+2.57.5−2.5
=1.6×10×5
=80．
【点睛】本题考查了利用因式分解简便计算，掌握因式分解的方法是解题的关键．
2．（湖南·七年级期末）计算1−122×1−132×1−142×1−152×1−162的值为（ ）．
A．512B．12C．712D．1130
【答案】C
【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．
【详解】原式=1−12×1+12×1−13×1+13×1−14×1+14×1−15×1+15×1−16×1+16，
=12×32×23×43×34×54×45×65×56×76，
=12×76，
=712，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．
3．（四川成都·八年级校考期中）若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2= ．
【答案】4
【分析】分析式子的特点，分解成含已知式的形式，再整体代入．
【详解】解：a2b+ab2=ab(a+b)=1×4=4．
故答案为4.
【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
4．（河北唐山·统考二模）计算：1252-50×125+252=( )
A．100B．150C．10000D．22500
【答案】C
【详解】试题分析：原式＝1252﹣2×25×125＋252＝(125－25)2＝1002＝10000．
故选C．
点睛：本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式的特点是解决此题的关键．
5．（四川达州·八年级校联考期中）已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝ ．
【答案】2020
【分析】将a3+2a2+2019化成a3+a2+a2+2019，再取前两项因式分解，再将a2+a＝１代入计算后，再继续代入计算即可.
【详解】a3+2a2+2019＝a3+a2+a2+2019=a(a2+a)+a2+2019=a+a2+2019=2020.
【点睛】考查了求代数式的值，解题关键是将a3+2a2+2019化成a2+a的形式.
6．（河南驻马店·八年级统考期末）小李在计算20232023−20232021时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（ ）
A．2023，2024，2025B．2022，2023，2024C．2021，2022，2023D．2020，2021，2022
【答案】B
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解，即可得到答案．
【详解】解：20232023−20232021
=20232021×(20232−1)
=20232021×(2023−1)×(2023+1)
=20232021×2022×2024
∴能被2022，2023，2024整除，
故选B．
【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
提升题
1．（安徽合肥·七年级中国科技大学附属中学校考阶段练习）已知a,b,c满足a2+2b=7,b2-2c=−1,c2−6a=−17，则a+b−c的值为（ ）
A．1B．－5C．－6D．－7
【答案】A
【分析】三个式子相加，化成完全平方式，得出a,b,c的值，代入计算即可．
【详解】解：∵a2+2b=7,b2-2c=−1,c2−6a=−17，
∴（a2+2b）+（b2-2c）+（c2-6a）=7+（-1）+（-17），
∴a2+2b+b2-2c+c2-6a=-11
∴（a2-6a+9）+（b2+2b+1）+（c2-2c+1）=0，
∴（a-3）2+（b+1）2+（c-1）2=0
∴a-3=0，b+1=0，c-1=0，
∴a+b-c=3-1-1=1．
故选：A．
【点睛】本题考查了代数式求值和完全平方公式，解题关键是通过等式变形化成完全平方式，根据非负数的性质求出a,b,c的值，准确进行计算．
2．（湖南·七年级阶段练习）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8．
原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．
例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；
a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；
∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋________；
(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．
(3)若M＝a2－3a+1，则M的最小值为________；
(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________；
【答案】(1)25；
(2)(a−5)(a−7)；
(3)−54；
(4)−1．
【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可；
（2）原式常数项35分为36−1，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可；
（3）M配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；
（4）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出a，b，c的值，代入原式计算即可．
【详解】（1）解：a2+10a+25=(a+5)2；
故答案为：25；
（2）解：a2−12a+35
=a2−12a+36−1
=(a−6)2−1
=(a−6+1)(a−6−1)
=(a−5)(a−7)；
（3）解：M=(a2−3a+94)−54
=(a−32)2−54，
当a−32=0，即a=32时，M取最小值，最小值为−54；
故答案为：−54；
（4）解：∵a2+2b2+c2−2ab+4b−6c+13=0，
∴(a2−2ab+b2)+(b2+4b+4)+(c2−6c+9)=0，
即(a−b)2+(b+2)2+(c−3)2=0，
∵(a−b)2⩾0，(b+2)2⩾0，(c−3)2⩾0，
∴a−b=0，b+2=0，c−3=0，
解得：a=b=−2，c=3，
则a+b+c=−2−2+3=−1．
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解−分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式．
3．（山东青岛·八年级青岛三十九中校考期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为b(b(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵BC=a，AB=a−b，CF=b，∴长方体①的体积为ab(a−b)．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求a3−b3的值．
(6)类比以上探究，尝试因式分解：a3+b3= ．
【答案】(1)a2−b2=a+ba−b
(2)a3−b3
(3)b2a−b，a2a−b
(4)a3−b3=a−ba2+ab+b2
(5)252
(6)a+ba2−ab+b2
【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为a+b、宽为a−b的长方形的面积，由此即可得；
（2）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案；
（3）根据长方体的体积公式即可得；
（4）根据（2）和（3）的结论可得a3−b3=aba−b+b2a−b+a2a−b，再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案；
（5）先利用完全平方公式求出a2+b2=40，再根据（4）的结论即可得；
（6）将a3+b3改写成a3−−b3，再根据（4）的结论进行因式分解即可得．
【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为a2−b2，
图2中阴影部分的面积为a+ba−b，
∵拼图前后图形的面积不变，
∴a2−b2=a+ba−b，
∴可得一个多项式的分解因式为a2−b2=a+ba−b，
故答案为：a2−b2=a+ba−b．
（2）解：由题意，得到的几何体的体积为a3−b3，
故答案为：a3−b3．
（3）解：∵EN=b,DE=b,DM=a−b，
∴长方体②的体积为b2a−b，
∵GH=a,FG=a−b,HR=a，
∴长方体③的体积为a2a−b，
故答案为：b2a−b，a2a−b．
（4）解：由（2）和（3）得：a3−b3=aba−b+b2a−b+a2a−b，
则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为a3−b3=a−ba2+ab+b2，
故答案为：a3−b3=a−ba2+ab+b2．
（5）解：∵a−b=6,ab=2，
∴a2+b2=a−b2+2ab=62+2×2=40，
∴a3−b3=a−ba2+ab+b2=6×40+2=252．
（6）解：由（4）可知，a3−b3=a−ba2+ab+b2，
则a3+b3=a3−−b3
=a−−ba2+a−b+−b2
=a+ba2−ab+b2，
故答案为：a+ba2−ab+b2．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键．