初中数学沪教版（五四制）（2024）七年级上册9.16 分组分解法精品练习题

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分层练习
基础题
题型一 四项2-2分组后两次提取公因式的类型
1．（上海·七年级校联考期末）分解因式：x2−xy+ax−ay= ．
【答案】x+ax−y
【分析】前两项一组，提取公因式x，后两项一组，提取公因式a，然后两组之间再提取公因式x−y整理即可．
【详解】解：x2−xy+ax−ay
=x2−xy+ax−ay
=xx−y+ax−y
=x+ax−y
故答案为：x+ax−y
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
2．（上海青浦·七年级校考期中）因式分解：2ac−6ad+bc−3bd．
【答案】2a+bc−3d
【分析】先分组,然后根据提公因式法可进行求解．
【详解】解：2ac−6ad+bc−3bd
=c2a+b−3d2a+b
=2a+bc−3d；
【点睛】本题主要考查因式分解的提公因式法，先分组后提取公因式是解题的关键．
3．（上海青浦·七年级校考期中）因式分解：7x2−3y+xy−21x．
【答案】(7x+y)(x−3)
【分析】先将多项式进行分组，然后分别进行因式分解即可．
【详解】解：7x2−3y+xy−21x
=(7x2+xy)−(3y+21x)
=x(7x+y)−3(7x+y)
=(7x+y)(x−3)．
【点睛】本题考查了分组分解法因式分解．正确将多项式进行分组是解题的关键．
4．（上海奉贤·七年级校联考期末）因式分解：a2−b2+2a2b−2ab2
【答案】(a−b)(a+b+2ab)
【分析】分别根据平方差公式和提公因式法分解即可．
【详解】解：原式=a+ba−b+2aba−b
=a−ba+b+2ab．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
题型二 四项1-3分组或3-1分组后平方差的类型
1．（上海·七年级校考期中）分解因式：x2−y2+4y−4= ．
【答案】(x+y−2)(x−y+2)/（x-y+2）（x+y-2）
【分析】先分组成x2−(y2−4y+4)，再利用完全平方公式化为x2−(y−2)2，最后利用平方差公式解答．
【详解】解：x2−y2+4y−4
=x2−(y2−4y+4)
=x2−(y−2)2
=(x+y−2)(x−y+2)
故答案为：(x+y−2)(x−y+2)．
【点睛】本题考查因式分解，涉及分组分解法、完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题的关键．
2．（上海宝山·七年级统考期末）分解因式：x2+4x−21= ．
【答案】(x+7)(x−3)/(x−3)(x+7)
【分析】将原多项式分组变形，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解】解：x2+4x−21
=(x2+4x+4)−25
=(x+2)2−52
=(x+2+5)(x+2−5)
=(x+7)(x−3)，
故答案为：(x+7)(x−3)．
【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，灵活运用因式分解的方法是解答的关键．
3．（上海宝山·七年级校考期末）分解因式：b2−4a2−1+4a．
【答案】b+2a−1b−2a+1
【分析】利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解】解：b2−4a2−1+4a
=b2−4a2−4a+1
=b2−2a−12
=b+2a−1b−2a+1．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
4．（上海青浦·七年级校考期末）x2+4y−1−4y2
【答案】x+1−2yx−1+2y
【分析】观察原式特点，先给原式后三项添括号，利用完全平方公式化为x2−1−2y2，再利用平方差公式分解因式即可解答．
【详解】解：原式=x2−1−4y+4y2
=x2−1−2y2
=x+1−2yx−1+2y．
【点睛】本题考查了分组分解法、公式法分解因式，熟记完全平方公式和平方差公式，能正确的将多项式分组是解答的关键．
5．（上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）分解因式：x2−4+4y2−4xy
【答案】（x-2y+2）(x-2y-2)
【分析】先利用分组分解法因式分解，再利用平方差公式因式分解即可.
【详解】解：原式=（x2+4y2−4xy）−4
=x−2y2−4
=（x-2y+2）(x-2y-2)
【点睛】本题考查了整式的因式分解，选择适当的方法进行因式分解是解题的关键.
6．（上海嘉定·七年级校考期中）分解因式：9−a2+4ab−4b2.
【答案】3+a−2b3−a+2b
【分析】先将多项式分组为9−a2−4ab+4b2，再分别利用完全平方公式和平方差公式分解即可．
【详解】解：9−a2+4ab−4b2
=9−a2−4ab+4b2
=9−a−2b2
=3+a−2b3−a−2b
=3+a−2b3−a+2b．
【点睛】本题考查了因式分解-分组分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，能根据多项式特点进行适当分组是解题关键．
7．（上海·七年级校考期中）因式分解：a2−6ab+9b2−16．
【答案】(a−3b+4)(a−3b−4)
【分析】先把前3项利用利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式=a2−6ab+3b2−16
=(a−3b)2−42
=(a−3b+4)(a−3b−4)．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．
8．（上海普陀·七年级统考期末）因式分解：1﹣a2﹣4b2+4ab．
【答案】(1+a−2b)(1−a+2b)
【分析】先分组，再逆用完全平方公式、平方差公式进行因式分解．
【详解】解：1﹣a2﹣4b2+4ab
＝1﹣（a2+4b2﹣4ab）
＝1﹣（a﹣2b）2
＝（1+a﹣2b）[1﹣（a﹣2b）]
＝（1+a﹣2b）（1﹣a+2b）．
【点睛】本题考查因式分解，涉及分组分解法、逆用完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
题型三 四项高次方2-2分组后提取公因式与平方差的运用
1．（上海·七年级期末）分解因式：a4+4b2c2−a2b2−4a2c2．
【答案】a+ba−ba+2ca−2c
【分析】利用加法的结合律和交换律，把整式的第一项和第三项，第四项和第二项分组，提取公因式后再利用公式．
【详解】解：原式=a4−a2b2−4a2c2−4b2c2
=a2a2−b2−4c2a2−b2
=a2−b2a2−4c2
=a+ba−ba+2ca−2c ．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握分组分解法、提取公因式法和公式法是解决本题的关键．解决本题亦可第一与第四、第二与第三项分组．
2．（上海宝山·七年级统考期末）分解因式：x3+2x2y−9x−18y
【答案】(x+2y)(x−3)(x+3)
【分析】利用分组分解法分解因式即可．
【详解】解：x3+2x2y−9x−18y，
=x2(x+2y)−9(x+2y)，
=(x+2y)(x2−9)，
=(x+2y)(x−3)(x+3)．
【点睛】本题考查了因式分解，解题关键是恰当对多项式进行分组，熟练运用提取公因式和公式法进行分解．
3．（上海浦东新·七年级校联考期末）分解因式：xy2−x−y2+1．
【答案】x−1y+1y−1．
【分析】先将因式进行分组为xy2−y2−x−1，再综合利用提公因式法和平方差公式分解因式即可得．
【详解】解：原式=xy2−y2−x−1
=y2x−1−x−1
=x−1y2−1
=x−1y+1y−1．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
题型四 五项2-3分组提取公因式与十字相乘或完全平方的运用的类型
1．（上海青浦·七年级校考期中）分解因式：xy+y2+x−y−2
【答案】y+1x+y−2
【分析】分组分解法，十字相乘法，提取公因式法分解因式．
【详解】xy+y2+x−y−2
=xy+x+y2−y−2=xy+1+y+1y−2=y+1x+y−2．
【点睛】本题考查了分组分解法，十字相乘法，提取公因式法分解因式，熟练掌握分解方法是解题的关键．
2．（上海·七年级校考期中）因式分解：x2+9xy+18y2−3x−9y．
【答案】x+3yx+6y−3
【分析】先将原式进行分组，再进行因式分解即可．
【详解】解：原式=x2+9xy+18y2−3x+9y
=x+3yx+6y−3x+3y
=x+3yx+6y−3．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是先将原式进行分组，熟练掌握用提取公因式，完全平方公式和十字相乘进行因式分解的方法．
3.因式分解：−y2−4x+6y−5．
【答案】(x+y−5)(x−y+1)
【分析】变形为x2−4x+4−y2−6y+9后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可．
【详解】解：原式=x2−4x+4−y2−6y+9
=(x−2)2−(y−3)2
=(x+y−5)(x−y+1)．
【点睛】本题考查了常见的几种因式分解的方法，有完全平方公式，平方差公式，分组分解法，十字相乘法，熟练掌握以上分解因式的方法是解题的关键．
题型五 重新分组的问题
1.因式分解：x2(1+x)2+x2−8(1+x)2．
【答案】x+2x3−6x−4
【分析】现将原式进行重新分组，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：x2(1+x)2+x2−8(1+x)2
=x2(1+x)2−4(1+x)2+x2−4(1+x)2
=(1+x)2x2−4+x+21+xx−21+x
=(1+x)2x+2x−2−3x+2x+2
=x+2(1+x)2x−2−3x+2
=x+2x3−6x−4．
【点睛】本题主要考查了分组分解法进行因式分解，正确分组是解题的关键．
2.因式分解：2b3−b2−6b+5a−10ab+3．
【答案】(2b−1)(b2−5a−3)
【分析】根据分组分解法及提取公因式法直接求解即可得到答案；
【详解】解：原式=(2b3−b2)+(5a−10ab)−(6b−3)
=b2(2b−1)−5a(2b−1)−3(2b−1)
=(2b−1)(b2−5a−3)．
【点睛】本题考查提取公因式法及分组分解法因式分解，解题的关键是正确分组，提取公因式．
3.因式分解：m2−2mn+n2+6−5m+5n
【分析】先用完全平方公式，再用十字相乘因式分解．
【详解】m2−2mn+n2+6−5m+5n
=m−n2−5m−n+6
=m−n−2m−n−3
【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是熟悉提取公因式法、公式法分解因式．
4.（湖北襄阳期末）因式分解下列多项式：4x2−4x−y2+4y−3．
【答案】2x+y−32x−y+1．
【分析】前两项加1，后三项减1，分别构建完全平方式，然后再运用平方差公式因式分解即可．
【详解】4x2−4x−y2+4y−3
=4x2−4x+1−y2+4y−3−1
=4x2−4x+1−y2−4y+4
=2x−12−y−22
=2x−1+y−22x−1−y−2
=2x+y−32x−y+1
【点睛】本题考查因式分解中分组分解，灵活根据公因式或公式法对原式进行合理的分组是解题关键．
5.因式分解：a2−2ab+b2−m2−6mn−9n2．
【答案】a−b−m−3na−b+m+3n．
【分析】首先将原式进行分组得到原式=a−b2−m+3n2，再利用公式法分解因式即可．
【详解】解：a2−2ab+b2−m2−6mn−9n2
=a−b2−m+3n2
=a−b−m−3na−b+m+3n；
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
题型六 利用因式分解解决求值问题
1．（上海·七年级上海市西延安中学校考期中）如图，边长分别为a，b的长方形，它的周长为15，面积为10，则3a2b+3ab2= ．
【答案】225
【分析】根据长方形的周长及面积可得出a+b=152，ab=10，将其代入3a2b+3ab2中即可求出结论．
【详解】解：∵长方形的周长为15，面积为10，
∴a+b=152，ab=10，
∴3a2b+3ab2=3aba+b=3×10×152=225．
故答案为：225．
【点睛】本题考查了因式分解的应用以及长方形的周长及面积，根据长方形的周长及面积找出a+b=152，ab=10是解题的关键．
2．（上海·七年级校考期中）已知a，b，c是三个连续的正整数，a2=33124，c2=33856，那么b2= ．
【答案】33489
【分析】利用平方差公式得到c+ac−a=732，再根据a、b、c是三个连续正整数得到c−a=2，于是可计算出c+a=366，然后可得c，从而得到b的值．
【详解】解：c2−a2=c+ac−a=33856−33124=732，
∵a、b、c是三个连续正整数，
∴c−a=2，
∴c+a=366，
∴c=184，a=182，
∴b=183，
∴b2=33489．
故答案为：33489．
【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．
3.已知x2+x−1=0，那么x4+2x3−x2−2x+2023的值为 ．
【答案】2022
【分析】利用因式分解法将原式进行分解，再整体代入即可求解．
【详解】∵x2+x−1=0，
∴x2+x=1
x4+2x3−x2−2x+2023
=x4+x3+x3+x2−2x2−2x+2023
=x2x2+x+xx2+x−2x2+x+2023
=x2+x−2+2023
=1−2+2023
=2022
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
4.已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是 ．
【答案】3
【分析】根据a=-226x+2017，b=-226x+2018，c=-226x+2019，可以求得a-b、b-c、a-c的值，然后将所求式子变形再因式分解即可解答本题．
【详解】解：∵a=−226x+2017，b=−226x+2018，c=−226x+2019，
∴a−b=−1，b−c=−1，a−c=−2，
∴a2+b2+c2−ab−bc−ca
=12×(2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca)
=12×[(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2]
=12×[(−1)2+(−1)2+(−2)2]
=12×(1+1+4)
=12×6
=3
故答案为：3．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，巧妙变形，利用完全平方公式因式分解，求出所求式子的值．
5.已知a﹣b=3，b+c=﹣5，代数式ac﹣bc+a2﹣ab的值为 ．
【答案】-6
【分析】先利用已知条件计算出a＋c＝−2，然后利用分组分解的方法把ac−bc＋a2−ab因式分解，再利用整体代入的方法计算．
【详解】∵ac−bc＋a2−ab＝c（a−b）＋a（a−b）＝（a−b）（c＋a），
∵a−b＝3，b＋c＝−5，
∴a＋c＝−2，
∴ac−bc＋a2−ab＝3×（−2）＝−6．
故答案为：−6．
【点睛】本题考查了因式分解的应用：用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．
题型七 新思路分解因式
1．（上海·七年级期末）阅读并解答：对于多项式x3−5x2+x+10，我们把x=2代入多项式，发现x=2能使多项式的值为0，由此可断定多项式x3−5x2+x+10中有因式x−2，（注：把x=a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式x−a），于是我们可以把多项式写成：x3−5x2+x+10=x−2x2+mx+n，分别求出m，n后代入，就可以把多项式x3−5x2+x+10因式分解．
(1)求式子中m，n的值；
(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．
【答案】(1)m=−3n=−5
(2)x+1x+22
【分析】（1）根据x3−5x2+x+10=x−2x2+mx+n，得出有关m，n的方程求出即可；
（2）由把x=−1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，则多项式可分解为x+1x2+mx+n的形式，进而将多项式分解得出答案．
【详解】（1）解：∵x−2x2+mx+n
=x3+mx2+nx−2x2−2mx−2n
=x3+m−2x2+n−2mx−2n，
∴x3−5x2+x+10=x3+m−2x2+n−2mx−2n，
∴m−2=−5n−2m=1−2n=10，
解得m=−3n=−5；
（2）解：当x=−1 时，x3+5x2+8x+4=−13+5×−12−8+4=0，
∴x3+5x2+8x+4=x+1x2+mx+n，
∴x3+5x2+8x+4=x3+m+1x2+n+mx+n，
∴m+1=5m+n=8n=4，
解得m=4n=4，
∴x3+5x2+8x+4=x+1x2+4x+4=x+1x+22．
【点睛】本题主要考查了因式分解的运用，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．
2．（上海·七年级期末）阅读理解：
已知x3－8有一个因式x－2，我们可以用如下方法对x3－8进行因式分解．
解：设x3－8＝（x－2）（x2＋ax＋b）
因为 （x－2）（x2＋ax＋b）＝x3＋（a－2）x2＋（b－2a）x－2b
所以 a－2＝0，且b－2a＝0，且－2b＝－8
所以 a＝2，且b＝4
所以 x3－8＝（x－2）（x2＋2x＋4）
这种分解因式的方法叫做待定系数法．
(1)已知x3＋27有一个因式x＋3，用待定系数法分解：x3＋27．
(2)观察上述因式分解，直接写出答案：
因式分解：a3＋b3＝ ；a3－b3＝ ．
【答案】(1)(x+3)(x2−3x+9)
(2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)；a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
【分析】（1）设x3+27=(x+3)(x2+ax+b)，根据(x+3)(x2+ax+b)= x3+(a+3)x2+(b+3a)x+3b，可得a+3=0，且3a+b=0，且3b=27，即可求解；
（2）令x为a，底数3为b，可得a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)，同理a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)，即可求解．
（1）
解：设x3+27=(x+3)(x2+ax+b)，
∵(x+3)(x2+ax+b)= x3+(a+3)x2+(b+3a)x+3b，
∴a+3=0，且3a+b=0，且3b=27，
∴a=−3,b=9，
x3+27=(x+3)(x2−3x+9)；
（2）
由（1）得：x3+33=(x+3)(x2−3x+9)，
令x为a，底数3为b，
∴a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)；
同理可得：a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)．
【点睛】本题主要考查了因式分解，明确题意，理解阅读材料，利用类比思想解答是解题的关键．
3.（山西运城期末）阅读与思考：“作差法”比较大小
比较代数式2m2+m−1与m2+m−3的大小时，可以使用如下方法：
2m2+m−1−m2+m−3=2m2+m−1−m2−m+3=m2+2，
∵m2≥0，∴m2+2>0，
2m2+m−1>m2+m−3，
这种比较大小的方法叫“作差法”．
任务：
(1)比较大小：x2+9 6x；
(2)若m>n>1，A=m+1m，B=n+1n，试比较A与B的大小．
【答案】(1)≥
(2)A>B
【分析】（1）直接利用作差法，然后利用非负数的性质得出结论即可；
（2）直接利用作差法，判断差的正负确定出A与B的大小即可．
【详解】（1）解：∵x2+9−6x=x−32≥0，
∴x2+9≥6x；
故答案为：≥；
（2）解：∵A−B=m+1m−n+1n
=m−n+1m−1n
=m−n−m−nmn
=m−n1−1mn
∵m>n>1，
∴m−n>0,mn>1，
∴0<1mn<1，
∴1−1mn>0．
∴m−n1−1mn>0，
∴A>B．
【点睛】此题考查了非负数的性质，作差法是比较两个式子大小常用的方法，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
4.（广东梅州·八年级校考阶段练习）阅读下面的材料，利用材料解决问题的策略解答下面问题．
(1)分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉法”，方法的关键核心是“拆两头，凑中间”．
例如，分解因式4x2−3xy−y2，方法如下：拆两头，4x2拆为4x，x，−y2拆为y，−y，然后排列如下：
4x y
x −y
交叉相乘，积相加得−3xy，凑得中间项，所以分解为4x2−3xy−y2=4x+yx−y，利用以上方法分解因式：4x2−5x+1；
(2)对不能直接使用提取公因式法，公式法或者十字交叉法进行分解因式的多项式，我们可考虑把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运动公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法．
利用以上方法分解因式：x3−x2−x+1．
【答案】(1)4x−1x−1
(2)x−12x+1
【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可得到答案；
（2）利用分组分解法、提公因式法、平方差公式因式分解即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意可得：
4x2−5x+1=4x−1x−1；
（2）解：根据题意可得：
x3−x2−x+1
=x3−x2−x−1
=x2x−1−x−1
=x−1x2−1
=x−1x−1x+1
=x−12x+1．
【点睛】本题考查的是多项式的因式分解，熟练掌握十字相乘法、分组分解法因式分解的一般步骤是解题的关键．
5.（甘肃兰州期末）阅读下列材料，并完成相应的任务．
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）．它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．
把x4+4分解因式．该因式只有两项，而且属于平方和x22+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，再将此项4x2减去，即可得
x4+4=x4+4x2+4−4x2=x2+22−4x2=x2+22−2x2=x2+2x+2x2−2x+2．这种方法叫填项法．
任务：
请你仿照上面的做法，将下列各式分解因式．
(1)4m4+n4；
(2)x2−2x−y2−4y−3．
【答案】(1)2m2+n2+2mn2m2+n2−2mn
(2)x+y+1x−y−3
【分析】（1）原式仿照题意添一项4m2n2，再减去4m2n2，利用乘法公式分解因式即可；
（2）仿照题意求解即可．
【详解】（1）解：4m4+n4
=4m4+4m2n2+n4−4m2n2
=2m2+n22−4m2n2
=2m2+n2+2mn2m2+n2−2mn；
（2）解：x2−2x−y2−4y−3
=x2−2x+1−1−y2−4y−4−3+4
=x−12−y+22
=x−1+y+2x−1−y−2
=x+y+1x−y−3．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知乘法公式分解因式是解题的关键．
题型八 已知方程求代数式的值
1．（上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）已知x−y=3，x2+y2=13，则x3y−8x2y2+xy3的值为
【答案】−6
【分析】先根据完全平方公式的变形求出xy=2，再把所求式子提取公因式xy得到xyx2−8xy+y2，据此代值计算即可．
【详解】解：∵x−y=3，
∴x−y2=9，
又∵x2+y2=13，
∴−2xy=x−y2−x2+y2=−4，
∴xy=2，
∴x3y−8x2y2+xy3
=xyx2−8xy+y2
=2×13−8×2
=−6，
故答案为：−6．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，正确得到x3y−8x2y2+xy3=xyx2−8xy+y2是解题的关键．
2．（上海普陀·八年级校考期中）已知实数x，y满足x2+y2x2+y2−7=8，那么x2+y2= .
【答案】8
【分析】将x2+y2看作一个整体，先进行因式分解，再利用平方的非负性即可求解．
【详解】解：∵ x2+y2x2+y2−7=8，
∴ x2+y22−7x2+y2−8=0，
∴ x2+y2−8x2+y2+1=0，
∵ x2+y2+1>1，
∴ x2+y2−8=0，
∴ x2+y2=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是掌握整体思想以及平方的非负性．
3．（上海杨浦·七年级统考期中）已知：x−2y=8，xy=5，求代数式x3y+4xy3的值．
【答案】420
【分析】根据完全平方公式的变形可得x2+4y2=x−2y2+4xy=84，再代入，即可求解．
【详解】解：∵x−2y=8，xy=5，
∴x2+4y2=x−2y2+4xy=82+4×5=84，
∴x3y+4xy3
=xyx2+4y2
=xyx−2y2+4xy
=5×84
=420
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式，多项式的因式分解是解题的关键．
题型九 三角形的存在性问题
1．（上海宝山·七年级统考期末）如果ΔABC的三边长a,b,c满足等式a2+b2+c2−ab−bc−ca=0，试判断此ΔABC的形状并写出你的判断依据．
【答案】ΔABC是等边三角形，理由见解析
【分析】利用因式分解得出三边长a,b,c的关系，即可判断三角形形状．
【详解】解：ΔABC是等边三角形
证明：∵a2+b2+c2−ab−bc−ca=0，
∴2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca=0．
∴a2−2ab+b2+a2−2ca+c2+b2−2bc+c2=0，
即(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2=0，
∴a−b=0，a−c=0，b−c=0，
∴a=b，a=c，b=c，即a=b=c，
∴ΔABC是等边三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题关键是熟练进行因式分解，得出三角形的三边关系．
2.将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“2＋2”分法、“3＋1”分法、“3＋2”分法及“3＋3”分法等．
如“2＋2”分法：
ax+ay+bx+by
=ax+ay+bx+by
=ax+y+bx+y
=x+ya+b
再如“3＋1”分法：
x2−2xy+y2−16
=x2−2xy+y2−16
=x−y2−42
=x−y+4x−y−4
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式：9x2−6xy+y2−16．
(2)△ABC的三边a，b，c满足a2+bc−ab=ac，判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】(1)3x−y+43x−y−4；
(2)△ABC是等腰三角形，理由见解析．
【分析】（1）根据“3＋1”分法即可得出答案；
（2）根据“2＋2”分法分解因式，得出a−b=0或a−c=0，即可得出答案．
【详解】（1）解：9x2−6xy+y2−16
=9x2−6xy+y2−16
=3x−y2−16
=3x−y+43x−y−4；
（2）解：a2+bc−ab=ac，
a2+bc−ab−ac=0，
a2−ab−ac−bc=0，
aa−b−ca−b=0，
a−ba−c=0，
∴a−b=0或a−c=0，
∴a=b或a=c，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题考查因式分解，利用分组分解法时，要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题．
3.阅读材料，解答问题：
我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实多项式的因式分解还有别的方法．
下面再介绍一种方法：“添（拆）项分组分解法”．
例题：x3+8=x3+2x2−2x2+8（添上2x2，再减去2x2使多项式的值不变）
=x3+2x2−2x2−8（分成两组）
=x2x+2−2x+2x−2（两组分别因式分解）
＝________（两组有公因式，再提公因式）
(1)请将上面的例题补充完整；
(2)仿照上述方法，因式分解：64x4+1；
(3)若a，b，c是△ABC三边长，满足3a2+4b2-6a-16b+19＝0，且c为整数，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】(1)x+2x2−2x+4；
(2)8x2+1+4x8x2+1−4x；
(3)△ABC是等腰三角形，理由见解析．
【分析】（1）运用提公因式法分解即可；
（2）需要添项，64x4=8x22，1=12，所以添16x2，凑成完全平方式，然后再运用平方差公式继续分解；
（3）仿照例题运用拆项分组分解法，把19拆成3和16，然后凑成两个完全平方式，再利用平方式的非负性进行计算．
【详解】（1）解：x3+8=x3+2x2−2x2+8
=x3+2x2−2x2−8
=x2x+2−2x+2x−2
=x+2x2−2x+4．
故答案为：x+2x2−2x+4；
（2）解：64x4+1
=64x4+16x2+1−16x2
=8x22+2⋅8x2⋅1+12−16x2
=8x2+12−4x2
=8x2+1+4x8x2+1−4x；
（3）解：∵3a2+4b2−6a−16b+19=0，
∴3a2−6a+3+4b2−16b+16=0，
∴3a2−2a+1+4b2−4b+4=0，
∴3a−12+4b−22=0，
∴a−1=0，b−2=0，
∴a=1，b=2．
∵a，b，c是△ABC三边长，
∴b−a＜c＜b+a，
∴1＜c＜3．
又∵c为整数，
∴c=2，
∴b=c=2，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，需要学生必须掌握完全平方公式和平方差公式的特征，才能灵活运用到解题中去．
4.（江西吉安·八年级统考期末）阅读下列材料：
常用分解因式的技法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2−2xy+y2−16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：
x2−2xy+y2−16=x−y2−16=x−y+4x−y−4
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)分解因式：①x2−4y2−2x+4y；②9a2+4b2−25m2−n2+12ab+10mn
(2)△ABC三边a，b，c满足2a2+b2+c2=2ab+c，判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】(1)①(x−2y)(x+2y−2)②(3a+2b+5m−n)(3a+2b−5m+n)
(2)△ABC是等边三角形，理由见详解
【分析】（1）①根据所给代数式前两项一组，后两项一组，分组分解后再提公因式即可；②先运用完全平方公式分解，再整体运用平方差公式进行分解；
（2）将2a2分成两项，分别与其他项组成完全平方公式，然后利用非负数的性质进行解答．
【详解】（1）解：①原式=(x+2y)(x−2y)−2(x−2y)
=(x−2y)(x+2y−2)；
②原式=9a2+12ab+4b2−(25m2−10mn+n2)
=(3a+2b)2−(5m−n)2
=(3a+2b+5m−n)(3a+2b−5m+n)；
（2）△ABC是等边三角形．
理由如下：
∵△ABC三边a，b，c满足2a2+b2+c2=2a(b+c)，
∴2a2+b2+c2−2a(b+c)=0，
即有2a2+b2+c2−2ab−2ac=a2−2ab+b2+a2−2ac+c2=(a−b)2+(a−c)2=0，
∵(a−b)2≥0，(a−c)2≥0，
∴(a−b)2=(a−c)2=0，
∴a−b=0且a−c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形．
【点睛】本题主要考查了因式分解以及因式分解的应用，解题关键是利用分组分解法时要明确分组的目的，并熟练运用完全平方式和平方差公式进行因式分解．
题型十 因式分解探究性问题
1．（上海·七年级期末）数学业余小组在活动中发现：
(a−b)(a+b)=a2−b2
(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3
(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4−b4
(a−b)(a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5)=a6−b6
……
(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2⋅⋅⋅+a2bn−3+abn−2+bn−1)=an−bn
（1）请你在答题卡中写出（补上）上述公式中积为a5−b5的一行；
（2）请仔细领悟上述公式，并将a3+b3分解因式：
（3）请将a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5分解因式．
【答案】（1）(a−b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)=a5−b5；（2）(a+b)(a2−ab+b2)；（3）(a+b)(a2−ab+b2) (a2+ab+b2)
【分析】（1）将n=5代入公式中即可求出结论；
（2）根据a3+b3=a3−(−b)3，然后利用条件中公式因式分解即可；
（3）将多项式乘(a−b)再除以(a−b)，然后根据条件中公式将分子变形，再利用平方差公式和条件公式将分子因式分解，最后约分即可．
【详解】解：（1）将n=5代入(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2⋅⋅⋅+a2bn−3+abn−2+bn−1)=an−bn中，得
(a−b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)=a5−b5；
（2）a3+b3
=a3−(−b)3
=[a−(−b)][a2+a(−b)+(−b)2]
=(a+b)(a2−ab+b2)；
（3）a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5
=(a−b)(a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5)a−b
=a6−b6a−b
=(a3+b3)(a3−b3)a−b
=(a+b)(a2−ab+b2)(a−b)(a2+ab+b2)a−b
=(a+b)(a2−ab+b2) (a2+ab+b2)．
【点睛】此题考查的是因式分解，根据已知条件中公式因式分解是解题关键．
2．（北京昌平·七年级统考期末）阅读：证明命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”．
设abc表示一个三位数，
则abc=100a+10b+c=99a+9b+a+b+c =911a+b+a+b+c
因为911a+b能被3整除，如果a+b+c也能被3整除，那么abc就能被3整除．
(1)①一个四位数abcd，如果a+b+c+d能被9整除，证明abcd能被9整除；
②若一个五位数2e3e2能被9整除，则e=______；
(2)若一个三位数xyz的各位数字是任意三个连续的正整数，则xyz的最小正因数一定是______（数字“1”除外）；
(3)由数字1至9组成的一个九位数mnp6q47s9，这个数的第一位m能被1整除，前两位组成的两位数mn能被2整除，前三位组成的三位数mnp能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除，写出这个九位数是______．
【答案】(1)①见解析；②1
(2)3
(3)381654729
【分析】（1）①首先把四位数abcd改写成9111a+11b+c+a+b+c+d，由9111a+11b+c能被9整除，a+b+c+d能被9整除，即可得出结论；②首先把五位数改写成9×2255+112e+7+2e，然后根据这个五位数能被9整除得7+2e能被9整除，即可求得答案；
（2）假设x=k，y=k+1，z=k+2，则三位数xyz=337k+4，据此可得出答案；
（3）由m能被1整除，可得m为质数，由四位数mnp6能被4整除，可得两位数p6能被4整除，则p=1，3，5，7，9，由九位数mnp6q47s9中已有7，9，可得p=1，3，5，由五位数mnp6q能被5整除，可得末尾数字q=5，从而得到p=1，3，由八位数mnp6q47s能被8整除，可得三位数47s能被8整除，从而得到s=2，从而得到m，n，p对应1，3，8，由m为质数可得m=3，由mn能被2整除可得n=8，从而得到p=1，即可得到答案．
【详解】（1）①证明：∵abcd是一个四位数，
∴abcd=1000a+100b+10c+d
=999a+99b+9c+a+b+c+d
=9111a+11b+c+a+b+c+d
∵ 9111a+11b+c能被9整除，a+b+c+d能被9整除，
∴四位数abcd能被9整除；
②解：∵ 2e3e2是一个五位数，
∴2e3e2=20000+1000e+300+10e+2
=20302+1010e
=9×2255+7+9×112e+2e
=9×2255+112e+7+2e，
∵五位数2e3e2能被9整除，
∴7+2e能被9整除，
∴e=1，
故答案为：1；
（2）解：∵三位数xyz的各位数字是任意三个连续的正整数，
∴不妨假设x=k，y=k+1，z=k+2，
∴xyz=100x+10y+z=100k+10k+10+k+2=111k+12=337k+4，
∴三位数xyz的最小正因数一定是3，
故答案为：3；
（3）解：∵ m，n，p，q，s均为0至9之间的整数
∴由m能被1整除，可得m为质数，
由四位数mnp6能被4整除，可得两位数p6能被4整除，则p=1，3，5，7，9，
由九位数mnp6q47s9中已有7，9，可得p=1，3，5，
由五位数mnp6q能被5整除，可得末尾数字q=5，从而得到p=1，3，
由八位数mnp6q47s能被8整除，可得三位数47s能被8整除，从而得到s=2，
∴这时的九位数为：mnp654729，
∴m，n，p对应1，3，8，
∵m为质数，
∴m=3，
∵两位数mn能被2整除，且m=3，
∴n=8，
∴p=1，
∴这个九位数时：381654729，
故答案为：381654729．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，数的整除特征，熟练掌握因式分解的方法，理解整除数的特征是解答此题的关键．
3．已知：a+b+c=1，ab+bc+ca=−2，abc=−1，设s1=a+b+c，s2=a2+b2+c2，s3=a3+b3+c3，……，sn=an+bn+cn
（1）计算s2=___________，s3=____________，s4=____________
（2）写出sn−3，sn−2，sn−1，sn四者之间的关系，并证明你的结论．
（3）根据（2）的结论，直接写出a6+b6+c6的值是_____________
【答案】（1）5，4，13；（2）sn=sn−1+2sn−2−sn−3，见解析；（3）38
【分析】（1）s2=a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2(ab+bc+ca)=1+4=5，由(a+b+c)3=﹣2(a3+b3+c3)+6abc+3(a2+b2+c2)，可求s3，由(a2+b2+c2)2=25变形可求s4；
（2）sn=sn﹣1•(a+b+c)﹣(an﹣1b+an﹣1c+abn﹣1+cbn﹣1+acn﹣1+bcn﹣1)=sn﹣1•(a+b+c)﹣[sn﹣2•(ab+ac+bc)﹣abcn﹣2﹣abn﹣2c﹣an﹣2bc]=sn﹣1•(a+b+c)﹣sn﹣2•(ab+ac+bc)+sn﹣3•abc，将已知条件代入即可；
（3）利用所求关系式可得：s5=s4+2s3﹣s2=13+8﹣5=16，则s6=s5+2s4﹣s3=16+26﹣4=﹣38．
【详解】（1）s2=a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2(ab+bc+ca)=1+4=5，
(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3c2b+6abc=a3+b3+c3+3a2(b+c)+3b2(a+c)+3c2(a+b)+6abc．
∵a+b+c=1，abc=﹣1，
∴(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2(1-a)+3b2(1-b)+3c2(1-c)+6abc
∴(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2-3a3+3b2-3b3+3c21-3c3+6abc
∴(a+b+c)3=﹣2(a3+b3+c3)-6+3(a2+b2+c2)，
∴s3=a3+b3+c3=4．
∵ab+bc+ac=-2，
∴(ab+bc+ca)2=4，
∴a2b2+b2c2+a2c2+2ab2c+2a2bc+2abc2=4，
∴a2b2+b2c2+a2c2+2abc(a+b+c)=4，
∴a2b2+b2c2+a2c2=6．
∵s2=a2+b2+c2=5，
∴(a2+b2+c2)2=25，
∴a4+b4+c4+2a2b2+2a2c2+2b2c2=25
∴a4+b4+c4+2×6=25
∴s4=a4+b4+c4=13．
故答案为：5，4，13；
（2）关系为sn=sn﹣1﹣2sn﹣2﹣sn﹣3；理由：
sn=sn﹣1•(a+b+c)﹣(an﹣1b+an﹣1c+abn﹣1+cbn﹣1+acn﹣1+bcn﹣1)=sn﹣1•(a+b+c)﹣[sn﹣2•(ab+ac+bc)﹣abcn﹣2﹣abn﹣2c﹣an﹣2bc]=sn﹣1•(a+b+c)﹣sn﹣2•(ab+ac+bc)+sn﹣3•abc．
∵a+b+c=1，ab+bc+ca=﹣2，abc=﹣1，
∴sn=sn﹣1+2sn﹣2﹣sn﹣3；
（3）∵s5=s4+2s3﹣s2=13+8﹣5=16，
∴s6=s5+2s4﹣s3=16+26﹣4=﹣38，
∴a6+b6+c6的为38．
故答案为：38．
【点睛】本题考查了因式分解的应用；理解题意，将已知式子进行合理的变形，再运用因式分解进行求解是解答本题的关键．

提升题
1．（上海青浦·七年级校考期中）已知a，b，c三个数两两不等，且有a2+b2+mab=b2+c2+mbc=c2+a2+mca，试求m的值．
【答案】−2或1
【分析】a2+b2+mab=b2+c2+mbc=c2+a2+mca，得a2+b2+mab=b2+c2+mbc，移项后因式分解得到a−ca+c+mb=0，由a，b，c三个数两两不等，则a−c≠0，得到a+c+mb=0①，同理可得a+b+mc=0②，b+c+ma=0③，分a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况求解即可．
【详解】解：∵a2+b2+mab=b2+c2+mbc=c2+a2+mca，
∴a2+b2+mab=b2+c2+mbc，
即a2+b2+mab−b2−c2−mbc=0，
∴a2−c2+mab−mbc=0，
∴a+ca−c+mba−c=0，
∴a−ca+c+mb=0，
∵a，b，c三个数两两不等，
∴a−c≠0，
∴a+c+mb=0①，
同理可得a+b+mc=0②，b+c+ma=0③，
当a+b+c≠0时，
①＋②＋③得，2a+b+c+ma+b+c=0，
∴2a+b+c+ma+b+c=0，
∴a+b+c2+m=0，
∴2+m=0，
解得m=−2，
当a+b+c=0时，
∵a，b，c三个数两两不等，
∴a，b，c三个数中至少一个不是0，
设b≠0，
∴a+c=−b≠0,
∵a+c+mb=0，
∴−b+mb=0，
∴bm−1=0，
∴m−1=0，
解得m=1，
综上可知，m的值为−2或1．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解是基础，分类讨论是解题的关键．
2．（浙江宁波·七年级校考期末）已知a2b+c=b2a+c=2023，且a、b、c互不相等，则c2a+b−2024= ．
【答案】−1
【分析】通过已知条件，找到a、b、c的关系：ab+ac=−bc，ac+bc=−ab，abc=−2023，即可获得答案．
【详解】解：∵a2b+c=b2a+c，
∴a2b+a2c−ab2−b2c=0，
∴ab(a−b)+c(a+b)(a−b)=0，
∴(a−b)(ab+ac+bc)=0，
∵a≠b，
∴a−b≠0，
∴ab+ac+bc=0，即ab+ac=−bc，ac+bc=−ab，
∵a2b+c=aab+ac=2023，
∴a−bc=2023，
∴−abc=2023，
∴abc=−2023，
∴c2a+b−2024=c(ac+bc)−2024=c(−ab)−2024=−abc−2024=−1
故答案为：−1．
【点睛】本题主要考查了代数式求值以及因式分解等知识，利用已知条件找到ab+ac+bc=0是解题关键．
3．（上海青浦·七年级校考期中）证明：a2+b2+c2x2+y2+z2≥ax+by+cz2
【答案】见解析
【分析】根据完全平方公式进行计算得出a2+b2+c2x2+y2+z2−ax+by+cz2 =ay−bx2+az−cx2+bz−cy2即可得证．
【详解】解：∵ay−bx2=a2y2−2abxy+b2x2≥0
az−cx2=a2z2−2acxz+c2x2≥0，
bz−cy2=b2z2−2bcyz+c2y2≥0，
∴ay−bx2+az−cx2+bz−cy2≥0，
即a2y2−2abxy+b2x2+a2z2−2acxz+c2x2+b2z2−2bcyz+c2y2≥0，
整理得a2y2+a2z2+b2x2+c2x2+b2z2+c2y2−2abxy−2acxz−2bcyz≥0，
∵a2+b2+c2x2+y2+z2−ax+by+cz2
=a2x2+a2y2+a2z2+b2x2+b2y2+b2z2+c2x2+c2y2+c2z2−a2x2−b2y2−c2z2−2abxy−2bcyz−2acxz
=a2y2+a2z2+c2x2+b2x2+b2z2+c2y2−2abxy−2bcyz−2acxz
=ay−bx2+az−cx2+bz−cy2，
∴a2+b2+c2x2+y2+z2≥ax+by+cz2．
【点睛】本题考查了完全平方公式，平方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键．