沪教版（五四制）（2024）七年级上册第十章 分式第1节 分式10.1 分式的意义优秀同步训练题

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分层练习
基础题
题型一 分式的判断
1．（上海闵行·七年级校考阶段练习）代数式−32x，4x−y，x+y，5b5a，98中，分式的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（上海松江·七年级校考阶段练习）式子①2x，②x+y5，③12−a，④xπ−1中，是分式的有 （ ）
A．①②B．③④C．①③D．①②③④
3．下列式子属于分式的是（ ）
A．a2bcB．xy3C．m+n21D．35
4．（浙江·七年级期末）下列各式中：xy2，3a−b，n−2π，a+1a，12m+n，a+2a2−4，其中分式的个数有（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（四川成都·七年级成都外国语学校校考期中）下列各式：x5,2x5π,7x2xy,5a+2，其中分式的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型二 按要求构造分式
1.请写出一个同时满足下列条件的分式：
（1）分式的值不可能为零；
（2）分式有意义时，a的取值范围是a≠−3；
（3）当a=0时，分式的值为−1．
你所写的分式为
2.（浙江绍兴·七年级统考期末）下列四个代数式1，π，x2−1，x+1，请从中任选两个整式，组成一个分式为 ．（只需写出一个即可）．
3.（山西长治·八年级统考阶段练习）打字员小丽要打印一份12000字的文件，第一天打字2小时，打字速度为w字/分钟，第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，则第二天她打字用的时间是（ ）分钟
A．12000−20w10+wB．12000−120w10+wC．12000−120w10−wD．12000−20w10−w
4.“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象.
【分数运算】
怎样理解23×45=815？

从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂部分）；再将涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，取出其中8份，所以23的45占原长方形的815，即23×45=815.
【尝试推广】
（1）①类比分数运算，猜想ba⋅dc的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且a>b，c>d）；
②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释.
（2）①观察下图，填空：ba=____________；
②若a、b均为正整数且a−b>1，猜想1a+b+1a−b的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同时加以简单的文字解释.
题型三 分式有意义的条件
1.分式x2−42x−1中x的取值范围是（ ）
A．x≠2B．x≠−2C．x=12D．x≠12
2.对于分式x+yx−2y，如果y=1，那么x的取值范围是________．
3.当x 时，分式2x2x−6有意义．
4.当x 时，分式12+x−12+x有意义.
5.当x 时，分式11+11+x有意义．
题型四 分式无意义的条件
1.（上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校联考期末）x=1时，分式3x2+x−a无意义，则a= ．
2．（上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）如果分式x2−x−62+x无意义，那么分式2x−3x+1的值为 ．
3．（上海·七年级期末）当x= 时，分式1x−1无意义．
4.（山西太原·八年级统考期末）下列x的值中，使分式x−2x−3无意义的是（ ）
A．x=3B．x=−3C．x=2D．x=−2
题型五 分式值为零的条件
1.（上海宝山·七年级校考期末）当x= 时，分式x2−1x−1⋅3x+4的值为0．
2.若分式|x|−2x−2的值为零，则x的值是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．0
3.若xx−1x+2x+1的值为0，则x的值一定不是（ ）
A．−1B．−2C．0D．1
4.若分式x−1x−1的值等于0，则x的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．±1
5.（1）x取何值时，分式|x|−3x2−6x+9的值为零？无意义？
当m等于什么时，分式m−1m−3m2−3m+2的值为零．
若分式x−3x2−2x−3的值为零，则x的值为 ．
7.（2023秋·上海青浦·七年级校考期末）若分式x2−42x−4的值为0，则x的取值为 ．
题型六 分式的求值
（上海闵行·七年级校考期末）已知1a−1b=3，则2a−3ab−2ba−2ab−b的值为 ．
（上海静安·七年级上海田家炳中学校考期中）如果yx＝13，那么2x−yy＝ ；
（设k法）已知x+13=y+34=x+y5，则3x+2y+1x+2y+3= ．
4.对于正数x，规定：f(x)=xx+1．
例如：f(1)=11+1=12，f(2)=22+1=23，f12=1212+1=13．
（1）填空：f3=________；f13=_______；f(4)+f14=_________；
（2）猜想：f(x)+f1x=_________，并证明你的结论；
（3）求值：f12020+f12019++⋅⋅⋅+f12+f(1)+f(2)+⋅⋅⋅+f(2019)+f(2020)．理由
题型七 求分式值为正 (负)数时未知数的取值范围
1.若分式x+2(x−1)2的值大于零，则x的取值范围是 ．
2.若分式a2a−1的值总是正数，则a的取值范围是（ ）
A．a>0B．a>12C．01
5.（四川凉山·八年级统考期末）若分式x+2x2−2x+1的值为正数，则x的取值范围是 ．
如果分式3x24−2x的值为正数，则x的取值范围是 ．
7.若分式1x−2值为正数，则x的值可能为（ ）
A．0B．1C．2D．3
若分式1x的值大于0，则x满足的条件是 ．
题型八 求使分式值为整数时未知数的整数值
1．若3a−1表示一个整数，则整数a可取的值共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．如果m为整数，那么使分式m+3m+1的值为整数的m的值有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
3.当x取何整数时，分式6x2−12x+61−x3的值是正整数
4．当x为何整数时，
(1)​分式42x+1​的值为正整数；
(2)​分式x+2x−1​的值是整数．
5．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：32=1+12．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：4x+1，x+1x2，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：x+2x−1，x2−12x+1，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：x+2x−1=x−1+3x−1=x−1x−1+3x−1=1+3x−1；x2x−2=x2−4+4x−2=x+2x−2x−2+4x−2=x+2+4x−2．
(1)分式x22x是______分式（填“真”或“假”）；
(2)将假分式3x+1x−1、x2+3x+2分别化为整式与真分式的和的形式；
(3)如果分式2x2−1x−1的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
6．分式4m−1的值是整数，则正整数m的值等于 ．
已知x为整数，且分式9x−73x+1的值也为整数，则满足条件的所有x的值之和为 ．
若2a+8a+1的值为整数，则正整数a的值为 ．
9．若2x2x+3表示一个整数，则整数x可取的个数有 个．
题型九 分式的规律性问题
1.对于正数x，规定fx=x1+x，例如：f3=31+3=34，则f12020+f(12019)+…+f12+f(1)+f(2)+…+f2019+f(2020)的值为（ ）
A．2021B．2020C．2019.5D．2020.5
2.有一个计算程序，每次运算都是把一个数除以它与1的和，即y1=xx+1，y2=y1y1+1，y3=y2y2+1……多次重复进行这种运算，若输入的值是2，则y2023为（ ）
A．12023B．24043C．24045D．24047
3.观察下列等式
第1个等式：13×23−16=12−13
第2个等式：24×28−112=13−14
第3个等式：35×215−120=14−15
第4个等式：46×224−130=15−16
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：____________________；
(2)写出你猜想的第n个等式__________（用含n的等式表示），并证明．
4.阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：83=6+23=2+23=223．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． x−1x+1,x2x−1，这样的分式就是假分式；再如：3x+1,2xx2+1这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：x−1x+1=x+1−2x+1=1−2x+1；
解决下列问题：
(1)分式 13x2是________________（填“真分式”或“假分式”）；
(2)将假分式4a+12a−1化为整式与真分式的和的形式：4a+12a−1 =____________；
(3)若假分式4a+12a−1的值为正整数，则整数a的值为________________；
(4)将假分式x2−2x−1x−1化为带分式（写出完整过程）．
5.观察下列等式：
第1个等式：31×2×22=11×2−12×22；
第2个等式：42×3×23=12×22−13×23；
第3个等式：53×4×24=13×23−14×24；
第4个等式：64×5×25=14×24−15×25；
第5个等式：75×6×26=15×25−16×26；
……
按上述规律，回答以下问题：
(1)写出第6个等式：_______________________________________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：_____________________________________（用含n的等式表示），并证明．
6.观察下列各式：
11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，
根据你发现的规律解答下列问题：
(1)第10个等式是：____________；
(2)若n为正整数，请你猜想1nn+1=______；请证明你猜想的等式成立．

提升题
对于一个四位自然数M，设M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，它的千位数字与个位数字组成的两位数为A=10a+d，十位数字与百位数字组成的两位数为B=10c+b，若A与B的差等于M的千位数字与百位数字和的相反数，则称M为“开数”．判断：1029是否为“开数” （填“是”“否”）；若M为“开数”，记GM=b+13c−a−d，当GM能被7整除时，则满足条件的M的最大值为 ．
2．（四川南充·四川省南充高级中学校考二模）已知x2−3x+1=0，则x3−2x+2x2的值为 ．
3.（湖北荆门·统考一模）已知a>0,S1=1a,S2=−S1−1,S3=1S2,S4=−S3−1,S5=1S4,…．即当n为于1的奇数时，Sn=1Sn−1；当n为大于1的偶数时，Sn=−Sn−1−1．计算S1+S2+S3+⋯+S2022的结果为 ．