初中数学10.5 可以化成一元一次方程的分式方程优秀复习练习题

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分层练习
基础题
题型一 分式方程的定义
1．（河北石家庄·八年级校联考阶段练习）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A．15+x4=3B．x−4y=7C．2x=3(x−5)D．4x−2=1
【答案】D
【分析】未知数在分母中的有理方程是分式方程，根据分式方程的定义可得答案．
【详解】解：15+x4=3是一元一次方程，故A不符合题意；
x−4y=7是二元一次方程，故B不符合题意；
2x=3(x−5)是一元一次方程，故C不符合题意；
4x−2=1符合分式方程的定义，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查分式方程的定义，理解分式方程的定义为解题的关键．
2．（河北石家庄·八年级石家庄市第二十七中学校考阶段练习）下列各式中是分式方程的是（ ）
A．1xB．x2+1=yC．x2+1=0D．2x−1=2
【答案】D
【分析】根据分式方程的定义，即可得出答案．
【详解】解：A、1x不是方程，故本选项不符合题意；
B、x2+1=y是整式方程，不是分式方程，故本选项不符合题意；
C、x2+1=0是整式方程，不是分式方程，故本选项不符合题意；
D、2x−1=2是分式方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的定义，熟练掌握分母中含有未知数的方程是分式方程是解题的关键．
3.下列式子：①x−12=1；②xx−2=x+23x−1；③23x+12x；④x2x=8；⑤xπ−1=1；⑥xa−2=xa≠0．其中，是关于x的分式方程有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可．
【详解】解：①分母中不含有未知数，是整式方程；
②分母中含有未知数，故是分式方程；
③不是等式，故不是方程；
④分母中含有未知数，故是分式方程．
⑤分母中不含有未知数，故不是分式方程；
⑥分母中不含有未知数，故不是分式方程；
综上所述：分式方程有②④，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
题型二 解分式方程
1．（上海·七年级校联考期末）解方程：2−xx−3+2=13−x．
【答案】无解
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可．
【详解】解：去分母，得：2−x+2x−3=−1，
去括号，得：2−x+2x−6=−1，
移项，合并，得：x=3；
检验：当x=3时，x−3=0，
∴x=3是原方程的增根，舍掉，
∴原方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键．注意，验根．
2．（上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）如图，小琪的作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若把污染的部分记为代数式A，若该题化简的结果为1x+3．
(1)求代数式A；
(2)该题化简的结果1x+3能等于17吗？为什么？
【答案】(1)x−4
(2)该题的化简结果不能等于17，理由见解析
【分析】（1）先化简x−4x2−9÷Ax−3，再根据化简结果为1x+3进行求解即可；
（2）若1x+3=17，可解得x=4，得到A=x−4=0，此时x−4x2−9÷x−4x−3没有意义，由此即可得到结论．
【详解】（1）解：x−4x2−9÷Ax−3
=x−4x+3x−3⋅x−3A
=x−4x+3A，
∵该题化简的结果为1x+3，
∴x−4x+3A=1x+3，
∴A=x−4x+3÷1x+3=x−4x+3⋅x+31=x−4；
（2）解：该题的化简结果不能等于17，理由如下：
当1x+3=17时，则x+3=7，解得x=4，
经检验x=4是方程1x+3=17的解，
∵当x=4时，A=x−4=0，即分式x−4x−3=0，此时x−4x2−9÷0没有意义，
∴该题的化简结果不能等于17．
【点睛】本题主要了分式的除法计算，解分式方程，正确计算是解题的关键．
3．（上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）解方程：3x+1x−3=2+4x−3．
【答案】x=−3
【分析】两边都乘以x−3，化为整式方程求解，然后检验即可．
【详解】3x+1x−3=2+4x−3
两边都乘以x−3，得
3x+1=2x−3+4
解得x=−3，
检验：当x=−3时，x−3≠0，
∴x=−3是原方程的解．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．
4．（上海宝山·七年级校考期末）解方程：1−1x−5=4−xx−5．
【答案】无解
【分析】根根分式方程的求解方法计算即可作答．
【详解】1−1x−5=4−xx−5
x−5−1=4−x
x+x=4+5+1
2x=10
x=5，
经检验，x=5是原方程的增根，
故原分式方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程的知识，注意要将所得的解代入原方程检验，是解答本题的关键．
题型三 根据分式方程解的情况求值
1．（上海·七年级上海市延安初级中学校考期末）若分式方程x−ax+1=a有增根，则a的值为 ．
【答案】−1
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x+1=0，得到x=−1，然后代入整式方程算出a的值即可．
【详解】解：方程两边同时乘以x+1得，x−a=ax+1，
∵方程有增根，
∴x+1=0，解得x=−1．
∴−1−a=0，解得a=−1．
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，先根据增根的定义得出x的值是解答此题的关键．
2．（上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考期中）当n为何取值范围时，分式方程xx+1−x+1x−3=x−nx2−2x−3的解不大于5．
【答案】n≤31且n≠19且n≠−5．
【分析】先去分母，把方程化为整式方程，解整式方程可得x=n−16，再由x≤5且x≠3且x≠−1，列不等式组，从而可得答案．
【详解】解：xx+1−x+1x−3=x−nx2−2x−3
∴xx+1−x+1x−3=x−nx−3x+1，
去分母得：xx−3−x+12=x−n，
整理得：6x=n−1，
解得：x=n−16，
∵x≤5且x≠3且x≠−1，
∴n−16≤5n−16≠3n−16≠−1
解得：n≤31且n≠19且n≠−5．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，掌握“根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围”是解本题的关键．
3．（上海青浦·七年级校考期末）如果方程1x−2=2+kx−2有增根，则k＝ ．
【答案】1
【分析】先化简原式，再将x＝2代入求解．
【详解】解：方程1x−2=2+kx−2两边同时乘以x﹣2可得，
1＝2（x﹣2）+k，
∵方程有增根x＝2，
∴将x＝2代入1＝2（x﹣2）+k，
可得k＝1．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
4．（上海浦东新·七年级校考期中）已知关于x的方程2x+mx−1=3的解是正数，则m的取值范围为 ．
【答案】m>−3且m≠−2
【分析】首先求出关于x的方程2x+mx−1=3的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围．
【详解】去分母，得2x+m=3(x−1)，
去括号，得2x+m=3x−3，
解得x=m+3，
根据题意得x−1≠0，即m+3−1≠0且m+3>0，
解得m>−3且m≠−2．
故答案为：m>−3且m≠−2．
【点睛】本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，解关于x的方程是关键，解关于x的不等式是本题的一个难点．
5．（七年级单元测试）已知关于x的分式方程1−mx−1−2=21−x的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤5且m≠−3B．m≥5且m≠−3C．m≤5且m≠3D．m≥5且m≠3
【答案】C
【分析】先求出分式方程的解，由题中已知得到不等式5−m2≥0，5−m2≠1，求解即可．
【详解】解：1−mx−1−2=21−x，
1-m-2(x-1)=-2，
1-m-2x+2=-2，
-2x=-2-2-1+m，
-2x=m-5，
x=5−m2，
由题意得
5−m2≥0，且5−m2≠1，
解得m≤5且m≠3．
故选C．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意增根的情况是解题的关键．
题型四 分式方程无解问题
1．（上海浦东新·七年级校考期中）a为何值时，关于x的方程3x−2+axx2−4=3x+2无解．
【答案】当a=0，−6或6时原方程无解
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a的值即可．
【详解】解：由原方程得：3x+2+ax=3x−2，
整理得：ax=−12，
（i）当a=0时，原方程无解；
（ii）当a≠0，原方程有增根x=±2，
当x=2时，2a=−12，即a=−6；
当x=−2时，−2a=−12，即a=6，
即当a=0，−6或6时原方程无解．
【点睛】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是解题的关键．
2．（上海青浦·七年级校考期末）如果关于x的分式方程ax+12−x=1无解，那么a的值是 ．
【答案】1或者−12
【分析】根据方程无解得出其对应的整式方程的解是x=2或整式方程无解，即可求出a．
【详解】解：ax+12−x=1，
方程两边同时乘以2−x，得：ax+1=2−x，
整理得：a+1x=1，
∵该分式方程无解，
∴a+1=0或者1a+1=2，
∴a=−1或者a=−12，
故答案为：1或者−12．
【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，解题关键是掌握分式方程无解说明了其对应的整式方程无解或整式方程的解使分母为零．
3．（上海·七年级期末）若y=1是方程my−1+3y−2=1(y−1)(y−2)的增根，则m= ．
【答案】-1
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．先去分母，然后把y=1代入代入整式方程，即可算出m的值．
【详解】解：my−1+3y−2=1y−1y−2
去分母，可得
m（y-2）+3（y-1）=1，
把y=1代入，可得
m（1-2）+3（1-1）=1，
解得m=-1，
故答案为-1．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
4.若分式方程k−1x2−1−1x2−x=k−5x2−x有增根x=−1，求k的值．
【答案】k=1
【分析】分式两边同乘以最简公分母可得：xk−1−x+1=x+1k−5，再将增根代入式子即可求出k的值．
【详解】解：∵分式方程的最简公分母为xx+1x−1，分式两边同乘以最简公分母可得：
xk−1−x+1=x+1k−5
∵分式方程有增根x=−1，
将其代入上式可得：−k−1=0，解之得：k=1．
【点睛】本题考查分式方程根的情况，利用分式方程有增根求参数值，解题的关键是将增根代入去分母之后的式子进行求解．
题型五 列分式方程
1．（上海·七年级专题练习）今日，上海疫情防控形势严峻，某工厂计划生产1000套防护服，由于工人加班加点，实际每天比计划多制作20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天制作x套防护服，则可列方程为（ ）
A．1000x−1000(1+20%)x=2B．1000x−1000(1+20%)x=2
C．1000(1+20%)x−1000x=2D．1000(1+20%)x−1000x=2
【答案】B
【分析】设原计划每天制作x套防护服，则实际每天制作为（1+20%）x，根据结果比原计划提前2天完成任务，列出方程即可．
【详解】解：设原计划每天制作x套防护服，
可列方程为：1000x−1000(1+20%)x=2，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
2．（上海杨浦·七年级校考阶段练习）甲、乙两个工程队承包一项工程合作15天完成，若他们单独做，甲比乙少用3天，设甲单独做需x天完成，则所列方程式 .
【答案】151x+1x+3=1
【分析】由甲单独做的天数表示出乙单独做需要的天数是（x＋3）天，再根据工程问题的数量关系建立等量关系就可以列出方程．
【详解】解：设甲单独做需要x天完成，则乙单独做需要（x＋3）天，
由题意得：151x+1x+3=1，
故答案为：151x+1x+3=1.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解决这类问题的关键是找到合适的等量关系列出方程．
3．（上海浦东新·七年级校考阶段练习）学生参加植树造林，甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树与乙班植70棵树所用的天数相等，求甲、乙两班每天各植树多少棵。下面列式错误的是 （ ）
A．设甲班每天植树x棵，则80x=70x−5B．设乙班每天植树x棵，则80x+5=70x
C．设甲班在x天植树80棵，则80x−70x=5D．设乙班在x天植树70棵，则70x=80x+5
【答案】D
【分析】分别设甲班每天植树x棵、乙班每天植树x棵、甲班在x天植树80棵、乙班在x天植树70棵，根据甲班植80棵树与乙班植70棵树所用的天数相等以及甲班每天比乙班多植5棵树，列出方程即可判断，
【详解】设甲班每天植树x棵，根据甲班植80棵树与乙班植70棵树所用的天数相等，可得方程：80x=70x−5，故A正确；
设乙班每天植树x棵，根据甲班植80棵树与乙班植70棵树所用的天数相等，可得方程：80x+5=70x，故B正确；
设甲班在x天植树80棵，根据甲班每天比乙班多植5棵树，可得方程：80x−70x=5，故C正确；
设乙班在x天植树70棵，根据甲班每天比乙班多植5棵树，可得方程：80x=70x+5，故D错误，
故选D.
【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系分别列出方程求解.
题型六 分式方程的实际应用
1．（上海青浦·七年级校考期末）某书店经销一种图书，11月份的销售额为2000元，为扩大销售量，12月份该书店对这种图书打九折销售，结果销售量增加20本，销售额增加700元．
(1)求书店11月份该图书的售价；
(2)若11月份书店销售该图书获利m元，那么该图书每本成本______元（用含m的代数式表示）．
【答案】(1)50
(2)50−m40
【分析】（1）设书店11月份该图书的售价为x元，根据销售量增加20本建立方程求解即可；
（2）依据由11月份书店销售该图书获利m元，利用售价减去每本获得的利润即可求解．
【详解】（1）解：设书店11月份该图书的售价为x元，
依题意得：
2000x+20=2000+7000.9x，
解得x=50，
经检验x=50是方程的解，
答：书店11月份该图书的售价为50元；
（2）由（1）可知，11月销量为2000÷50=40（本），
由11月份书店销售该图书获利m元，
则每本的成本为：50−m40元，
故答案为：50−m40．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，销售问题；解题的关键是认真审题得出关系式．
2．（上海宝山·七年级校考期末）某服装厂接到加工400套校服的任务，在加工完160套后，采用了新技术，这样每天加工服装的套数是原来的2倍，结果共用了14天完成任务．问原来每天加工服装多少套？
【答案】原来每天加工服装20套．
【分析】设原来每天加工服装x套，则采用新技术后每天加工2x套，然后根据共用了14天完成任务列出方程求解即可．
【详解】解：设原来每天加工服装x套，则采用新技术后每天加工2x套，
由题意得，160x+400−1602x=14，
解得x=20，
经检验x=20是原方程的解，
∴原来每天加工服装20套，
答：原来每天加工服装20套．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
3．（上海青浦·七年级校考期末）某书店用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在书店购进甲种图书的数量比用1400元购进乙种图书的数量少10本．
(1)甲乙两种图书的销售单价分别是多少元？
(2)书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？（购进两种图书全部售完）
【答案】(1)甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元；
(2)甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大，最大利润是5333元．
【分析】（1）乙种图书售价每本x元，则甲种图书售价为每本1.4x元，根据“用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本”列出方程求解即可；
（2）设甲种图书进货a本，总利润w元，根据题意列出不等式及一次函数，解不等式求出解集，从而确定方案，进而求出利润最大的方案．
【详解】（1）解：设乙种图书售价每本x元，则甲种图书售价为每本1.4x元．由题意得：
1400x−16801.4x=10，
解得：x=20．
经检验，x=20是原方程的解．
所以，甲种图书售价为每本1.4×20=28元，
答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元；
（2）解：设甲种图书进货a本，总利润w元，则
w=(28−20−3)a+(20−14−2)(1200−a)=a+4800．
又∵20a+14×(1200−a)≤20000，
解得：a≤16003．
∵w随a的增大而增大，
∴当a最大时w最大，
∴当a=533本时w最大，最大值为533+4800=5333（元）．
此时，乙种图书进货本数为1200−533=667（本）．
答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大，最大利润是5333元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系或不等关系是解应用题的关键．
4．（上海普陀·七年级校联考期末）为保证民众的安全，某小区决定对全体小区居民进行核酸检测，该小区需采集样本共9000份，原计划下午17点到18点进行采样，为了早一步完成采样工作，现将延长采样时间，实际每天采集样本份数是原来的2倍，从而提前3天完成采样任务，问实际每天采集样本多少份？
【答案】3000份
【分析】设原计划每天采集样本x份，表示原来和现在的工作时间，利用提前3天完成采样任务，列分式方程解题．
【详解】解：设原计划每天采集样本x份，则实际每天采集样本2x份，由题意得
9000x−90002x=3，
9000x−4500x=3，
x=1500，
经检验，x=1500是原方程的解且符合题意，
所以2x=3000，
答：实际每天采集样本3000份．
【点睛】本题考查分式方程解应用题，注意分式方程要验根．

提升题
1．（重庆沙坪坝·九年级重庆市第七中学校校考阶段练习）若整数a使关于x的不等式组x−33+1>x−222x≥122x+a至少有两个整数解，且使关于y的分式方程a−5y−1−41−y=2有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为 ．
【答案】15
【分析】先解不等式①得x<6，解不等式②得x≥a2，根据不等式组至少有两个整数解可得a≤8，解分式方程可得y=a+12，根据y≠1和分式方程有正整数解可得a≠1，−1【详解】解：x−33+1>x−22①2x≥122x+a②，
解不等式①得：x<6，
解不等式②得：x≥a2，
∵整数a使关于x的不等式组x−33+1>x−222x≥122x+a至少有两个整数解，
∴a2≤4，
∴a≤8，
∵a−5y−1−41−y=2，
∴去分母得：a−5+4=2y−2，
解得：y=a+12，
∵y≠1，
∴a+12≠1，
∴a≠1，
∵分式方程有正整数解，
∴a+1>0，且a+1是2的倍数，
∴a>−1，
∴−1∴0∴a+1=4或a+1=6或a+1=8，
∴a=3或a=5或a=7，
∴满足条件的所有整数a的和为：3+5+7=15，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法、分式方程的解法，注意方程增根的讨论是解题的关键．
2．（浙江嘉兴·七年级统考期末）已知关于x的方程ax+bx−1=b，其中a，b均为整数且a≠0．
(1)若方程有增根，则a，b满足怎样的数量关系？
(2)若x=a是方程的解，求b的值．
【答案】(1)a+b=0
(2)−1或8或9
【分析】（1）由分式方程有增根，得到x−1=0，求出x的值即为增根；
（2）将x=a代入ax+bx−1=b求得b=a+2+4a−2，根据题意可得a−2=±1或−2或±4，分别带入求得b的值即可．
【详解】（1）解：由分式方程有增根，得到x−1=0，
解得：x=1，
将分式方程化为整式方程：ax+b=bx−1，
整理得：a−bx+2b=0，
将x=1代入a−bx+2b=0得：a+b=0，
即若方程有增根，则a+b=0．
（2）解：∵x=a是方程的解，
将x=a代入ax+bx−1=b得：a2+ba−1=b，
整理得：a2−ab+2b=0，
∴b=a2a−2，
∴b=a2−4+4a−2=a+2+4a−2，且a≠2
∵a，b均为整数且a≠0，
∴a−2=±1或−2或±4，
当a−2=−1时，即a=1，b=a2a−2=1−1=−1；
当a−2=1时，即a=3，b=a2a−2=321=9；
当a−2=2时，即a=4，b=a2a−2=422=8；
当a−2=−4时，即a=−2，b=a2a−2=−22−4=−1；
当a−2=4时，即a=6，b=a2a−2=624=9；
综上，b的值为−1或8或9．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，求分式方程中字母的值，解题的关键是①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
化简：x−4x2−9÷■x−3的结果为________