初中数学沪教版（五四制）（2024）七年级上册11.2 旋转精品同步训练题

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分层练习
基础题
题型1判断生活中的旋转现象
1．下列运动中，不属于旋转变换的是（ ）
A．钟摆的运动B．行驶中的汽车车轮C．方向盘的转动D．电梯的升降运动
【答案】D
【分析】此题考查了旋转的概念，根据旋转的概念求解即可．旋转是物体围绕一个点或一个轴做圆周运动．
【详解】解：A．钟摆的运动属于旋转变换，故不符合题意；
B．行驶中的汽车车轮属于旋转变换，故不符合题意；
C．方向盘的转动属于旋转变换，故不符合题意；
D．电梯的升降运动不属于旋转变换，故符合题意．
故选：B．
2．下面每组的两个图形，经过平移后可以重合的是（ ）．
A． B． C．
【答案】B
【分析】根据平移、旋转的定义即可解答．
【详解】解： 经过旋转后可以重合；
经过平移后可以重合；
经过旋转后可以重合．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平移和旋转的意义，平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动；旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心；所以它并不一定是绕某个轴的运动；也可以这样说平移是不转动的，旋转自然是转动的．
3．北京冬奥会于2022年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质解答即可.
【详解】解：根据题意得：将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是：

故选：D.
【点睛】本题考查了生活中的旋转现象，熟知旋转的概念和性质是解题的关键.
4．下列现象中，属于平移的是（ ）
①荡秋千；②坐电梯；③拧瓶盖；④物品在传送带上移动
A．①②B．①③C．②③D．②④
【答案】D
【分析】根据平移的定义进行判断即可．
【详解】解：①荡秋千属于钟摆运动；
②坐电梯属于平移；
③拧瓶盖属于旋转；
④物品在传送带上移动属于平移；
综上分析可知，属于平移的是②④，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了生活中的平移与旋转，解题的关键是熟练掌握平移和旋转的定义，在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转．
5．下列现象中属于旋转的有 （填序号）
①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆．
【答案】②④⑤
【分析】旋转变换：把一个图形绕着某个点旋转一定的角度，得到另一个图形，即为旋转变换；平移变换：把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，即为平移变换．
【详解】解：①火车在笔直行驶，③地下水位下降；是平移；
②荡秋千运动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆,属于旋转，
故答案为：②④⑤．
【点睛】本题考查旋转和平移的概念，熟练掌握这两个基础概念是解题的关键．
题型2判断由一个图形旋转而成的图案
6．图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（ ）
A．平移B．翻折C．旋转D．以上三种都不对
【答案】C
【详解】解：根据图形可知，这种图形的运动是旋转而得到的，
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的旋转，熟记图形的旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转）是解题关键．
7．先用剪纸剪出两个相同的三角形，将它们完全重合在一起，下列图形可以通过平移其中一个三角形得到另一个三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平移的性质，结合轴对称、旋转变换的定义判断得出即可．
【详解】解：A、可以通过轴对称得到，故此选项错误；
B、可以通过平移得到，故此选项正确；
C、可以通过旋转然后平移得到，故此选项错误；
D、可通过旋转然后平移得到，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平移的性质以及轴对称、旋转变换，正确把握定义是解题关键．
8．下列右边的四个图形中，不能由图形在同一平面内经过旋转得到的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】C
【分析】本题考查了生活中的旋转现象，解题的关键是掌握把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换．
【详解】解：①由顺时针旋转得到，故①正确；
②由逆时针旋转得到，故②正确
③由无法旋转得到，故③错误；
④由顺时针旋转得到，故④正确．
故选：C．
9．如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转后得到的图案（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质可进行求解．
【详解】解：由旋转的性质可知只有D选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10．如图，可以由经过怎样的变换而得到？请简要说明变换过程．
【答案】把先向右平移1个单位，再绕点B逆时针旋转可得到（答案不唯一）
【分析】利用平移和旋转变换说明变换过程即可．
【详解】解：根据网格和图形中与的相对位置，
可知：把先向右平移1个单位，再绕点B逆时针旋转可得到．
即变换过程为：把先向右平移1个单位，再绕点B逆时针旋转．
【点睛】本题考查了几何变换，掌握平移变换、旋转变换的特点是解答本题的关键．
题型3找旋转中心、旋转角、对应点
11．如图，五角星绕着它的旋转中心旋转，使得△ABC与△DEF重合，那么旋转角的度数至少为（ ）
A．60°B．120°C．72°D．144°
【答案】D
【详解】试题分析：由于五角星的五个角可组成正五边形，根据正五边形的性质得到正五边形的中心角为72°，然后可判断要使△ABC与△DEF重合，旋转角的度数至少为2个72°．
解：五角星的五个角可组成正五边形，而正五边形的中心角为=72°，
所以五角星绕着它的旋转中心至少旋转2个72°，使得△ABC与△DEF重合．
故选D．
考点：旋转的性质．
12．如图，中，，将绕着点顺时针旋转到，且点B、点B、点在同一直线上，则旋转角是 ．
【答案】118
【分析】利用邻补角的定义计算出，然后根据旋转的性质确定旋转角的大小．
【详解】解：∵将绕着点顺时针旋转到，
∴∠CAC′等于旋转角，
∵，点B、点B、点在同一直线上，
∴，
即旋转角为．
故答案为：118．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
13．如图，如果三角形旋转后能与等边三角形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有 个．
【答案】3
【分析】根据三角形旋转后能与等边三角形重合，确定旋转中心，即可得到答案．
【详解】解：以点B为旋转中心，顺时针旋转，能与等边三角形重合；
以C为旋转中心，逆时针旋转，能与等边三角形重合；
以的中点为旋转中心，旋转，能与等边三角形重合；
则图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有3个．
故答案为：3
【点睛】此题考查了图形的旋转，熟练掌握旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角是解题的关键．
14．在角、线段、等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆中共有 个旋转对称图形．
【答案】4
【分析】根据旋转对称图形的定义：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．解答即可．
【详解】解：在角、线段、等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆中只有线段，五角星、圆、平行四边形是旋转对称图形．
∴旋转对称图形一共有4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念；注意掌握旋转对称图形的定义是关键．
15．如图，△ABC顺时针旋转能与△ADE重合，且∠BAE=60°，则旋转中心是 ，旋转角的大小是 度.

【答案】 A 30
【分析】由△ABC顺时针旋转能与△ADE重合，且∠BAE=60°，再结合旋转的性质即可确定旋转中心和旋转角.
【详解】解：∵由△ABC顺时针旋转能与△ADE重合，且∠BAE=60°
∴∠BAC=∠DAE=∠BAE=30°
∴.旋转中心是A；旋转角的大小是30°.
故答案为：A，30.
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后图形的对应关系以及数形结合思想的应用是解答本题的关键.
题型4求旋转中心的个数
16．如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，那么图形所在平面内，可作为旋转中心的点个数（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】可以绕点D,点C,线段CD的中点旋转，
故选C.
17．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（ ）
A．M或O或NB．E或O或CC．E或O或ND．M或O或C
【答案】A
【详解】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH；
若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH；
若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH．
故选A．
18．如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置．
【详解】解：如图，
绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置；
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B．
19．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有 个．
【答案】2．
【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心．
【详解】解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D；
把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C；
综上，可以作为旋转中心的有2个．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
题型5旋转中的规律性问题
20．依次观察三个图形：，并判断照此规律从左向右第四个图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据图形规律可知，从左到右是依次顺时针旋转图形，据此即可求解．
【详解】解：由图形规律可得从左到右是依次顺时针旋转图形，
∴第四个图形是D．
故答案为：D
【点睛】本题考查了旋转的性质，根据三个图形找出旋转的规律是解题关键．
21．有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（ ）
A．图①B．图②C．图③D．图④
【答案】A
【分析】观察图形不难发现，四次旋转后矩形又回到初始水平位置，用2021除以4，根据商和余数的情况确定即可．
【详解】解：由图可知，四次旋转后矩形又回到初始水平位置，
∵2021÷4=505余1，
∴第2021次旋转后得到的图形为第505个循环组的第一个图，是图①．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，图形变化规律，观察出四次旋转后矩形又回到初始水平位置是解题的关键．
22．等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（ ）
A．﹣2021B．﹣2022C．﹣2023D．﹣2024
【答案】B
【分析】作出草图，不难发现，每3次翻转为一个循环组依次循环，用2023除以3，根据余数为1可知点C在数轴上，然后进行计算即可得解．
【详解】解：如图，每3次翻转为一个循环组依次循环，
∵2023÷3＝674…1，，
∴翻转2023次后点C在数轴上，
∴点C对应的数是0﹣674×3＝﹣2022．
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每3次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键．
23．如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】观察图形的变化易得每旋转一次的度数，根据阴影所处的位置可得相应选项．
【详解】解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周，
∵2021÷4＝，
即第2021次与第1次的图案相同．
故选：A．
【点睛】此题考查了图形的变换规律问题，解题的关键是找到图形旋转的规律周期．
24.射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．
【解决问题】
（1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD 射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 ；（用含n的代数式表示）
（3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？
【答案】（1）是；（2）n；（3）或或或30秒
【分析】（1）根据“友好线”定义即可作出判断；
（2）根据“友好线”定义即可求解；
（3）利用分类讨论思想，分四种情况进行计算即可．
【详解】解：（1）∵OB是∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠COD，
∵∠COA＝∠BOC，
∴∠BOD＝∠AOD，
∴射线OD是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”．
（2）∵射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，∠AOB的度数为n，
∴∠BOM＝∠AOB＝n，
∵ON平分∠AOB，
∴∠BON＝∠AOB＝n，
∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n；
（3）设运动时间为x（x≤36）秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”．
当射线OB是射线OA在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝∠COB，
所以3x＝（180﹣5x﹣3x），
解得x＝（符合题意），
即运动时间为秒时，射线OB是射线OA的“友好线”．
当射线OB是射线OC在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOB，
所以180﹣5x﹣3x＝×3x，
解得x＝（符合题意），
即运动时间为秒时，射线OB是射线OC的“友好线”．
当射线OC是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOC，
所以3x+5x﹣180＝（180﹣5x），
解得x＝（符合题意），
即运动时间为秒时，射线OC是射线OB的“友好线”．
当射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠AOC＝∠COB，
所以180﹣5x＝（5x+3x﹣180），
解得x＝30（符合题意），
即运动时间为30秒时，射线OC是射线OA的“友好线”．
综上所述，当运动时间为或或或30秒时，符合题意要求．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角的运算，理解新定义，并用数形结合思想解答是解题的关键．
题型6根据旋转的性质求解
25．将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设时间为秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边）平行，则所有满足条件的的值为 ．

【答案】或
【分析】根据题意得，，（1）如图1，当时，延长交于点P，分两种情况讨论：①在上方时，②在下方时，，列式求解即可；（2）当时，延长交于点I，①在上方时，，②在下方时，，列式求解即可．
【详解】解：由题意得，，，
（1）如图1，当时，延长交于点，

①在上方时，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
②在下方时，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴（不符合题意，舍去），
（2）当时，延长交于点I，

①在上方时，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
②在下方时，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴（不符合题意，舍去），
综上，所有满足条件的的值为或．
故答案为：或．

【点睛】本题考查了平行线的性质、旋转的性质，掌握平行线的性质并正确分情况讨论是解题的关键．
26．如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么 °．
【答案】125
【分析】根据旋转的性质即可得到结论．
【详解】∵将绕点A顺时针旋转后得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：125．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．
27．如图，绕点顺时针旋转后与重合．若，则 ．
【答案】/度
【分析】由旋转的性质得，进一步计算即可求解．
【详解】解：由旋转的性质得，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，是基础题，熟记性质并确定是解题的关键．
28．如图，在三角形中，，四边形是边长为6的正方形，且、、分别在边、、上．把三角形绕点逆时针旋转一定的角度．

(1)当点与点重合时，点的对应点落在边上，此时四边形的面积为______；
(2)当点的对应点落在线段上时，点的对应点为点，在旋转过程中点经过的路程为，点经过的路程为，且，求线段的长．
【答案】(1)36
(2)14
【分析】（1）由旋转可知，，所以等于正方形的面积，求解即可；
（2）由得，求出，再结合即可求解．
【详解】（1）解：由旋转可知，，
由题意可知，，
，
故答案为：36；
（2）如图：

设旋转角为，
则，，
，
，
，
，
∵点的对应点落在线段上，
，
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、弧长公式，熟练利用旋转的性质是解题的关键．
29．如图，在正方形中，点E是边上的一点（与A，B两点不重合），将绕着点C旋转，使与重合，这时点E落在点F处，联结．

(1)按照题目要求画出图形；
(2)若正方形边长为3，，求的面积；
(3)若正方形边长为m，，比较与的面积大小，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)4
(3)，理由见解析
【分析】（1）按照题目要求根据旋转的性质即可画出图形；
（2）根据旋转的性质得出，然后求出和，进而可求的面积；
（3）首先求出，然后证明，根据求出，即可比较与的面积大小．
【详解】（1）解：如图所示；

（2）根据旋转的性质可知：，
∵正方形的边长为3，
∴，，
∴；
（3）；
理由：根据旋转的性质可知：，
∵正方形的边长为m，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了作图—旋转变换，旋转的性质，整式混合运算的实际应用，解决本题的关键是掌握旋转的性质，正确求出和．
题型7根据旋转的性质说明线段或角相等
30．如图，将三角形绕点C逆时针旋转一定的角度得到三角形，此时点A在边上．若，，则的长为（ ）

A．4B．3C．2.5D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了图形的旋转，线段的和差，根据图形旋转的性质可得，即可求解．熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：∵将绕点C逆时针旋转一定的角度得到，此点A在边上，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
31．如图，三角形绕点B顺时针旋转，旋转角等于，得到三角形，那么下列说法错误的是（ ）．

A．平分B．C．D．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质得到，，，即可对选项进行判断．
【详解】解：∵三角形绕点B顺时针旋转，旋转角等于，
∴的对应边为，的对应边为，
∴，，，
∴平分，
通过已知条件不能得出，
所以A，B，D选项正确，C选项不正确．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
32．如图，中，，，将绕点B逆时针旋转得到，若，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用旋转的性质求出的度数即可．
【详解】∵将绕点B逆时针旋转得到，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
33．如图，若绕某个点逆时针旋转后与重合，若，则的长为 ．

【答案】7
【分析】由旋转的性质可知，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由旋转的性质可知，
∴，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了旋转的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
34．加图，将三角形绕点O旋转得到三角形，且，，则：

(1)点B的对应点是____________________．
(2)线段的对应线段是_______________．
(3)线段的对应线段是_______________．
(4)的对应角是__________________．
(5)三角形旋转的角度是____________．
【答案】(1)点
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根据旋转的定义和性质求解即可．
【详解】（1）解：点B的对应点是点，
故答案为：点；
（2）解：线段的对应线段是，
故答案为：；
（3）解：线段的对应线段是，
故答案为：；
（4）解：的对应角是，
故答案为：；
（5）解：三角形旋转的角度是，
故答案为：．
【点睛】本题考查作图−旋转变换、旋转的定义和性质，熟练掌握旋转的定义和性质是解题的关键．
题型8旋转的性质及辨析
35．下列说法中正确的有（ ）
（1）如果把一个图形绕着一定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称；
（2）如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等；
（3）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它不是中心对称图形；
（4）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它是中心对称图形．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据中心对称图形定义及性质依次判断即可．
【详解】（1）只有旋转后重合才是中心对称，故此说法错误；
（2）对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，但是距离不一定相等，故此说法错误；
（3）如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为，那么它不是中心对称图形，此说法正确；
（4）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它不一定是中心对称图形，故此说法错误；
说法正确的只有1个，
故选：B．
【点睛】此题考查中心对称图形，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
36．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（ ）
A．旋转前和旋转后的图形一样B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等
C．图形上的每一个点旋转的角度都相同D．图形上可能存在不动的点
【答案】B
【分析】根据旋转的性质对A、B、C进行判断；利用旋转中心为图形上一点的情况可 D进行判断．
【详解】解：A、旋转前和旋转后的图形全等，故A选项不符合题意；
B、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，故B选项符合题意；
C、图形上每一点移动的角度相同，都等于旋转角，故C选项不符合题意；
D、图形上可能存在不动的点，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
37．如图，若将一个由半圆（圆心为O）和一条直径所组成的图形称为“半圆形O”，它的直径AB＝2，半圆形B的直径为OC．对半圆形O作下述运动，所得图形能与半圆形B重合的是（ ）
A．向右平移1个单位B．以直线AB为对称轴进行翻折
C．绕着点O旋转180°D．绕着线段OB的中点旋转180°
【答案】D
【分析】根据中心对称的性质即可得出结论．
【详解】∵OB＝AB＝OC，
∴AB＝OC，
由图象可知半圆形O和半圆形B是共圆中心对称的两个图形，其对称中心为对称点连线的中点，
故半圆形O绕着线段OB的中点旋转180°能与半圆形B重合，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，关于中心对称的两个图形的概念，找出对称中心是解题的关键．
38．下列说法正确的是（ ）
A．平移和旋转的共同点是改变了图形的位置，而图形的形状、大小没有变化.
B．平移不改变图形的形状、大小，而旋转则改变图形的形状、大小.
C．图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离.
D．在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行.
【答案】A
【分析】根据平移和旋转的性质，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】A、平移和旋转的共同点是改变图形的位置，而图形的形状大小没有变化，故A正确；
B、平移不改变图形的形状和大小，而旋转同样不改变图形的形状和大小，故B错误；
C、图形可以向某方向平移一定距离，而旋转是围绕中心做圆周运动，故C错误；
D、在平移和旋转图形中，对应角相等，平移中对应线段相等且平行，旋转图形对应线段相等但不一定平行，故D错误
故选：A．
【点睛】本题主要考查了几何的类型，解题的关键是正确掌握平移和旋转的定义，即在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动成为平移；旋转就是物体绕着某一点或轴运动．平移和旋转的共同点是改变图形的位置．
39．如图，是一个由边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，
（1）在网格中画出将△ABC向右平移4个单位后的△A1B1C1；
（2）△ABC绕点O旋转180°后，点A与点A2重合，请在网格中画出点O，并画出△ABC绕点O旋转180°后的△A2B2C2；
（3）描述△A1B1C1与△A2B2C2的位置关系是 ．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）关于B1B2的中点成中心对称或关于A1A2的中点成中心对称或关于C1C2的中点成中心对称
【详解】试题分析：本题考查了平移、旋转、轴对称的性质.（1）找出向右平移4个单位后的点A1，B1，C1，然后顺次连接即可；（2）连接AA2，其中点O就是旋转中心，然后根据旋转的性质找出B2，C2，用线段顺次相连即可；（3）由图形观察可得△A1B1C1与△A2B2C2成旋转对称关系.
（1）如图，△A1B1C1 ；
（2）如图，连接AA2，点O就是旋转中心， △A2B2C2 就是所求做的图形；
（3）关于B1B2的中点成中心对称或关于A1A2的中点成中心对称或关于C1C2的中点成中心对称
题型9画旋转图形
40．如图，方格纸上的直线m与直线n交于点O，对分别作下列运动：
①先以点A为中心顺时针方向旋转，再向右平移6格、向下平移3格；
②先以点B为中心逆时针方向旋转，再向下平移3个单位，再沿直线n翻折；
③先以点O为中心顺时针方向旋转，再向下平移4格、向右平移2格．
其中，能将变换成的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【分析】根据图形的平移、旋转的性质，画出图形，即可一一判定．
【详解】解：①先以点A为中心顺时针方向旋转，得到的图形如下：
再向右平移6格、向下平移3格，即可得到，
故①符合题意；
②先以点B为中心逆时针方向旋转，得到的图形如下：
再向下平移3个单位，再沿直线n翻折，即可得到，
故②符合题意；
③先以点O为中心顺时针方向旋转，得到的图形如下：
再向下平移4格、向右平移1格，即可得到，
故③不符合题意．
故其中，能将变换成的是①②，
故选：A．
【点睛】本题考查了图形的变化，熟练掌握平移、旋转变化的性质与运用是解决本题的关键．
41．在边长为1的正方形方格纸中，有如图所示的（顶点都在格点上）．
(1)先画出该三角形关于直线l成轴对称的；
(2)再画将绕点逆时针方向旋转90°后的；
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)3
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
（3）利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求，
（2）如图所示，即为所求；
（3）的面积．
【点睛】本题考查画旋转图形和画轴对称图形，以及三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称变换，旋转变换的性质．
42．如图，已知长方形，，，E是的中点，连接；将绕点旋转（其中分别与对应）使得落在直线BC上，得．
(1)画出满足条件的；
(2)
(3)连接，求的面积
【答案】(1)见解析
(2)或
(3)或
【分析】（1）将绕点顺时针或逆时针旋转即可得出满足条件的三角形；
（2）根据（1）中的不同位置，分类求解即可；
（3）根据（1）中的不同位置，分类计算的面积即可；
【详解】（1）解：将绕点顺时针或逆时针旋转即可得出满足条件的三角形；如图，即为所求；
（2）解：∵E是的中点
∴
由旋转的性质可得：，,
由此易得：三点共线；
当为绕点顺时针旋转所得时；
当为绕点逆时针旋转所得时；
故答案为：或
（3）解：当为绕点顺时针旋转所得时；
当为绕点逆时针旋转所得时；
综上，的面积为或；
【点睛】本题考查了图形的旋转；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
43．如图，正方形中，点是线段延长线一点，联结，，．
(1)将线段沿着射线方向运动，使得点与点重合，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积为________；
(2)将三角形绕着点旋转，使得与重合，点落在点上，联结，用代数式表示三角形的面积________；
(3)将三角形绕平面内某一点顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全复合，请在备用图中画出符合条件的4种情况（第（2）小题的情况除外）并写出旋转中心、旋转角．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据平移的性质和平行四边形的面积计算即可；
（2）根据三角形的面积计算即可；
（3）根据旋转的性质画出图形得出旋转中心和角度即可．
【详解】（1）解：线段扫过的平面部分的面积为，
故答案为：；
（2）解：由题意得，，
∴的面积，
故答案为：；
（3）①如图，旋转中心：边的中点为O，顺时针，
；
②如图，旋转中心：点D；顺时针旋转，
；
③如图，旋转中心：正方形对角线交点G；顺时针旋转，
；
④如图，旋转中心：正方形对角线交点G；顺时针旋转，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，关键是根据旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角解答．
44．如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，三角形ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
(1)将三角形ABC向右平移5个单位长度得到三角形，画出三角形（点，，分别为点A，B，C的对应点）
(2)将三角形ABC绕点C逆时针旋转90°，得到三角形，画出三角形（点，分别为点A，B的对应点）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：如图：
【点睛】本题考查作图——平移变换、旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．
题型10旋转综合题（几何变换）
45．将一副直角三角板和如图（1）放置，此时四点在同一条直线上，点A在边上，其中，，．

(1)求的度数；
(2)将图（1）中的三角板绕点A以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为t秒．
①当旋转至图（2）时，此时，求a的值；
②若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，直接写出t的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据题意，由三角形外角定理即可求解；
（2）①当时，分两种情况，第一种当旋转角度在之间时，根据三角形外角定理得，再根据即可求解；第二种情况当旋转角度在时，此时再旋转；
②分三种情况讨论：第一种当时，a为或a为，第二种当时，a为或a为，，a为，根据角度转动速度分别求解t即可．
【详解】（1）解：，，
；
（2）解：①如图，

，
，
由（1）知，，，
，，
，
如图，与延长线交于点，

由第一种情况知，这种情况是在第一种情况的基础上再旋转，
三角板绕点A以每秒的速度按顺时针方向旋转，
，
；
解：②如图，当时，

，
，
，
，
a为或a为，
（秒），（秒）．
如图，当时，

，
，
a为或a为，
（秒），（秒），
．
如图，当时，
此时a为
∴，
综上所述，
【点睛】本题考查角的运动和角的运算及平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法及性质和角度的运算是解题的关键．
46．已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于且小于等于的角）．
(1)如图，当、重合时，求的度数；
(2)当从如图所示位置绕点O沿顺时针方向旋转，且时，直接写出n的取值范围．
(3)当从如图所示位置绕点O沿顺时针方向旋转时，的值是否为定值？若是定值，求出的值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不是定值，见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义知、，再根据可得答案；
（2）分三种情况讨论：当时，，为定值；当时，，为定值；当时，，由，解得：（不符合题意，舍去）；即可确定n的取值范围．
（3）分两种情况讨论：；．
【详解】（1）如图1，与重合，
∵平分，即平分，
∴，
∵平分，即平分，
∴，
∴；
（2）当时，如图2，
即有：，，，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
此时，为定值；
当时，如图3．
即，，，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
此时，为定值；
当时，如图4．
即，，
，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述，n的取值范围；
（3）的值不是定值，理由是：
当时，如图5．
的值是定值，理由是：
，，
∵平分，平分，
∴、，
∴为定值；
当时，如图6．
即：，，，
∵平分，平分
∴，，
则，不是定值，
故的值不是定值．
【点睛】本题主要考查角的计算和角平分线的定义，旋转变换的性质，熟练掌握角平分线的性质，灵活运用数形结合思想及分类讨论思想是解题的关键．
47．如图，平面内点O为直线AB上一点，一直角三角板的直角顶点与O重合，平分，设．（本题中所有角均小于等于）．
(1)如图，请直接写出_______（用含α的式子表示）；
(2)若图中，三角板从图中的位置出发，绕O点以每秒的速度顺时针旋转，同时从出发，以每秒的速度逆时针旋转．设运动时间为t秒．
①当t为何值时，？
②是否存在一负数k，使得取值与t无关．若存在，求此时k的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)①或秒；②存在，
【分析】（1）根据平角的定义可得，再由平分，可得，，然后根据，即可求解；
（2）①分三种情况讨论：当点M位于的上方时，此时；当点M位于的下方，点C位于的上方时，此时；点M位于的下方，点C位于的下方时，此时，即可求解；②分三种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故答案为：
（2）解：①如图，当点M位于的上方时，此时，
根据题意得：，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
如图，当点M位于的下方，点C位于的上方时，此时，
根据题意得：，，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍去）；
如图，点M位于的下方，点C位于的下方时，此时，
根据题意得：，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
综上所述，t可为或秒；
当时，
当，即时，与t无关，
当时
当时，解得，舍去；
当时，
当，即时，与t无关，
综上所述：此时时与t无关，且或．
【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，图形的旋转，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
48．已知，为内部的一条射线，；
(1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，求的度数；
(2)如图2，若射线绕着O点从开始以12度/秒的速度顺时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出其值．
(3)如图3，若射线绕着O点从开始以15度/秒的速度顺时针旋转至结束、同时绕着O点从开始以3度/秒的速度逆时针旋转至结束，运动时间为t秒，当时，求t的值；
【答案】(1)
(2)是定值，
(3)5秒或秒或秒
【分析】（1）首先根据，，可求得，再根据角平分线的定义，可求得，据此即可得出答案；
（2）设运动t秒，则，，根据角平分线的定义，可得，，据此即可得出答案；
（3）用含有t的代数式分别表示出和，分三种情况分别列出方程，即可求出t的值．
【详解】（1）解：，，
，
又，平分，
，
；
（2）解：是定值；
如图：
设运动t秒，则，，
平分，
，
，
，
为定值，为；
（3）解：，，
，
当在内部时，

绕着O点从开始以15度/秒的速度顺时针旋转，同时绕着O点从开始以3度/秒的速度逆时针旋转，
，，
，，
，
，
解得；
当与重合时，
，
解得；
当与重合，即停止运动时，
，
解得，
综上所述，当时，秒或秒或秒．
【点睛】本题考查了角平分线的有关计算，分类讨论的思想，找准角之间的等量关系，正确列出方程是解题的关键．
提升题
49．已知，中：
(1)如果将绕点顺时针旋转得到，点分别与点对应，请画出图形．（不要求写作图步骤）
(2)连接与相交于点．如果，点是线段的中点，且，若，试用含有的代数式来表示的面积．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据题意求得，，根据，点是线段的中点，得到，，据此即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所作，
（2）解：如图，
∵，且，
∴，
∴，
∵，点是线段的中点，
∴，，
∵是旋转得到的，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的面积公式，掌握旋转的性质是解题的关键．
50．如图，两个形状、大小完全相同的含有、的三角板如图①放置，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点旋转．
(1)直接写出的度数；
(2)若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定角度（如图②），若平分，平分，求的度数；
(3)在图①基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点顺时针旋转，转速为秒，（当三角板旋转一周后，两块三角板停止运动），在旋转过程中，当，求旋转的时间是多少．
【答案】(1)
(2)
(3)秒或秒或秒
【分析】（1）由题意可知和的度数， 即可
（2）设，，由角平分线定义得，从而可得，又由角平分线的定义可得，因，联立可得，即可求得
（3）设运动时间为t秒，则，分四种情况讨论，即可求得旋转的时间
【详解】（1）由题意得，，，
，
；
（2）设，，
则，
由角平分线的定义得
又
，即，
；
（3）设旋转时间为t秒，则有：，
∵三角板旋转一周后，两块三角板停止运动，
∴，
①当与第一次重合时，，
∴时，如下图所示：
由得：
解得：；
②当，如下图所示：
，
由得：
解得：
③当与第二次重合时，，
当时，如下图所示：
由得：
解得：；
④当时，如下图所示：
，
由得：，
解得：（舍去）
综上①②③④所述：当，旋转的时间为秒或秒或秒
【点睛】本题考查的是旋转综合题，三角板中角度计算问题和角平分线的含义，熟练掌握三角板的特征，画出图形，分类讨论，是解决问题的关键．