大名县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份大名县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在空间直角坐标系中,点关于x轴对称的点坐标是( )
A.B.C.D.
2．若圆的半径为1,则实数( )
A.B.C.D.
3．圆关于直线对称的圆的标准方程是( )
A.B.
C.D.
4．已知,,则点B到直线AC的距离为( )
A.B.C.2D.3
5．已知曲线,则的最大值,最小值分别为( )
A.,B.,C.,D.,
6．过点引圆的切线,切点为A,则PA的最小值为( )
A.4B.5C.6D.7
7．如图所示,在平行六面体中,,,,,,则的长为( )
A.5B.C.D.
8．已知棱长为2的正方体内有一内切球O,点P在球O的表面上运动,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有( )
A.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角
B.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C.若,则
D.若一条直线的倾斜角为,则该直线的斜率为
10．若是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间一个基底的是( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
11．《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,在阳马中,侧棱底面,,,,则下列结论正确的有( )
A.四面体是鳖臑
B.阳马的体积为
C.若,则
D.D到平面PAC的距离为
三、填空题
12．若是直线l的一个法向量,则直线l的斜率为________,倾斜角的大小为________.
13．已知圆外一点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为A和B,则直线AB的方程为________.
14．已知,,若点在线段AB上,则的取值范围是________.
四、解答题
15．如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形、平面ABCD,M,N分别为棱SB,SC的中点
（1）证明:平面SAD;
（2）若,求直线SD与平面ADNM所成角的正弦值
16．已知直线l经过直线和的交点,且与直线垂直.
（1）求直线l的方程;
（2）若圆C的圆心为点,直线l被该圆所截得的弦长为,求圆C的标准方程.
17．如图,在正四棱柱中,,点E,F分别在棱,上,.
（1）判断BD与平面AEF的位置关系并证明;
（2）求平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值.
18．已知点和直线.点B是点A关于直线l的对称点.
（1）求点B的坐标;
（2）O为坐标原点,且点P满足.若点P的轨迹与直线有公共点,求m的取值范围.
19．空间中,两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系,如果坐标系中有两条坐标轴不垂直,那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系,它任意两条数轴的夹角均为,我们将这种坐标系称为“斜坐标系”.我们类比空间直角坐标系,定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标:,,分别为“斜坐标系”下三条数轴（x轴､y轴､z轴）正方向的单位向量,若向量,则与有序实数组（x,y,z）相对应,称向量的斜坐标为,记作.
（1）若,,求的斜坐标;
（2）在平行六面体中,,,,如图,以为基底建立“空间斜60°坐标系”.
①若,求向量的斜坐标;
②若,且,求.
参考答案
1．答案：C
解析：在空间直角坐标系中,点关于x轴对称的点坐标为.
故选:C.
2．答案：D
解析：由,得,
所以圆C的圆心为,半径为,
因为圆的半径为1,
所以,解得,
故实数.故选:D.
3．答案：D
解析：因为圆的圆心为,半径为,
且关于直线对称的点为,
所以所求圆的圆心为、半径为,
即所求圆的标准方程为.故选:D.
4．答案：C
解析：因为,,
所以,,
,
,
所以在方向上的投影为,,
所以点B到直线AC的距离为.
故选:C.
5．答案：C
解析：由,可知,,
且有,表示的图形为以为圆心,2为半径的半圆,如图所示:
又因为表示半圆上的动点与点的距离,
又因为,
所以的最小值为,
当动点与图中点重合时,取最大值,
故选:C.
6．答案：A
解析：由题设,C的标准方程为,故圆心为,半径为3,
由切线的性质知:,
当时,.故选:A
7．答案：C
解析：因为,
所以,
所以,
又,,,,,
所以
所以.故选:C.
8．答案：A
解析：以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,设点,
所以,,
所以,
因为表示点与点之间距离的平方,
所以当点P的坐标为时,取得最大值为,
当P与点重合时,取得最小值-2,
所以的取值范围为：.
故选：A.
9．答案：AD
解析：对于A选项,平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角,A对;
对于B选项,平面直角坐标系中倾斜角为的直线没有斜率,B错;
对于C选项,当、都与轴垂直时,、的斜率都不存在,但,C错;
对于D选项,若一条直线的倾斜角为,则该直线的斜率为,D对.
故选:AD.
10．答案：ABD
解析：由已知,,不共面,则,,不共面,A选项正确;
设,即方程无解,
所以,,不共面,B选项正确;
设,即,解得:,
即,所以,,共面,C选项错误;
设,显然三个向量不共面,D选项正确;故选:ABD.
11．答案：BCD
解析：A错,连接AC,则中,,
则不是直角三角形,则四面体不是鳖臑;
B对,.
C对,
D对,设D到平面PAC的距离为d,
又,
由,得,则D到平面PAC的距离为
故选:BCD
12．答案：;
解析：由题意知,向量是直线l的一个法向量,可得斜率为,
设直线l的倾斜角为,可得,可得
则直线l的倾斜角的大小为.
故答案为:;.
13．答案：
解析：由题意,切点弦AB所在直线的方程为:
,
化简得:.
故答案为:.
14．答案：
解析：设,则,,
点是线段AB上的任意一点,
的取值范围是,
故答案为:
15．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）,N分别为SB,SC的中点
,为正方形
,,平面SAD,平面SAD
平面SAD.
（2）由题知平面ABCD,
建立如图所示的空间直角坚标系,
设,则,,,,,
,,,,
设平面ADNM的一个法向量为
则,令则,
设直线SD与平面ADNM所或的角为,
,
所以直线SD与平面ADNM所成角的正弦值为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知得解得,
两直线交点为.
设直线l的斜率为,
直线l与垂直,∴,
直线l过点,
直线l的方程为,即.
（2）设圆的半径为r,依题意,得圆心到直线的距离为,
则由垂径定理得,,
圆的标准方程为.
17．答案：（1）平面AEF,证明见解析
（2）
解析：（1）平面AEF.理由如下:
以DA,DC,所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
所以,,
由,
,所以,所以,,是共面向量.
因为EA,平面AEF,平面AEF内,
故平面AEF.
（2）设平面AEF的一个法向量为,
则,不妨令,得,
则平面AEF的一个法向量为.
又平面ABCD的一个法向量为,
所以,
所以平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,,因为点B与点A关于直线l的对称,则有
线段AB的中点在直线l上,即①,
又直线直线l,且直线l的斜率为1,则①,
联立①①式子解得,
故点B的坐标
（2）设,由,则,
故,化简得,
所以点P的轨迹是圆,其方程为,圆心坐标,半径.
又因为直线与圆有公共点,
利用圆心到直线的距离小于等于半径,则,
解得.
故m的取值范围为.
19．答案：（1）
（2）①;
②2
解析：（1）由,,知,,
所以,
所以;
（2）设,,分别为与,,同方向的单位向量,
则,,,
①
②由题,
因为,所以,
由知
则
.