福州金山中学2024-2025学年高二上学期第一次限时训练（10月）数学试卷(含答案)

这是一份福州金山中学2024-2025学年高二上学期第一次限时训练（10月）数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．三点，，在一条直线上，则k的值为( )
A.B.C.D.
2．直线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
3．过点且垂直于直线的直线方程为( )
A.B.C.D.
4．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是( )
A.B.或
C.或D.或
5．已知M，N分别是四面体的棱，的中点，点P在线段上，且，设向量，，，则( )
A.B.C.D.
6．已知，，，点M在直线上运动.当取最小值时，点M的坐标为( )
A.B.C.D.
7．如图所示，三棱锥中，，，两两垂直且长度均为1，若，，则( )
A.B.C.D.
8．如图1四边形与四边形分别为正方形和等腰梯形，，，，，沿边将四边形折起，使得平面平面，如图2，动点M在线段上，N，G分别是，的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列四个选项中正确的是( )
A.方程与方程可表示同一直线
B.直线l过点，倾斜角为90°，则其方程是
C.直线l过点，斜率为0，则其方程是
D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程
10．如图，正方体的棱长为a，以下结论正确的是( ).
A.B.
C.存在实数，使得D.
11．下列命题正确的是( )
A.若是平面的一个法向量，A，B是直线b上不同的两点，则的充要条件是
B.已知A，B，C三点不共线，对于空间中任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面
C.已知，，若与垂直，则
D.已知的顶点分别为，，，则边上的高的长为
三、填空题
12．若过点P(1－a，1＋a)与点Q(3，2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是_______.
13．A，B是直线l上的两点，，，，，且直线与直线成的角，则C，D两点间的距离是_______.
14．已知点，，若x轴上存在一点P，使最大，则点P的坐标为.
四、解答题
15．已知坐标平面内三点，，.
(1)求直线，，的斜率和倾斜角；
(2)若D为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围.
16．如图，在直三棱柱中中，，，，点D是的中点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与所成二面角的正弦值.
17．如图，在正方体中，棱长为1，E、F分别为、的中点，求下列问题：
(1)求E到直线的距离；
(2)求到面的距离.
18．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值；
（Ⅲ）设点M在线段上，且二面角的余弦值为，求点M到底面的距离.
19．如图矩形中，，沿对角线将折起，使点A折到点P位置，若，三棱锥的外接球表面积为.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)M为的中点，点N在边界及内部运动，若直线与直线与平面所成角相等，求点N轨迹的长度.
参考答案
1．答案：B
解析：依题意，
即，解得.
故选：B
2．答案：D
解析：由直线，可得直线的斜率，
设其倾斜角为，可得，所以.
故选：D.
3．答案：A
解析：由题意可得直线的斜率为，
则过点且垂直于直线的直线斜率为，
直线方程为，
化为一般式为.
故选：A.
4．答案：D
解析：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是.
当直线不过原点时，设直线的方程是：，
把点代入方程得，
所以直线的方程是.
综上，所求直线的方程为或.
故选：D.
5．答案：C
解析：在四面体中，M，N分别为，的中点，且，
所以
.
故选：C
6．答案：D
解析：设，即，故，
，
当时，向量数量积有最小值，此时.
故选：D.
7．答案：C
解析：在三棱锥中，取空间的一个基底，则，
由，，得，
而两两垂直，，
所以.
故选：C
8．答案：A
解析：如图以A为坐标原点建立空间直角坐标系，由题意可得，，，，
，动点M在线段上，则可设，
，
令，则
则
当时取最大值
故选：A
9．答案：BC
解析：对于A，方程表示直线上去掉点所形成的两条射线，与方程表示的图形不相同，A故错误；
对于B，直线l过点，倾斜角为，该直线的斜率不存在，垂直于x轴，其方程为，故B正确；
对于C，直线l过点，斜率为0，则其方程为，即，故C正确；
对于D，若直线l垂直于x轴，则直线l的斜率不存在，该直线没有点斜式和斜截式方程，故D错误.
故选：BC.
10．答案：BD
解析：以，，分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标，如图所示，
因为正方体的棱长为a，
可得，，，，，，，
对于A中，可得，所以，所以A错误；
对于B中，可得，所以，所以B正确；
对于C中，可得，，所以向量与不是共线向量，
所以不存在实数，使得，所以C错误；
对于D中，由
，所以D正确.
故选：BD.
11．答案：BCD
解析：若是平面的一个法向量，直线b上有不同的两点A，B，当时，
即使，也不能说明，故A错误；
若，则，
所以，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；
由题意可得，，若与垂直，
则，解得，故C正确；
由题意可得，，则边上的高的长即为点B到直线的距离，故D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：过点和的直线的倾斜角为钝角，直线的斜率小于0，，故答案为
13．答案：5或
解析：，，
，或
，或
故答案为5或.
14．答案：
解析：设点关于x轴的对称点，则，，
所以，当M，，P三点共线时，取得最大值，
因为，，所以，
所以直线的方程为，当，得，
所以当最大时，点P的坐标为，
故答案为：
15．答案：(1)答案见解析；
(2)
解析：（1）因为，，，
由斜率公式，可得，，，
再由直线倾斜角的定义得：
直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为.
（2）如图所示，当直线由绕点C逆时针转到时，直线与线段恒有交点，
即D在线段上，此时的斜率k由增大到，
所以k的取值范围为.
16．答案：（1）；
（2）.
解析：
(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
，
异面直线与所成角的余弦值为.
（2）设平面的法向量为，
，，
，，即且，
令，则，，是平面的一个法向量，
取平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角的大小为，由，
得，故平面与平面夹角的正弦值为.
17．答案：(1)；
(2)
解析：（1）如图所示建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，.
，，
则E到直线的距离.
（2）由（1）可得，，
设为面的法向量，
则，即，
取，得平面的一个法向量.
又，得到面的距离为.
18．答案：(I)证明见解析；
(II)；
(III)1或者
解析：(Ⅰ)由菱形的性质可知，
由线面垂直的定义可知：，且，
由线面垂直的判定定理可得：直线平面；
(Ⅱ)以点A为坐标原点，，方向为y轴，z轴正方向，如图所示，在平面内与垂直的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则：，，，，
则直线的方向向量，很明显平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，，.
(Ⅲ)设，且，
由于，，，，
故：，据此可得：，
即点M的坐标为，
设平面的法向量为：，则：
，
据此可得平面的一个法向量为：，
设平面的法向量为：，则：
，
据此可得平面的一个法向量为：，
二面角的余弦值为，故：，
整理得，解得：或.
由点M的坐标易知点M到底面的距离为1或者.
19．答案：(1)证明见解析；
(2)；
(3)
解析：（1）证明：设O为矩形对角线的中点，
.
即.
O为三棱锥外接球的球心.
又三棱锥外接球表面积为，
外接球半径为2.
即，，.
过P点作，垂足为E，过点C作，垂足为F，
则，，，，
而，
在中，满足
为直角三角形，
，，，
平面.
又平面，
平面平面.
（2）以E为坐标原点，、所在直线分别为x轴、z轴，以平面内过E且垂直于的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
可知：，，，，
且，，，
设平面的法向量为，
得，取，则，
设平面的法向量为，
得，取，则
设平面与平面夹角为，
则
所以平面与平面夹角余弦值为是.
（3）由（2）中空间直角坐标系可设N为，，，
，
取平面法向量为.
直线与直线与平面所成角相等，
得：
整理得：，即
N点在边及其内部，
N的轨迹为圆落在边及内部的部分.
轨迹长度为半径为1的圆周长为.
得
N点轨迹长度为.