高青县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份高青县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则( )
A.B.C.D.
2．某公园有东、南、西、北共4个大门供游客出入,小军、小明从不同的大门进入公园游玩,游玩结束后,他们随机地从其中一个大门离开,则他们恰好从同一个大门出去的概率是( )
A.B.C.D.
3．已知,,且,则( )
A.,B.,C.,D.,
4．已知,,且与夹角为锐角,则实数x的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．下列命题中正确的是( )
A.点关于平面yOz对称的点的坐标是
B.若直线l的方向向量为,平面的法向量为,则
C.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为,则直线l与平面所成的角为
D.已知O为空间任意一点,A,B,C,P四点共面,且任意三点不共线,若,则
6．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,设“甲中靶”,“乙中靶”,则( )
A.A与B,A与,与B,与都相互独立
B.与是对立事件
C.
D.
7．已知平面和平面的夹角为,,已知A,B两点在棱上,直线,分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于.已知,,则的长度为( )
A.B.C.D.或
8．正方体的棱长为1,动点M在线段上,动点P在平面上,且平面.线段AP长度的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知向量,,,则下列结论正确的是( )
A.与垂直B.与共线
C.与所成角为锐角D.,,,可作为空间向量的一组基底
10．已知事件A,B满足,,则下列结论正确的是( )
A.
B.如果,那么
C.如果A与B互斥,那么
D.如果A与B相互独立,那么
11．已知，，，，则下列说法正确的是( )
A.是平面的一个法向量B.A，B，C，Q四点共面
C.D.
三、填空题
12．已知,,点P在z轴上,且,则点P的坐标为________.
13．在空间直角坐标系中,点,点,点,则在方向上的投影向量的坐标为________.
14．某高校的入学面试中有3道难度相当的题目,李华答对每道题目的概率都是,若每位面试者共有三次机会,一旦某次答对抽到的题目,则面试通过,否则就一直抽题到第3次为止,假设对抽到的不同题目能否答对是独立的,则李华最终通过面试的概率为_______________.
四、解答题
15．已知正四面体的棱长为1,E,F分别为棱BC,CD的中点,点G为线段AF的中点.
（1）用,,表示;
（2）求的值.
16．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个,从中任取一球,得到红球或黄球的概率是,得到黄球或蓝球的概率是.
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数;
(2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次,每次任取一球记下颜色.若取到两个球颜色相同则甲胜,否则乙胜从概率的角度判断这个游戏是否公平,请说明理由.
17．已知空间三点,,,设,.
（1）若,,求;
（2）求与的夹角的余弦值;
（3）若与互相垂直,求k.
18．第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行.为庆祝这场体育盛会的胜利召开,某市决定举办一次亚运会知识竞赛,该市A社区举办了一场选拔赛,选拔赛分为初赛和决赛,初赛通过后才能参加决赛,决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛.已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为,a,b,通过初赛后,甲、乙、丙3位选手通过决赛的概率均为,假设他们之间通过与否互不影响.其中,甲乙两人都能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为,乙丙都不能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为.
（1）求a,b的值;
（2）求这3人至少一人参加市知识竞赛的概率;
（3）某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛,给参加选拔赛的选手提供了奖励方案:只参加了初赛的选手奖励200元,通过了初赛并参加了决赛的选手奖励500元.求三人奖金总额为1200元的概率.
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，E，F分别是AB，PB的中点.
(1)求证：.
(2)已知点G在平面PAD内，且平面PCB，试确定点G的位置.
参考答案
1．答案：D
解析：由题可知，，
又，所以，解得，
所以.
故选：D.
2．答案：C
解析：如图,
由树状图可知,共有16种等可能结果,其中小军、小明恰好从同一个出口出该公园的有4种等可能结果,
所以小军、小明恰好从同一个出口出该公园的概率为,
故选:C.
3．答案：B
解析：向量,,则,,
因,于是得,解得,,
所以,.
故选:B.
4．答案：D
解析：,,
当时,有,解得,此时,与夹角为,
所以与夹角不可能为,
与夹角为锐角时,有,解得,
则实数x的取值范围是.
故选:D.
5．答案：C
解析：对于A,点关于平面yOz对称的点的坐标是,A选项错误;
对于B,若直线l的方向向量为,平面的法向量为,
,有,则或,B选项错误;
对于C,若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为,
则直线l与平面所成的角为,C选项正确;
对于D,已知O为空间任意一点,A,B,C,P四点共面,且任意三点不共线,
若,则,解得,D选项错误.
故选:C.
6．答案：A
解析：对于A:由于两人射击的结果没有相互影响,
则A与B,A与,与B,与都相互独立,故A正确;
对于B:表示事件“甲中靶且乙未中靶”,其对立事件为“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”,即与不是对立事件,故B错误;
对于C:,故C错误;
对于D:
,故D错误;
故选:A
7．答案：D
解析：平面和平面的夹角为,则二面角的大小为或,
因为,,所以或,
由题可知,
,
故或,
或.
故选：D.
8．答案：C
解析：以D为坐标原点,以,,分别为x,y,z轴的正半轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,设,,
则,,,则,,,
因为平面,所以,,
即,解得,
所以,所以,
又,所以当时,即M是的中点时,取得最小值,
当或,即M与点C或重合时,取得最大值,
所以线段AP长度的取值范围为.
故选:C
9．答案：BC
解析：对A:,故与不垂直,故A错误;
对B:由、,有,故与共线,故B正确;
对C:,且与不共线,
故与所成角为锐角,故C正确;
对D:由与共线,故,,不可作为空间向量的一组基底,故D错误.
故选:BC.
10．答案：BCD
解析：A选项:当A与B相互独立时,,A选项错误;
B选项:若,则,B选项正确;
C选项:A与B互斥,那么,C选项正确;
D选项:如果A与B相互独立,
那么,D选项正确;
故选:BCD.
11．答案：AD
解析：，，
所以，，，平面，
所以平面，所以是平面的一个法向量，故A正确；
设，则，无解，所以A，B，C，Q四点不共面，故B错误；
，，，所以与不平行，故C错误；
，故D正确；
故选：AD.
12．答案：
解析：设点P的坐标为,
依题意得,解得,
所以点P的坐标为.
故答案为:
13．答案：
解析：由条件可得,,
所以在方向上的投影向量的坐标为
.
故答案为:
14．答案：
解析：依题意,李华3道题都没有答对的概率为,
所以李华最终通过面试的概率为.
故答案为：.
15．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）在正四面体ABCD中,E,F分别为棱BC,CD的中点,点G为线段AF的中点,
,
所以
.
（2）正四面体ABCD的棱长为1,则,
所以.
16．答案：(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2,1,1;
(2)不公平,理由见解析
解析：(1)设盒中红球、黄球、蓝球个数分别为x,y,z,从中任取一球,得到红球或黄球为事件A,得到黄球或蓝球为事件B,
则,,
由已知得,解得,
所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2,1,1;
(2)由(1)知红球、黄球、蓝球个数分别为2个,1个,1个,
用,表示红球,用a表示黄球,用b表示蓝球,
m表示第一次取出的球,n表示第二次取出的球,表示试验的样本点,
则样本空间,.
可得,
记“取到两个球颜色相同”为事件M,“取到两个球颜色不相同”为事件N,
则,所以,
所以,
因为,所以此游戏不公平.
17．答案：（1）或
（2）
（3）或
解析：（1）因为,,
所以,又因为,
所以,又因为,
所以,
因此或;
（2）因为,
所以与的夹角的余弦值为;
（3）因为与互相垂直,
所以
或.
18．答案：（1）,
（2）
（3）
解析：（1）甲能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为;
乙能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为;
丙能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为;
由于他们之间通过与否互不影响,
所以甲乙两人都能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率,
解得:,
乙丙都不能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为,解得:,
（2）结合（1）问可知:这3人都不能代表A社区参加市知识竞赛的概率:
,
所以这3人至少一人参加市知识竞赛的概率为:.
（3）由题意可得:要使奖金之和为1200元,则只有两人参加决赛,记“甲,乙,丙三人获得的奖金之和为1200元”为事件B,
则.
19．答案：(1)证明见解析
(2)点G为AD的中点
解析：(1)以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系(如图)，
设，则，，，，，，
所以，，
所以，
所以.
(2)因为平面PAD，设，
所以.
由(1)，知，.
因为平面PCB，
所以，
，
所以，，
所以点G的坐标为，即点G为AD的中点.