广东省顺德区多校2025届高三上学期10月联考数学试卷(含答案)

这是一份广东省顺德区多校2025届高三上学期10月联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．若,则复数的模为( )
A.B.C.D.2
3．已知,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
4．函数的部分图象大致为( )
A.B.
C.D.
5．风车又称“风谷车”,相传是春秋时期鲁国人鲁班发明,由风车肚、摇手、漏斗、出风口等部件组成.风车的工作原理是摇动叶片形成恰当的风力,风吹谷子将谷壳与谷粒分离.已知某风车将谷壳和谷粒分离后,谷壳和谷粒体积的比例大概为1:5,项部梯形状的漏斗（谷子的入料仓,也称“盛斗”）可看作是正四棱台,如图2所示,该几何体上、下底面边长分别为30cm,18cm,若使用该风车将漏斗装满后,分离出的谷粒有,则漏斗的高为( )
A.B.C.D.
6．已知的展开式中项的系数为160,则当,时,的最小值为( )
A.4B.C.2D.
7．已知椭圆的左右顶点分别为,,圆的方程为,动点P在曲线E上运动,动点Q在圆上运动,若的面积为,记的最大值和最小值分别为m和n,则的值为( )
A.B.C.D.
8．设函数,若方程有六个不等的实数根,则实数a可取的值可能是( )
A.B.或1C.1D.或2
二、多项选择题
9．已知向量,则( )
A.B.
C.若,则D.
10．豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0-10的分值（一星2分,二星4分,三星6分,以此类推）,以得分总和除以评分的用户人数所得的数字,国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是7.4分,截止至2021年10月24日,共计有人参与评分,豆瓣评分表如下.根据猫眼实时数据,该片的票房为53.1亿元,按照平均票价50元来计算,大约有1亿人次观看了此片,假如参与评分观众中有97.6%的评价不低于二星,则下列说法正确的是( )
A.m的值是32%
B.随机抽取100名观众,则一定有24人评价五星
C.若以频率当作概率,记事件A为“评价是一星”,事件B为“评价不高于二星”,则
D.若从已作评价的观众中随机抽出3人,则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件
11．设函数,则( )
A.存在a,b,使得为曲线的对称轴
B.存在a,使得点为曲线的对称中心
C.当时,是的极大值点
D.当时,有三个零点
三、填空题
12．记为等差数列的前n项和,若,,则________.
13．若曲线在原点处的切线也是曲线的切线,则________.
14．椭圆的离心率e满足,则称该椭圆为“黄金椭圆”.若是“黄金椭圆”,则________;“黄金椭圆”两个焦点分别为、（）,P为椭圆C上的异于顶点的任意一点,点M是的内心,连接PM并延长交于N,则________.
四、解答题
15．在中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足
（1）求;
（2）若,求周长的取值范围.
16．随着5G网络信号的不断完善,5G手机已经成为手机销售市场的明星.某地区手机专卖商场对已售出的1000部5G手机的价格数据进行解题思路得到如图所示的频率分布直方图:
（1）求5G手机的价格75%分位数;
（2）某夫妻两人到该商场准备购买价位在4500~6500的手机各一部,商场工作人员应顾客的要求按照分层随机抽样的方式提供了9部手机让其从中购买,假定选择每部手机是等可能的,设这两人购买同一价位的手机的数量为X,求
17．如图,在四棱锥中,,,,点E在AD上,且,.
（1）若F为线段PE中点,求证:平面PCD.
（2）若平面PAD,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.
18．设各项非零的数列的前n项和记为,记,且满足,
（1）求,的值,并求数列的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
19．已知函数（）.
（1）求的单调区间;
（2）若函数,是函数的两个零点,证明:.
参考答案
1．答案：D
解析：,
或,
所以或=.
故选:D.
2．答案：C
解析：由可得,
整理得,,
故.
故选:C.
3．答案：D
解析：易知,即;
而,所以,即;
又,即;
即可得.
故选:D
4．答案：B
解析：令,其定义域为,关于原点对称,
,
所以函数为奇函数,即图像关于原点对称,故排除AC,
当时,,,,即,故排除D,
故选:B.
5．答案：C
解析：设棱台的高为h,由题设谷子有
由棱台的体积公式可得,
故,
故选:C.
6．答案：B
解析：的展开式中项的系数为160,
所以,
令,解得
所以,所以,
,,,当且仅当时等号成立,
的最小值为,
故选:B.
7．答案：B
解析：椭圆中,,,设,因的面积为,
则,解得或,当时,,当时,,
即点或或或,
圆圆心,半径,
此时或或或,显然,
又点Q在圆上运动,则有,
此时点,,此时,
即,,所以.
故选:B
8．答案：B
解析：当时,,则,
由得,即时,单调递减,
由得,即时,单调递增,
当时,取得极小值,,
作出的图象如图:
由图象可知当时,有三个不同的x与对应,
设,方程有六个不等的实数根,
所以在内有两个不等的实根,
设,
所以,
则实数a可能是或1.
故选:B.
9．答案：ABD
解析：由题意,,
对于A,,故A正确;
对于B,,故B正确;
对于C,若,则,即,即,所以,故C错误;
对于D,,所以,故D正确.
故选:ABD.
10．答案：AD
解析：对A选项,参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星,
则,所以,故A正确;
对B选项,随机抽取100名观众,可能有人评价五星,但不是一定的,故B错误;
对C选项,由A选项,因为,则,故C错误;
对D选项,根据互斥事件和对立事件的定义可知,事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件,故D正确;
故选:AD
11．答案：BCD
解析：对于选项A,假设存在这样的a,b,使得为的对称轴,
即存在这样的a,b使得,
即,
因为等式右边展开式含有的项为,
可知等式左右两边的系数不相等,原等式不可能恒成立,
于是不存在这样的a,b,使得为的对称轴,故A错误;
对于选项B:因为,
若存在a,使得为的对称中心,则,
且,
可得,则,解得,
所以存在使得是的对称中心,故B正确;
对于选项C:因为,
若,当时,,当时,,
可知在内单调递减,在内单调递增,
所有在处取到极大值,是的极大值点,C选项正确;
对于选项D,由题意可知:的定义域为R,且,
因为,当时,;时,;
可知在,上单调递增,在上单调递减,
则在处取到极大值,在处取到极小值,
且,,,,
则在,,上各有一个零点,
所以当时,有三个零点,故D正确;
故选:BCD.
12．答案：8
解析：设等差数列的公差为d,
因为,可得,解得,,
则,所以.
故答案为:8.
13．答案：
解析：由得,所以曲线在原点处的切线
为.
由得,设切线与曲线相切的切点为.
由两曲线有公切线得,解得,则切点为.
因为切点在切线上,所以.
故答案为:
14．答案：,
解析：因为是“黄金椭圆”,故,故,
连接,因为为内心,故为角平分线,
由角平分线性质,有,故,
故答案为:,.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由正弦定理得,
故,
所以,
因为,,
所以,
因为,所以;
（2）由（1）可知,,,
又,所以,
由基本不等式得:,即,
所以,当且仅当时,等号成立.
又,
即,又,所以,
所以,
即周长的取值范围是.
16．答案：（1）4750;
（2）1
解析：（1）由频率分布直方图可得,,解得.
因5G手机的价格在百元的频率为,
而价格在45~55百元的频率为,
故5G手机的价格75%分位数应该在元这一组,
且75%分位数为元;
（2）因购买价位在4500~5500和5500~6500的手机分别占的比率为0.2和0.1,
故按照分层随机抽样的方式在4500~5500这一价位选取了6部,在5500~6500这一价位选取了3部,
这两人购买同一价位的手机的数量X的可能值有0、2.
则,,
X的分布列为:
故.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取PD的中点为S,接SF,SC,则,
而,,故,,故四边形SFBC为平行四边形,
故,而平面PCD,平面PCD,
所以平面PCD.
（2）因为,故,故,
故四边形AECB为平行四边形,故,所以平面PAD,
而PE,平面PAD,故,,而,
故建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
则,,,,
设平面PAB的法向量为,
则由可得,取,
设平面PCD的法向量为,
则由可得,取,
故,
故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为
18．答案：（1）,,
（2）
解析：（1）由题意可知,,且,
解得:或（舍去）,
又当时,,所以有,
化简得:,则,
所以数列是以为首项,以为公差的等差数列,
所以.
（2）由（1）及题设可知,.
当时,,
当时,.
.
①当n是奇数时,
当时,
当时,
,
当时,也适合上式,
即:,且n为奇数;
②当n是偶数时,
.
即:,且n为偶数;
综上所述;.
19．答案：（1）答案见解析
（2）证明见解析
解析：（1）函数的定义域为,
,
①当时,,则在上单调递增;
②当时,若,则,若,则,
则在上单调递增,在上单调递减.
综上,当时,单调递增区间为,无递减区间;
当时,单调递增区间为;单调递减区间为.
（2）因为,是的两个零点,
所以,,将两式作差可得
,又,
所以,
所以要证,只须证明,
即证明,即证明,
令,即证,,
令,则,
令,则在上恒成立,
在上递减,又,
在上递增,则,
即,
所以成立,即.
X
0
2