山东省北镇中学2024-2025学年高二上学期第三次考试（10月）数学试卷(含答案)

这是一份山东省北镇中学2024-2025学年高二上学期第三次考试（10月）数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知两条直线和互相垂直，则a等于( )
A.B.0C.1D.2
2．椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为( )
A.B.
C.或D.
3．设点M是z轴上一点，且点M到与点的距离相等，则点M的坐标是( )
A.B.C.D.
4．方程的曲线是( )
A.一个点B.一个点和一条直线C.一条直线D.两条直线
5．已知双曲线的离心率是2，则其渐近线方程为( )
A.B.C.D.
6．平行六面体中，底面为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为( )
A.0B.C.D.
7．点是圆内不为圆心的一点，则直线与该圆的位置关系是( )
A.相切B.相交C.相离D.相切或相交
8．已知双曲线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且的中点为，则双曲线C的离心率为( )
A.2B.3C.D.
二、多项选择题
9．下列说法不正确的是( )
A.直线经过定点
B.过，两点的所有直线的方程为
C.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
D.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
10．已知双曲线，过原点的直线，分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则下列结论正确的是( )
A.四边形一定是平行四边形B.四边形可能为菱形
C.的中点可能为D.的值可能为
11．在棱长为2的正方体中，P,E,F分别为棱，，的中点，O为侧面正方形的中心，则下列结论正确的是( )
A.直线平面
B.直线与平面所成角的正切值为
C.三棱锥的体积为
D.三棱锥的外接球表面积为9
三、填空题
12．已知的顶点，，且周长为16，求顶点C的轨迹方程________.
13．已知双曲线，与直线只有一个公共点，符合题意的直线个数为________.
14．设,分别为椭圆的左、右焦点，M在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是________.
四、解答题
15．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求
(1)顶点C的坐标；
(2)直线的方程；
16．如图,三棱锥中,平面,,,,M是棱上一点,且.
(1)证明：平面;
(2)若,求与平面所成角的正弦值.
17．圆C过、两点，且圆心C在直线上.
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍，且被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程.
18．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)已知斜率为的直线l与双曲线C交于x轴上方的A，B两点，O为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积.
19．已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知动直线与椭圆C相交于A、B两点
①线段中点的横坐标为，求斜率k的值；
②若点，求证：为定值.
参考答案
1．答案：A
解析：两条直线和互相垂直，
则，解之得.
故选：A
2．答案：C
解析：因为，,
又因为，
所以,
,
解得，,
椭圆焦点在x轴时，椭圆的标准方程为：;
椭圆焦点在y轴时，椭圆的标准方程为：.
故选：C.
3．答案：B
解析：设，则，
解得，所以M的坐标为.
故选：B
4．答案：D
解析：方程，化为，则或，
所以方程的曲线是直线和直线.
故选：D
5．答案：A
解析：依题意，，所以渐近线方程为，即.
故选：A
6．答案：A
解析：由题意，，，
又，，
所以，即有，
故选：A.
7．答案：C
解析：M在圆内，且不为圆心，则，
则圆心到直线的距离为，所以相离.
故选：C.
8．答案：C
解析：设，，由已知可得，，
相减化简可得，
又的中点，直线过点，
，，，
，
，
离心率，
故选：C.
9．答案：BC
解析：直线中，令，得，
所以直线经过定点，故A正确.
当,时，过，两点所有直线的方程为
，故B错误.
经过点且在x轴和y轴上截距都等于零时，
直线方程为：，故C错误.
设直线与两坐标轴交点为，
所以三角形的面积，故D正确.
故选：BC
10．答案：AD
解析：由双曲线的中心对称性可知，点A，B分别关于原点与C，D对称，故，，
所以四边形一定是平行四边形，而直线，斜率之积为，则与不垂直，所以四边形不可能为菱形，A正确，B错误；
设，，则，，
两式作差得，
若的中点为，可得，
代入上式，求得，故的方程为，
联立方程组，整理得，可得,，
则，此时，故C错误；
当点A位于第一象限，点B位于第二象限，
设直线的斜率为k，则直线的斜率为，结合双曲线渐近线，
易知，，可得，
又因为，所以的取值范围为；
当点A位于第四象限，点B位于第一象限，同理，可得的取值范围为.
综上的取值范围为，所以D正确.
故选：AD.
11．答案：ABD
解析：解析：由题意，在正方体中，棱长为2，
P,E,F分别为棱，，的中点，O为侧面的中心，
建立空间直角坐标系如图所示，
AI
则，，，，，
，，，，，
，
A项，，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
所以平面的一个法向量为，，
又因为直线面，所以直线面.A正确；
AI
B项，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以，故.故B正确；
C项，
.故C不正确；
D项，如图，三棱锥恰好在长方体上，且为体对角线，所以为三棱锥外接球的直径，
所以，
所以三棱锥的外接球表面积为，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：因为，，所以，
又因为的周长为16，
所以，并且.
所以顶点C在以A，B为焦点的椭圆上，
设椭圆方程为，
因为，，，所以，，
又因为A,B,C三点不共线，所以顶点C的轨迹方程为.
故答案为：
13．答案：3
解析：联立，
消去y得，
当，即时，
直线和直线分别与双曲线的渐近线平行，
故只有一个交点；
当时，由，
可得，此时直线与双曲线相切，故只有一个公共点.
故答案为：3
14．答案：
解析：因为动点M满足，所以M在以为直径的圆上.
又因为M在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，
所以，
则，即，
同除得，解之得.
故答案为：
15．答案：(1)；
(2).
解析：（1）设C点的坐标为，则由题知，即.
（2）设B点的坐标为，则中点M坐标代入中线方程
则由题知，即，又，则，
所以直线方程为.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：因为,,,所以,
由,即,
又因为,可得为边上的高,所以，
因为平面且平面,所以
又因为且,平面,所以平面.
(2)因为平面且,
以A为坐标原点,以,,所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,因为,可得,,,
则,,,
设平面的法向量为,则,
令,可得,,所以,
设直线与平面所成角为,
则,
故与平面所成角的正弦值为.
17．答案：(1)；
(2)，，
解析：（1）两点，的中垂线方程为：，
联立，解得圆心，
则，
故圆C的方程为：；
（2）由直线l且被圆C截得的弦长为6，
故圆心C到直线l的距离为，
A.若直线过原点，可知直线的斜率存在，设直线为：，
，此时直线l的方程为：
A.若直线不过原点，设直线为：，
，
此时直线l的方程为：，
综上：直线l的方程为：，，.
18．答案：(1)；
(2)
解析：（1）由题意知焦点到渐近线的距离为，则，
因为一条渐近线方程为，所以，
又，解得：，，
所以双曲线C的标准方程为；
（2）设直线，，，
联立，
则，
所以，，
由
，
解得或（舍去），
所以，，
，令，得，
，
所以的面积为.
19．答案：(1)；
(2)①；②证明见解析
解析：（1）因为满足，，
由已知得.
联立以上三式，解得，，
所以椭圆方程为.
（2）证明：①将代入中，
消元并整理得，
，
设点，，，
因为中点的横坐标为，所以，解得.
②由①知，，
所以
，
故为定值.