通辽市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份通辽市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
2．已知点关于z轴的对称点为B，则等于( )
A.B.C.2D.
3．若直线与互相垂直,则a的值为( )
A.-3B.1C.0或D.1或-3
4．正方体中,E为中点,则直线,所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
5．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为( )
A.B.
C.或D.或
6．平行六面体中,,,.则=( )
A.B.C.D.
7．已知点,,直线l过点,且A,B两点在直线l的同侧,则直线l斜率的取值范围是( )
A.B.
C.D.
8．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知向量,,则下列结论中正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.不存在实数,使得D.若,则
10．以下四个命题叙述正确的是( )
A.直线在x轴上的截距是1
B.直线和的交点为P,且P在直线上,则k的值是
C.设点是直线上的动点,O为原点,则的最小值是
D.直线,若,则或2
11．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则( )
A.与平面的夹角的正弦值为
B.点到的距离为
C.线段的长度的最大值为
D.与的数量积的范围是
三、填空题
12．两平行直线与之间的距离为______________.
13．已知空间向量,,向量在向量上的投影向量的坐标为__________.
14．在等腰直角三角形ABC中,,点P是边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发经BC,CA反射后又回到点P,若光线QR经过的重心,则的周长是______________.
四、解答题
15．已知的三个顶点分别为,,,BC中点为D点,求：
(1)边所在直线的方程
(2)边上中线AD所在直线的方程
(3)边的垂直平分线的方程.
16．棱长为2的正方体中,E,F分别是,的中点,G在棱CD上,且,H是的中点.
(1)证明：;
(2)求.
17．设直线l的方程为.
(1)求证：不论a为何值,直线l必过一定点P;
(2)若直线l分别与x轴正半轴,y轴正半轴交于点,,当面积最小时,求此时的直线方程;
(3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时,求直线l的方程.
18．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，M为棱PC的中点.
（1）证明：平面PAD；
（2）若，，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由.
19．有一块直角三角形的板置于平面直角坐标系中,已知,,点是三角形内一点,现在由于三角板中阴影部分受到损坏,为把损坏部分锯掉,可用经过点的一条直线,将三角板铝成,问：应该如何锯法,即直线斜率为多少时,可使三角板的面积最大？
参考答案
1．答案：A
解析：由题意可知直线的斜率为.
故选：A.
2．答案：A
解析：点关于z轴的对称点为B，
所以.
故选：A.
3．答案：D
解析：因为,则,即,
解得或.
故选：D.
4．答案：B
解析：如图,以D为坐标原点,,,分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为2,则,,,,
可得,,
则,
所以直线,所成角的余弦值为.
故选：B.
5．答案：D
解析：当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为0,满足题意,
又因为直线过点,所以直线的斜率为,
所以直线方程为,即,
当直线不过原点时,设直线方程为,
因为点在直线上,
所以,解得,
所以直线方程为,
故所求直线方程为或.故D项正确.
故选:D
6．答案：A
解析：由题意得,
故
,故.
7．答案：A
解析：由题意,点,,,
根据斜率公式,可得,,
如图所示,要使得直线l过点,且A,B两点在直线l的同侧,则直线l斜率的取值范围是.
故选：A.
8．答案：A
解析：由重心坐标公式可得：重心，即.
由，，可知外心M在的垂直平分线上，
所以设外心，因为，
所以，
解得，即：，
则，
故欧拉线方程为：，
即：，
故选：A.
9．答案：ACD
解析：对于A项,由可得,解得,故A项正确;
对于B项,由可得,解得,故B项错误;
对于C项,假设存在实数,使得,则,所以不存在实数,使得,故C项正确;
对于D项,由可得,解得,所以,故D项正确.
故选：ACD.
10．答案：BC
解析：对于A,直线在轴上的截距是,A错误;
由解得,即,则,解得,B正确;
对于C,依题意,,C正确;
对于D,当时,直线重合,D错误.
故选：BC.
11．答案：ABD
解析：如图，以D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，设，，
可得，，
若，则，可得，
则，解得，即，.
对于选项A：可知平面的法向量，
则，
所以与平面的夹角的正弦值为，故A正确；
对于选项B：因为，
所以点到的距离为，故B正确；
对于选项C：因为，
则，
且，可得当且仅当时，取到最大值，
所以线段的长度的最大值为3，故C错误；
对于选项D：因为，，
则，
且，可知当时，取到最小值；
当时，取到最大值1；
所以与的数量积的范围是，故D正确；
故选：ABD.
12．答案：
解析：由,可得,
所以与之间的距离为.
13．答案：
解析：由投影向量的定义可知,.
14．答案：
解析：以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,
建立如图所示的平面直角坐标系,则,,,
所以直线BC的方程为.
设,点P关于直线BC的对称点为,点P关于y轴的对称点为,
易得,,易知直线就是所在的直线.
所以直线的方程为.
设的重心为G,则,
所以,即,
所以（舍去）或,
所以,.
结合对称关系可知,,
所以的周长即线段的长度为：.
15．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1),
故边所在直线的方程为：,
化简得到.
(2)中点D为,即,
故,
故AD所在直线的方程为,
即.
(3),
故垂直平分线的斜率为,
中点为,
故垂直平分线的方程为,
即.
16．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)如图,以D为原点,DA,DC,分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,,,
因为,,
所以,
所以,即.
(2)因为,所以,
又,
且,
所以.
17．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)由得,
则,解得,
不论a为何值,直线l必过一定点;
(2)由,
当时,,当时,,
又由,得,
,
当且仅当,即时取等号,
,,
直线方程为.
(3)直线l在两坐标轴上的截距均为正整数,
即,均为正整数,而a也为正整数,
,,
直线l的方程为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）存在，
解析：（1）取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：为棱PC的中点，
，，，，，，
四边形ABMN是平行四边形，，
又平面PAD，平面PAD，平面PAD.
（2），，，，，
平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，
平面ABCD，
又AD，平面ABCD，，而，，
以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图：则，，，，
M为棱PC的中点，
，，
（i），，
设平面BDM的一个法向量为，
则，令，则，，
平面PDM的一个法向量为，
，
根据图形得二面角为钝角，
则二面角的余弦值为.
（ii）假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是，
设，，
则，，
由（2）知平面BDM的一个法向量为，，
点Q到平面BDM的距离是，
，.
19．答案：
解析：依题意,直线MN过点且斜率存在,
设直线MN的方程为,
,,
直线OA的方程为,直线AB的方程为,
由知：,
且,可得或,
由知：,
且,可得,
,
,
,且.
设,,
当时,,
,,,,则,
即,在是增函数,
当时,,即时,.