江苏省江阴市第一中学2024年数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】

这是一份江苏省江阴市第一中学2024年数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,其图像如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售时的收入是( )
A．310元B．300元C．290元D．280元
2、（4分）已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b＞1的解集为（ ）

A．x＜0B．x＞0C．x＜2D．x＞2
3、（4分）用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（ ）
A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝
4、（4分）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，点D在边BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
5、（4分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是（ ）
A．四边形B．六边形C．八边形D．十边形
6、（4分）以下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cmB． cm， cm，5cmC．6cm，8cm，10cmD．5cm，12cm，18cm
7、（4分）下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）把中根号外的(a-1)移入根号内，结果是( )
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）方程的根是______.
10、（4分）如图，点的坐标为，则线段的长度为_________.
11、（4分）如图，中，，以为斜边作，使分别是的中点，则__________．
12、（4分）如图，□OABC的顶点O，A的坐标分别为（0，0），（6，0），B（8，2），Q（5，3），在平面内有一条过点Q的直线将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，则该直线的解析式为___．
13、（4分）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥CD于E，∠B=50°，则∠DAE= ______.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，一次函数y=2x+4的图象分别与x轴，y轴教育点A、点B、点C为x轴一动点。
(1)求A，B两点的坐标；
(2)当ΔABC的面积为6时，求点C的坐标；
(3)平面内是否存在一点D，使四边形ACDB使菱形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
15、（8分）计算：（1）
（2）（﹣1）2﹣（﹣）（+）
16、（8分）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E，F．
（1）若CE=4，CF=3，求OC的长．
（2）连接AE、AF，问当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
17、（10分）在矩形中，，，将沿着对角线对折得到.
（1）如图，交于点，于点，求的长.
（2）如图，再将沿着对角线对折得到，顺次连接、、、，求：四边形的面积.
18、（10分）某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元．
（1）求这两种品牌计算器的单价；
（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售．设购买个ｘ个A品牌的计算器需要ｙ1元，购买ｘ个B品牌的计算器需要ｙ2元，分别求出ｙ1、ｙ2关于ｘ的函数关系式；
（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，中，，，，则__________．
20、（4分）若反比例函数图象经过点A （﹣6，﹣3），则该反比例函数表达式是________．
21、（4分）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=5，则BC=_____．
22、（4分）当二次根式的值最小时，=______．
23、（4分）已知等腰三角形两条边的长为4和9，则它的周长______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）今年，我区某中学响应“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动．现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2017年单价为200元，2019年单价为162元．
（1）求2017年到2019年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
（2）选购期间发现该品牌足球在标价162元的基础上，两个文体用品商店有下列不同的促销方案，试问去哪个商店买足球更优惠？
25、（10分）在正方形中，点是对角线上的两点，且满足，连接.试判断四边形的形状，并说明理由.
26、（12分）完成下列各题
（1）计算：
（2）解方程：
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
试题分析：观察图象，我们可知当销售量为1万时，月收入是800，当销售量为2万时，月收入是11，所以每销售1万，可多得11-800=500，即可得到结果．
由图象可知，当销售量为1万时，月收入是800，当销售量为2万时，月收入是11，
所以每销售1万，可多得11-800=500，因此营销人员没有销售业绩时收入是800-500=1．
故选B．
考点：本题考查的是一次函数的应用
点评：本题需仔细观察图象，从中找寻信息，并加以分析，从而解决问题．
2、A
【解析】
根据图形得出k＜0和直线与y轴交点的坐标为（0，1），即可得出不等式的解集．
【详解】
∵从图象可知：k＜0，直线与y轴交点的坐标为（0，1），
∴不等式kx+b＞1的解集是x＜0，
故选A．
考查了一次函数与一元一次不等式，能根据图形读出正确信息是解此题的关键．
3、C
【解析】
求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可．
【详解】
解：-3x2+5x-1=0，
b2-4ac=52-4×（-3）×（-1）=13，
x=
故选C．
本题考查了解一元二次方程的应用，能正确利用公式解一元二次方程是解此题的关键．
4、B
【解析】
由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值.
【详解】
在中，∴，，，∴．
∴为直角三角形，且．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴当取最小值时，线段最短，此时．
∴是的中位线．
∴．∴．
故选B.
本题考查了勾股定理逆定理，平行四边形的性质，三角形的中位线以及垂线段最短.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.
5、C
【解析】
设这个多边形是n边形，根据题意得:（n–2）•110°=3×360°，解得:n=1．故选C．
6、C
【解析】
根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一判断即可．
【详解】
A、∵12+22≠32，∴不能构成直角三角形；
B、∵，∴不能构成直角三角形；
C、∵62+82=102，∴能构成直角三角形；
D、∵52+122≠182，∴不能构成直角三角形，
故选C．
本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，通常是看较小的两边的平方和是否等于最长边的平方，即只要三角形的三边满足a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形．
7、A
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念依次对各项进行判断即可．
【详解】
A. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C. 不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A.
本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
8、C
【解析】
先根据二次根式有意义的条件求出a-1＜0，再根据二次根式的性质把根号外的因式平方后移入根号内，即可得出答案．
【详解】
∵要是根式有意义，必须-≥0，
∴a-1＜0，
∴（a-1）=-，
故选C．
本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当m≥0时，m=，当m≤0时，m=-．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
对原方程移项化简，即可求出x，然后再检验即可.
【详解】
解：
x=2，
经检验x=2是分式方程的解.
本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键.
10、
【解析】
根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：∵点A坐标为（2，2），
∴AO＝，
故答案为：.
本题考查了勾股定理的运用和点到坐标轴的距离：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
11、
【解析】
先根据题意判断出△DEF的形状，由平行线的性质得出∠EFC的度数，再由三角形外角的性质求出∠DFC的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
∵E、F分别是BC、AC的中点，∠CAD=∠CAB=28°，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=AB，∠EFC=∠CAB=26°．
∵AB=AC，△ACD是直角三角形，点E是斜边AC的中点，
∴DF=AF=CF，
∴DF=EF，∠CAD=∠ADF=28°．
∵∠DFC是△AFD的外角，
∴∠DFC=28°+28°=56°，
∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=28°+56°=84°，
∴∠EDF==48°．
故答案为：48°．
本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．
12、y＝2x﹣1．
【解析】
将▱OABC的面积分成相等的两部分,所以直线必过平行四边形的中心D,由B的坐标即可求出其中心坐标D,设过直线的解析式为y＝kx＋b,把D和Q的坐标代入即可求出直线解析式即可.
【详解】
解:∵B（8，2）,将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分的直线一定过平行四边形OABC的对称中心,
平行四边形OABC的对称中心D（4,1）,
设直线MD的解析式为y＝kx＋b,
∴
即,
∴该直线的函数表达式为y＝2x﹣1,
因此，本题正确答案是: y＝2x﹣1.
本题考察平行四边形与函数的综合运用，能够找出对称中心是解题关键.
13、40°．
【解析】
根据平行四边形的对角相等求∠D，由AE⊥CD，利用直角三角形两锐角互余求∠DAE．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠D=∠B=50°，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE=90°-∠D=40°．
故答案为：40°．
本题考查平行四边形的性质，注意掌握平行四边形的两组对角分别相等，直角三角形的两锐角互余．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）点A(-2，0)，B(0，4)；（2）点C(-5，0)或(1，0)；（3）D (-，4)或(，4).
【解析】
(1) 利用坐标轴上点的特点求解即可得出结论；
(2) 根据△AOB的面积,可得出点C的坐标;
(3)根据勾股定理求出AB的长，再利用菱形的性质可得结果，分两种情况讨论.
【详解】
(1)当x=0，y=4
当y=0，x=-2
∴点A(-2，0)，B(0，4)
(2)因为A(-2，0)，B(0，4)
∴OA=2，OB=4
ΔABC的面积为
因为ΔABC的面积为6
∴AC=3
∵A(-2，0)
∴点C(-5，0)或(1，0)
(3)存在，理由：①如图：点C再A点左侧，
∵A(-2,0),B(0,4), ∴AB=,∵四边形ACDB为菱形，∴AC=AB=,∵ACBD, ∴AC=BD=AB=,∴D(-，4)；
②如图：点C再A点右侧，
∵A(-2,0),B(0,4), ∴AB=,∵四边形ACDB为菱形，∴AC=AB=,∵ACBD, ∴AC=BD=AB=,∴D(，4)；综上所述：D点的坐标为(-，4),(，4)
本题考查了一次函数的应用、菱形的性质以及三角形的面积问题，注意掌握数形结合思想和分类讨论的思想.
15、（1）；（2）
【解析】
（1）根据绝对值的意义、有理数的乘方、二次根式的性质、负整数指数幂的意义化简，进而求和即可；
（2）根据二次根式混合运算法则计算即可．
【详解】
（1）原式==；
（2）原式===．
本题考查了实数的混合运算．熟练掌握相关法则是解答本题的关键．
16、 (1)2.5: (2)见解析.
【解析】
（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【详解】
（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∵EF∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，
∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，
∴OE=OC，OF=OC，
∴OE=OF；
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，
∴∠ECF=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF==5，
∴OC=OE=EF=2.5；
（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
连接AE、AF，如图所示：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
本题考查了矩形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握这些判定及性质是解答本题的关键.
17、（1）；（2）的面积是.
【解析】
（1）由矩形的性质可得AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC，由勾股定理可求AC＝5，由折叠的性质和平行线的性质可得AE＝CE，由勾股定理可求AE的长，由三角形面积公式可求EF的长；
（2）由折叠的性质可得AB＝AM＝3，CD＝CN＝3，∠BAC＝∠CAM，∠ACD＝∠ACN，AC⊥DN，DF＝FN，由“SAS”可证△BAM≌△DCN，△AMD≌△CNB可得
MD＝BN，BM＝DN，可得四边形MDNB是平行四边形，通过证明四边形MDNB是矩形，可得∠BND＝90°，由三角形面积公式可求DF的长，由勾股定理可求BN的长，即可求四边形BMDN的面积．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC
∴AC＝＝5，
∵将Rt△ABC沿着对角线AC对折得到△AMC．
∴∠BCA＝∠ACE，
∵AD∥BC
∴∠DAC＝∠BCA
∴∠EAC＝∠ECA
∴AE＝EC
∵EC2＝ED2＋CD2，
∴AE2＝（4−AE）2＋9，
∴AE＝ ，
∵S△AEC＝×AE×DC＝×AC×EF，
∴×3＝5×EF，
∴EF＝；
（2）如图所示：
∵将Rt△ABC沿着对角线AC对折得到△AMC，将Rt△ADC沿着对角线AC对折得到△ANC，
∴AB＝AM＝3，CD＝CN＝3，∠BAC＝∠CAM，∠ACD＝∠ACN，AC⊥DN，DF＝FN，
∵AB∥CD
∴∠BAC＝∠ACD
∴∠BAC＝∠ACD＝∠CAM＝∠ACN
∴∠BAM＝∠DCN，且BA＝AM＝CD＝CN
∴△BAM≌△DCN（SAS）
∴BM＝DN
∵∠BAM＝∠DCN
∴∠BAM−90°＝∠DCN−90°
∴∠MAD＝∠BCN，且AD＝BC，AM＝CN
∴△AMD≌△CNB（SAS）
∴MD＝BN，且BM＝DN
∴四边形MDNB是平行四边形
连接BD，
由（1）可知：∠EAC＝∠ECA，
∵∠AMC＝∠ADC＝90°
∴点A，点C，点D，点M四点共圆，
∴∠ADM＝∠ACM，
∴∠ADM＝∠CAD
∴AC∥MD，且AC⊥DN
∴MD⊥DN，
∴四边形BNDM是矩形
∴∠BND＝90°
∵S△ADC＝×AD×CD＝×AC×DF
∴DF＝
∴DN＝
∵四边形ABCD是矩形
∴AC＝BD＝5，
∴BN＝
∴四边形BMDN的面积＝BN×DN＝×＝.
本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证明四边形BNDM是矩形是本题的关键．
18、（1）30元，32元（2）（3）当购买数量超过5个而不足30个时，购买A品牌的计算机更合算；当购买数量为30个时，购买两种品牌的计算机花费相同；当购买数量超过30个时，购买B品牌的计算机更合算.
【解析】
（1）根据“购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元”和“购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元”列方程组求解即可.
（2）根据题意分别列出函数关系式.
（3）由、、列式作出判断.
【详解】
解：（1）设A品牌计算机的单价为ｘ元，B品牌计算机的单价为ｙ元，则由题意可知：
，解得.
答：A，B两种品牌计算机的单价分别为30元，32元.
（2）由题意可知：，即.
当时，；
当时，，即.
（3）当购买数量超过5个时，.
①当时，，解得，
即当购买数量超过5个而不足30个时，购买A品牌的计算机更合算；
②当时，，解得，
即当购买数量为30个时，购买两种品牌的计算机花费相同；
③当时，，解得，
即当购买数量超过30个时，购买B品牌的计算机更合算.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
利用平行四边形的对角线互相平分得出AO=AC=1，BD=2BO，根据勾股定理求出BO的长，进而可求出BD的长.
【详解】
解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB=AC=2，
∴AO=CO= AC=1，BD=2BO．
∵AB⊥AC，
∴BD=2BO=，
故答案为：.
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单.
20、y=18/x
【解析】
函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式y=（k≠0）即可求得k的值．
【详解】
设反比例函数的解析式为y=（k≠0），函数经过点A（-6，-3），
∴-3=，得k=18，
∴反比例函数解析式为y=．
故答案为：y=．
此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式．
21、5；
【解析】
根据矩形性质得出AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，推出AO=OB，得出等边三角形AOB，利用勾股定理即可得出答案．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，∠ABC=90°，
∴AO=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=AB=5，
∴AC=2 AO=10，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC=.
故答案为：5.
本题考查了矩形的性质及勾股定理.根据矩形的性质及∠AOB=60°得出△AOB是等边三角形是解题的关键.
22、1
【解析】
直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【详解】
∵二次根式的值最小，
∴，解得：，
故答案为：1．
本题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
23、1
【解析】
分9是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【详解】
①当9是腰长时，三边分别为9、9、4时，能组成三角形，
周长=9+9+4=1，
②当9是底边时，三边分别为9、4、4，
∵4+4＜9，
∴不能组成三角形，
综上所述，等腰三角形的周长为1．
故答案为：1．
本题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）2017 年到 2019 年该品牌足球单价平均每年降低10%；（2）去B商店买足球更优惠，见解析
【解析】
（1）设平均每年降低的百分率为x，根据2017年及2019年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于1的值即可得出结论；
（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论．
【详解】
（1）设平均每年降低的百分率为，根据题意列方程，得．
解得：，（不合题意，舍去）．
答：2017 年到 2019 年该品牌足球单价平均每年降低10%；
（2）A商店：162×91=14742（元）；
B商店：162×0.9×100=1（元）．
因为14742＞1．
所以，去B商店买足球更优惠．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据2017年及2019年该品牌足球的单价，列出关于x的一元二次方程；（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用．
25、四边形是菱形，理由详见解析.
【解析】
根据正方形的性质，得到，由，得到，即可得到四边形为菱形.
【详解】
证明：四边形是菱形；
理由如下：连接交于点，
四边形为正方形，
，
又，
，
即，
与相互垂直平分，
四边形为菱形.
本题考查了正方形的性质，以及菱形的判定，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和菱形的判定进行解题.
26、（1）2；（2），
【解析】
（1）先化简二次根式，再用二次根式乘法运算，最后合并同类项；
（2）用因式分解法解一元二次方程．
【详解】
（1）
（2）
解得：，．
本题考查了二次根式的混合运算，及一元二次方程的解法，熟知以上运算法则是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人