江苏省姜堰市励才实验学校2024-2025学年数学九上开学学业水平测试试题【含答案】

这是一份江苏省姜堰市励才实验学校2024-2025学年数学九上开学学业水平测试试题【含答案】，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线平分一组对角B．对角互补
C．四边相等D．对边平行
2、（4分）某学习小组 8 名同学的地理成绩是 35、50、45、42、36、38、40、42（单位：分），这组数据 的平均数和众数分别为（ ）
A．41、42B．41、41C．36、42D．36、41
3、（4分）若二次根式有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3B．a＞3C．a≤3D．a≠3
4、（4分）如图，已知矩形纸片ABCD的两边AB：BC=2：1，过点B折叠纸片，使点A落在边CD上的点F处，折痕为BE，若AB的长为4，则EF的长为（ ）
A．8-4B．2C．4 −6D．
5、（4分）己知直角三角形一个锐角60°，斜边长为2，那么此直角三角形的周长是( )
A．B．3C．+2D．+3
6、（4分）若关于的分式方程的根是正数，则实数的取值范围是（）.
A．，且B．，且
C．，且D．，且
7、（4分）若，则代数式的值是（ ）
A．9B．7C．D．1
8、（4分）已知a＞b，若c是任意实数，则下列不等式中总是成立的是（）
A．a-c＞b-cB．a+c＜b+cC．ac＞bcD．ac＜bc
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，点A，B分别是反比例函数y＝与y＝的图象上的点，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC交y轴于点E．若AB∥x轴，AE：EC＝1：2，则k的值为_____．
10、（4分）对下列现象中蕴含的数学原理阐述正确的是_____（填序号）
①如图（1），剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成一个平行四边形．其依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
②如图（2），工人师傅在做矩形门窗时，不仅测量出两组对边的长度是否相等，还要测量出两条条对角线的长度相等，以确保图形是矩形．其依据是对角线相等的四边形是矩形．
③如图（3），将两张等宽的纸条放在一起，重合部分构成的四边形ABCD一定是菱形．其依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形．
④如图（4），把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形．其依据是一组邻边相等的矩形是正方形．
11、（4分）如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC、BD相交于点O.若BO=3，则菱形ABCD的面积为______.
12、（4分）某公司招聘一名公关人员甲，对甲进行了笔试和面试，其面试和笔试的成绩分别为86分和90分，面试成绩和笔试成绩的权分别是6和4，则甲的平均成绩为__分．
13、（4分）分解因式：ab﹣b2=_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）∠BCD是直角吗？说明理由．
15、（8分）因式分解：．
16、（8分）某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高5元，销售量将减少100件．求每件商品售价是多少元时，商店销售这批服装获利能达到12000元？
17、（10分）计算： （1）（+）（﹣）﹣（+3）2； （2）.
18、（10分）我们给出如下定义：把对角线互相垂直的四边形叫做“对角线垂直四边形”.
如图，在四边形中，，四边形就是“对角线垂直四边形”.
（1）下列四边形，一定是“对角线垂直四边形”的是_________.
①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形
（2）如图，在“对角线垂直四边形”中，点、、、分别是边、、、的中点，求证：四边形是矩形.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）若，则=______．
20、（4分）如图，在正方形中，点，点，，，则点的坐标为_________.（用、表示）
21、（4分）若直线与坐标轴所围成的三角形的面积为6，则k的值为______．
22、（4分）如图，当时， 有最大值；当时，随的增大而______.（填“增大”或“减小”）
23、（4分）甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温方差大小关系为________．（填“>”或“<”）
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）先化简：，再从中选取一个你认为合适的整数代入求值．
25、（10分）如图，已知直线l和l外一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P．（保留作图痕迹，不写作法）
26、（12分）有一个等腰三角形的周长为。
（1）写出底边关于腰长的函数关系式；
（2）写出自变量的取值范围。
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
要熟练掌握菱形对角线相互垂直平分与正方形对角线相互垂直平分相等的性质，根据各自性质进行比较即可解答．
【详解】
A. 正方形和菱形的对角线都可以平分一组对角，故本选项错误
B. 只有正方形的对角互补，故本项正确
C. 正方形和菱形的四边都相等，故本项错误
D. 正方形和菱形的对边都平行，故本项错误
故选B
本题考查正方形和菱形的性质，熟练掌握其性质是解题关键.
2、A
【解析】
根据众数和平均数的概念求解．
【详解】
这组数据中42出现的次数最多，
故众数为42，
平均数为： =41.
故选A.
此题考查众数，算术平均数，解题关键在于掌握其定义.
3、C
【解析】
根据被开方数是非负数，可得答案．
【详解】
解：由题意得，
3−a⩾0，解得a⩽3，
故选：C．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
4、A
【解析】
由翻折的性质可知：BF=AB=4，AE=EF，设AE=EF=x，在Rt△DEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
解：∵AB=4，AB：BC=2：1，
∴BC=2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，CD=AB=4，∠D=∠C=90°，
由翻折的性质可知：BF=AB=4，AE=EF，设AE=EF=x，
∴CF=,
在Rt△DEF中，
∵DE2+DF2=EF2,
∴(2-x)2+(4-2)2=x2,
x=8-4.
故选A.
本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
5、D
【解析】
根据直角三角形的性质及勾股定理即可解答．
【详解】
如图所示，
Rt△ABC中,AB=2，

故
故此三角形的周长是+3.
故选:D.
考查勾股定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.
6、D
【解析】
分析：利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
详解：方程两边同乘1（x﹣1）得：
m=1（x-1）﹣4（x-1），解得：x=．
∵≠1，∴m≠1，由题意得：＞0，解得：m＜6，实数m的取值范围是：m＜6且m≠1．
故选D．
点睛：本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．
7、D
【解析】
本题直接可以把代入到原式进行计算，注意把看作整体用括号括起来，再依次替换原式中的a，按照实数的运算规律计算.
【详解】
代入得：

故答案为D
本题考察了代值求多项式的值，过程中注意把代入的值整体的替换时，务必打好括号，避免出错.再按照实数的运算规律计算.
8、A
【解析】
根据不等式的性质，应用排除法分别将各选项分析求解即可求得答案.
【详解】
A、∵a＞b，c是任意实数，∴a-c＞b-c，故本选项正确；
B、∵a＞b，c是任意实数，∴a+c＞b+c，故本选项错误；
C、当a＞b，c＜0时，ac＞bc，而此题c是任意实数，故本选项错误；
D、当a＞b，c＞0时，ac＜bc，而此题c是任意实数，故本选项错误．
故选A.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1．
【解析】
设A（m，），则B（﹣mk，），设AB交y轴于M，利用平行线的性质，得到AM和MB的比值，即可求解.
【详解】
解：设A（m，），则B（﹣mk，），设AB交y轴于M．
∵EM∥BC，
∴AM：MB＝AE：EC＝1：1，
∴﹣m：（﹣mk）＝1：1，
∴k＝1，
故答案为1．
本题考查的知识点是反比例函数系数k的几何意义，解题关键是利用平行线的性质进行解题.
10、①③④
【解析】
①平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形；
③首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则重叠部分为菱形；
④根据折叠定理得：所得的四边形有三个直角，且一组邻边相等，所以可以裁出正方形纸片．
【详解】
解：①由题意得：AB∥CD，AD∥BC，
∵两组对边分别平行，
∴四边形ABCD是平行四边形，故正确；
②∵两组对边的长度相等，
∴四边形是平行四边形，
∵对角线相等，
∴此平行四边形是矩形，故错误；
③∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；
过点D分别作AB，BC边上的高为DE，DF．如图所示：
则DE＝DF（两纸条相同，纸条宽度相同）；
∵平行四边形ABCD的面积＝AB×DE＝BC×DF，
∴AB＝BC．
∴平行四边形ABCD为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），故正确；
④根据折叠原理，对折后可得：
所得的四边形有三个直角，且一组邻边相等，
所以可以裁出正方形纸片，故正确．
故答案为①③④．
本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定以及正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
11、24
【解析】
由菱形的性质可得AB=5，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=3，由勾股定理可求AO=4，由菱形的面积公式可求解．
【详解】
解：∵菱形ABCD的周长是20，
∴AB=5，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=3，
∴AO==4
∴AC=8，BD=6
∴菱形ABCD的面积=AC×BD=24，
故答案为：24
本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
12、87.1．
【解析】
根据加权平均数的含义和求法，可求出甲的平均成绩.
【详解】
面试和笔试的成绩分别为81分和90分，面试成绩和笔试成绩的权分别是1和4，
甲的平均成绩为：（分）．
故答案为：87.1．
考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键.
13、b（a﹣b）
【解析】根据提公因式法进行分解即可，ab﹣b2=b（a﹣b），
故答案为：b（a﹣b）.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）四边形ABCD的面积＝14；（2）是．理由见解析.
【解析】
（1）根据四边形ABCD的面积=S矩形AEFH﹣S△AEB﹣S△BFC﹣S△CGD﹣S梯形AHGD即可得出结论；
（2）先根据锐角三角函数的定义判断出∠FBC=∠DCG，再根据直角三角形的性质可得出∠BCF+∠DCG=90°，故可得出结论．
【详解】
（1）
∵四边形ABCD的面积=S矩形AEFH﹣S△AEB﹣S△BFC﹣S△CGD﹣S梯形AHGD
=5×51×52×41×2（1+5）×1
=25
=14；
（2）是．理由如下：
∵tan∠FBC，tan∠DCG，∴∠FBC=∠DCG．
∵∠FBC+∠BCF=∠DCG+∠CDG=90°，∴∠BCF+∠DCG=90°，∴∠BCD是直角．
本题考查了分割法求面积和锐角三角函数的定义，熟知直角三角形的性质是解答此题的关键．
15、
【解析】
先提公因式xy，然后再采用公式法进行因式分解.
【详解】
解：原式＝．
故答案为：
本题考查因式分解，因式分解的一般步骤为：先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适；熟练的记牢公式是解决此类题的关键.
16、70或80
【解析】
要求服装的单价，可设服装的单价为x元，则每件服装的利润是（x-50）元，销售服装的件数是[800-20（x-60）]件，以此等量关系列出方程即可；
【详解】
解：设单价应定为x元，根据题意得：
(x−50)[800−(x−60)÷5×100]=12000，
(x−50)[800−20x+1200]=12000，
整理得，x2−150x+5600=0，
解得=70，=80；
答：这种服装的单价应定为70元或80元.
本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用是解题的关键.
17、（1）-19-6； （2）3-.
【解析】
分析：(1)用平方差公式和完全平方公式计算；(2)把式子中的二次根式都化为最简二次根式后，再加减.
详解：(1)()(﹣)﹣(＋3)2
＝7－5－(3＋6＋18)
＝－19－6；
(2)
＝
＝3－.
点睛：本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号时要先算括号里的或先去括号，能够使乘法公式的尽量使用乘法公式．
18、（1） ③④；（2）详见解析
【解析】
（1）根据“对角线垂直四边形"的定义求解；
（2）根据三角形中位线的性质得到HG//EF，HE//GF，则可判断四边形EFGH是平行四边形，再证明∠EHG=90°，然后判断四边形EFGH是矩形；
【详解】
(1) 菱形和正方形是“对角线垂直四边形，故③④满足题意.
(2)证明：∵点分别是边、、、的中点，
∴，且；，且；.
∴.
∴四边形是平行四边形.
∵，
∴，
又∵，
∴.
∴.
∴是矩形.
本题考查了中点四边形：任意四边形各边中点的连线所组成的四边形为平行四边形，也考查了三角形中位线性质、菱形、正方形的性质.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
根据二次根式和偶次方根的非负性即可求出x，y的值，进而可求答案
【详解】
∵
∴
∴
∴
故答案为1.
本题考查的是二次根式偶次方根的非负性，能够据此解答出x、y的值是解题的关键.
20、（b，a+b）.
【解析】
先根据A，B坐标，进而求出OA=a，OB=b，再判断出△BCE≌△BAO，即可求出点C坐标.
【详解】
∵A（a，0），B（0，b），
∴OA=a，OB=b，
过点C作CE⊥OB于E，如图，
∴∠BEC=∠BOA=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABO=90°，
∵∠BCE+∠CBE=90°
∴∠BCE=∠ABO
在△ABO和△BCE中，
，
∴△ABO≌△BCE，
∴CE=OB=b，BE=OA=a，
∴OE=OB+BE=a+b，
∴C（b，a+b）.
本题主要考查了图形与坐标，解题的关键是掌握正方形的性质以及全等三角形的判定和性质.
21、±
【解析】
由直线的性质可知，当x=0时，可知函数与y轴的交点为(0，3)，设图象与x轴的交点到原点的距离为a，根据三角形的面积为6，求出a的值，从而求出k的值．
【详解】
当x=0时，可知函数与y轴的交点为(0，3)，
设图象与x轴的交点到原点的距离为a，
则×3a=6，
解得：a=4，
则函数与x轴的交点为(4，0)或(-4，0)，
把(4，0)代入y=kx+3得，4k+3=0，k=-，
把(-4，0)代入y=kx+3得，-4k+3=0，k=，
故答案为：±.
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点问题，解答时要注意进行分类讨论．
22、增大
【解析】
根据函数图像可知，当时，随的增大而增大，即可得到答案.
【详解】
解：根据题意，∵当时，有最大值；
∴函数图像开口向下，
∴当时，随的增大而增大；
故答案为：增大.
本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质进行解题.
23、>
【解析】
观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；波动越小越稳定.
【详解】
解：观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；
则乙地的日平均气温的方差小，
故S2甲＞S2乙．
故答案为：＞．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定．反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、；当时，原式或当时，原式（任选其一即可）．
【解析】
先根据分式的各个运算法则化简，然后从x的取值范围中选取一个使原分式有意义的值代入即可．
【详解】
解：原式
．
∵的整数有-4，-3，-2，-1，又根据分式的有意义的条件，，3和-1．
∴取-4或-2．
当时，原式．
当时，原式．
此题考查的是分式的化简求值题，掌握分式的各个运算法则和分式有意义的条件是解决此题的关键．
25、详见解析
【解析】
以P为圆心，以任意长为半径画弧，交直线l与于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于MN长为半径画弧，两弧相交于点G、H，连接GH，直线GH即为所求.
【详解】
如图，直线GH即为所求.
本题考查的是作图-基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答本题的关键．
26、（1）； （2）
【解析】
（1）等腰三角形的两个腰是相等的，根据题中条件即可列出腰长和底边长的关系式．
（2）根据2腰长的和大于底边长及底边长为正数可得自变量的取值．
【详解】
（1）∵等腰三角形的两腰相等，周长为30，
∴2x+y=30，
∴底边长y与腰长x的函数关系式为：y=-2x+30；
（2）∵两边之和大于第三边，
∴2x＞y，
∴x＞，
∵y＞0，
∴x＜1，
x的取值范围是：7.5＜x＜1．
本题主要考查对于一次函数关系式的掌握以及三角形性质的应用，判断出等腰三角形腰长的取值范围是解决本题的难点．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人